多面体的外接球问题(word文档良心出品)_第1页
多面体的外接球问题(word文档良心出品)_第2页
多面体的外接球问题(word文档良心出品)_第3页
多面体的外接球问题(word文档良心出品)_第4页
已阅读5页,还剩3页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、多面体的外接球问题题型一直角四面体的外接球补成长方体,长方体对角线长为球的直径1三棱锥 PABC 中,ABC 为等边三角形,PAPBPC2 , PAPB ,三棱锥 PABC 的外接球的表面积为()A48B12C43D323解析 :由题意得: PA,PB,PC 两两相互垂直,以 PA, PB, PC 为边补成一个正方体,其外接球就为三棱锥 P ABC 的外接球,半径为 3 ,表面积为 4 ( 3) 2 12 ,选 BC2. 在正三棱锥球的表面积为AC3. 在正三棱锥ABCD 中, E, F 分别是 AB, BC 的中点, EFDE ,若 BC2,则 ABCD 外接B2C3D4SABC 中, M

2、, N 分别是 SC, BC 的中点,且MN AM ,若侧棱 SA 23 ,则正三棱锥 SABC 外接球的表面积为A12B32C36D484.( 2019 全国 1 理 12)已知三棱锥P- ABC 的四个顶点在球O 的球面上, PA=PB=PC, ABC 是边长为 2的正三角形, E,F 分别是 PA, AB 的中点, CEF =90°,则球 O 的体积为A8646C26D6B5.设 A,B, C, D 是半径为 2 的球面上的四个不同点,且满足 AB·AC 0, AD·AC 0, AB·AD 0,用 S1、S2 、S3 分别表示 ABC、 ACD 、

3、 ABD 的面积,则 S1 S2S3 的最大值是 _答案8解析 由AB·AC 0,AD ·AC 0, AB·AD 0, AB AC, AD AC,ABAD,由点 A, B,C,D 构成的三棱锥,可以补形成一个长方体, 该长方体的外接球半径为2222AB2 AC22, AB AC AD (2 2) 16,即22222AD AC AB AD 16 AB·AC AB·AD AC·AD , S S S 1122123(AB·AC AB ·AD AC·AD)22× 16,当且仅当 AB AC AD 43时

4、, S S S 取得最大值 8.3123题型二等腰四面体的外接球补成长方体,长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1在四面体 ABCD 中,若 ABCD3, ACBD2,AD BC5 ,则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 ()A 2B 4C 6D 8解:如下图所示,将四面体ABCD 放在长方体AEBFGCHD 内,设该长方体的长、宽、高分别为x 、 y 、 z ,则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径,设该长方体的外接球半径为R ,2223ABxy222由勾股定理得 AC 2x2z24 ,上述三个等式全加得,2( xyz ) 12AD 2y2z251所以,该四面体的外接球直径为2Rx

5、2y2z26 ,因此,四面体 ABCD 的外接球的表面积为4R2(2 R)26,故选: C2,D四点在半径为52 的球面上,且ACBD5,ADBC41 ,AB CD,则AB C2三棱锥 DABC 的体积是 _ 【答案】 2DABC ,如图所示,设长方体的长、宽、秒杀法:根据题意构造长方体,其面上的对角线构成三棱锥a2b225高分别为 a,b,c ,则有a2c241,解得 a4, b3 , c5 ,所以三棱锥的体积为 4 3 5a2b2c250 4 11 43 5 2032点拨:3.在三棱锥 SABC中,底面 ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°,ABC的三条边长分别

6、为 AB=3,AC= 5 ,BC=6,则三棱锥 SABC 的体积()A2 2B10C 22D 4233解:底面 ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°,三棱锥的三个侧面与底面ABC全等三棱锥 SABC可看做是面对角线分别为3,5,6 的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥x2y23x21得到的几何体设长方体的棱长为x, y, z ,则 x2z25,解得 y22, xyz2 2y 2z26z24三棱锥的体积 V xyz11 xyz41 xyz22故选 C3233题型三有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥,球心在公共斜边的中点处C1. 在矩形 ABCD 中, AB 4, B

7、C 3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角BACD ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为A.125B.125C.125D.12512963222222解:由于 SA=AC=SB=BC= ,SC=2,则 SA +AC =SC,SB +BC =SC,即有 SAAC,SB BC,取 SC的中点 O,连接 OA,OB,则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半,可得 OA=OB=OC=OS=1,即有球的半径 r 为 1,则球的体积为=故选: B2B2. 三棱锥 SABC 的所有顶点都在球O 的球面上, 且 SAACSBBC22,SC 4,则该球的体积为A256B32C16D6433解析:D

8、3在四面体 SABC 中, ABBC, ABBC2, SASC2 ,二面角 SACB 的余弦值是3),则该四面体外接球的表面积是(366824AB6CDA4. 在平面四边形ABCD 中, ABADCD1, BD2, BDCD ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A'BCD ,使平面 A' BD平面 BCD ,若四面体 A'BCD 顶点都在同一个球面上,则该球的体积为A3B3C2D223225平行四边形 ABCD中, AB · BD =0,沿 BD将四边形折起成直二面角A一 BDC,且 2ABBD4,则三棱锥 A BCD的外接球的表面积为()A2BC 4D2ABB

9、D04ABBDABCDBD,ABCD分析:,所以, 因为为平行四边形,所以CD. 因为ABD C为直二面角 , 所以 面 ABD面 CBD, 因为 面 ABD面CBD=BD, AB面 ABD, ABBD ,所以AB面 CBD. 因为 BC面 CBD, 所以 ABBC . 分析可知三棱锥ABCD 的外接球的球心为AC 的中22222222点.因为A CA BB CA (BCD ) B2DAB 4CDAC 2.则三棱锥, 所 以ABCD 的外接球的半径为1, 表面积为4.故 C正确.6 已知直角梯形ABCDABAD,CDAD,AB2AD2CD2,沿AC 折叠成三棱锥,当三棱,锥体积最大时,三棱锥外

10、接球的体积为 4AB2, AD,1CD13解:如图,2, BCAC,E,ABAC2,BC. 取AC的 中 点的 中 点O,连结 DE, OE,D C AA C B当三棱锥体积最大,平面平 面,OB OA OC OD, OB 1即为外接球的半径.此时三棱锥外接球的体积: 4R34333题型四侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面过底面外心做垂线,球心有垂线上1.已知四面体PABC ,其中ABC 是边长为 6 的等边三角形 , PA平面 ABC , PA4 ,则四面体P ABC 外接球的表面积为 _ 64解: ABC是边长为6 的等边三角形,PA平面 ABC,PA=4, ABC 的外接圆的半径为2 3 ,

11、四面体 PABC外接球的半径为=4四面体PABC外接球的表面积为4 ?42=64 故答案为: 64 D2.已知三棱锥ABCD 中,ABACBDCD2 , BC2AD ,直线 AD 底面 BCD 所成的角是则此时三棱锥外接球的体积是()A824282BC3D333.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的()A外接球的半径为3B表面积为731 C体积为3D外接球的表面积为 43解:由三视图可知,这是侧面ACDABC,高 DE3 的三棱锥, AC=2, BE=1,所以三棱锥的体积为11330,半径为 x,则 OE3x32,设外接球的圆心为23在直角三角形OEC中, OE

12、2+CE2=OC2,即 ( 3x)21 x2 ,整理得 323xx2 1x2 ,解得半径 x2 3,所以外接球的表面积为, 4 x2 16所以 A, C, D 都不正确,故选 B33题型五其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥 ABCD 中, ABACBDCD2 , BC 2AD ,直线 AD 底面 BCD 所成的角是则此时三棱锥外接球的体积是(),3,3A824282BC3D33选 D(太原 2016 届高三上学期考试)0在四面体 ABCD 中,已知ADBBDCCDA 60,AD,2 ,则四面体 ABCDBD3CD的外接球的半径为()A 2ABCDB 2C3ND 3ABD解:设四面体O

13、,则 O 在过 ABD的外心且垂直于平面的垂线上由题的外接球球心为4设知, ABD 是正三角形,则点N 为 ABD 的中心设 P,M 分别为 AB,CD的中 点,则 N 在 DP上, 且 ON DP, OMCD 因为 CDA=CDB= ADB=60°,设 CD与平面 ABD所成角为 ,12=1,DN=23cos= , sin = 在 DMN 中, DM=DP333由余弦定理得 MN1 3 2121 33MN3 故球 O的半径 R3 故选: D四边形 DMON 的外接圆的半径 ODsin巩固提高:1如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为 6cm ,该纸片上的正方形ABCD 的中心为 O E

14、 , F , G , H 为圆 O 上的点,ABE ,BCF ,CDG ,ADH 分别是以 AB , BC , CD , DA 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后,分别以AB , BC , CD , DA 为折痕折起ABE,BCF ,CDG ,ADH ,使得 E , F ,G , H 重合得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的2 倍时,该四棱锥的外接球的表面积为()A16B 25C 64D 1003333解:连接 OE 交 AB与 I ,E,F ,G ,H 重合为 P,得到一个正四棱锥,设正方形 ABCD 的边长为 x 则OIx , IE6x 由四棱锥的侧面积是底面积的2 倍,可得 4x(6x

15、 )2x2 ,2222解得 x4 设外接球的球心为Q ,半径为 R ,可得 OC2 2,OP42222 3 ,R2(23R)2(2 2)2 解得 R5 3该四棱锥的外接球的表面积S 4(5)210033故选: D52已知正方形 ABCD 的边长为 2, CD 边的中点为 E ,现将ADE ,BCE 分别沿 AE , BE 折起,使得 C ,D 两点重合为一点记为P ,则四面体 PABE 外接球的表面积是 ()A17B 19C 19D 17121233解:如图, PEPA, PEPB,PE1, PAB 是边长为2 的等边三角形,设 H 是PAB 的中心, OH平面 PAB , O 是外接球的球心

16、,则 OH1PE1, PH2 3,则R2OP 2OH 2PH 219 22312故四面体 P ABE 外接球的表面积是 S4 R219故选: C 33在梯形ABCD 中, AB / /CD , ADAB, AB 4, ADCD2 ,将梯形 ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥 DABC ,当二面角 DAC B 是直二面角时,三棱锥DABC 的外接球的表面积为 ()A 4B 8C 12D 16解:如图: AB4, AD CD2 ,AC2 2,BC 22 ,取 AC 的中点 E, AB 的中点 O ,连结DE,OE,平面 DCA 平面 ACB , DEAC,DE平面 ACB ,DE2,OE2, O

17、D2 ,OBOA OC OD,OB 2 ,即外接球的半径为2,此时三棱锥外接球的表面积为42216 故选: D 64.已知三棱锥PABC 的四个顶点都在半径为3 的球面上,ABAC ,则该三棱锥体积的最大值是解:设 ABm , ACn ,则 S ABC1mn , ABC 的外接圆直径 BCm2n22取 BC 的中点 M ,则当 PM 平面 ABC 时,三棱锥的体积最大1 1mn ( 9m2n21 m2n 2( 9m2n2此时球心 O 在 PM 上, Vmax243) ,43)334令 tm2n2,则 f (t )1 t( 9 t3) , f (t )1 ( 9 ttt3)43329由 f (t

18、 )0 ,解得 t 0(舍 ) , t8 , f (t ) 在 (0,8) 递增,在(8,9) 递减故 f ( 8)最大,为32 ,所以三棱锥 P ABC 的最大体积为 32335.已知 P, A, B,C 是半径为 2的球面上的点, PAPBPC2,ABC,点 B 在 AC 上的射影为D ,则三棱锥 PABD 体积的最大值为 _.2【分析】 P 在平面上的射影G 为 ABC 的外心, 即 G 为 AC 中点,球的球心在PG 的延长线上, 设 PG h,则 OG 2 h,求出 h 1,则 AG CG,过 B 作 BD AC 于 D,设 AD x,则 CD 2 x,设 BD y,由 BDC ADB ,得,从而 y,则,令 f( x) x4+2,则,利用导数性质能求出三棱锥PABD 体积的最大值解:如图,根据题意得PAPBPC 2, ABC 90°, P, A, B, C 是半径为 2 的球面上的点, PAPB PC2,ABC,点 B 在 AC 上的射影为 D, P 在平面上的射影G 为 ABC 的外心,即 G 为2AC 中点,则球的球心在PG 的延长线上, 设 PG h,则 OG 2h, OB27OG2 PB2 PG2,即 4( 2 h) 2 4 h2,

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论