多面体的外接球问题(word文档良心出品)

1、多面体的外接球问题题型一直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径1三棱锥 PABC 中，ABC 为等边三角形，PAPBPC2 ， PAPB ，三棱锥 PABC 的外接球的表面积为（）A48B12C43D323解析 :由题意得： PA,PB,PC 两两相互垂直，以 PA, PB, PC 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥 P ABC 的外接球，半径为 3 ，表面积为 4 ( 3) 2 12 ，选 BC2. 在正三棱锥球的表面积为AC3. 在正三棱锥ABCD 中， E, F 分别是 AB, BC 的中点， EFDE ，若 BC2，则 ABCD 外接B2C3D4SABC 中， M

2、, N 分别是 SC, BC 的中点，且MN AM ，若侧棱 SA 23 ，则正三棱锥 SABC 外接球的表面积为A12B32C36D484.（ 2019 全国 1 理 12）已知三棱锥P- ABC 的四个顶点在球O 的球面上， PA=PB=PC， ABC 是边长为 2的正三角形， E，F 分别是 PA， AB 的中点， CEF =90°，则球 O 的体积为A8646C26D6B5.设 A，B， C， D 是半径为 2 的球面上的四个不同点，且满足 AB·AC 0， AD·AC 0， AB·AD 0，用 S1、S2 、S3 分别表示 ABC、 ACD 、

3、 ABD 的面积，则 S1 S2S3 的最大值是 _答案8解析 由AB·AC 0，AD ·AC 0， AB·AD 0， AB AC， AD AC，ABAD，由点 A， B，C，D 构成的三棱锥，可以补形成一个长方体， 该长方体的外接球半径为2222AB2 AC22， AB AC AD (2 2) 16，即22222AD AC AB AD 16 AB·AC AB·AD AC·AD ， S S S 1122123(AB·AC AB ·AD AC·AD)22× 16，当且仅当 AB AC AD 43时

4、， S S S 取得最大值 8.3123题型二等腰四面体的外接球补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1在四面体 ABCD 中，若 ABCD3， ACBD2，AD BC5 ，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 ()A 2B 4C 6D 8解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBFGCHD 内，设该长方体的长、宽、高分别为x 、 y 、 z ，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，2223ABxy222由勾股定理得 AC 2x2z24 ，上述三个等式全加得，2( xyz ) 12AD 2y2z251所以，该四面体的外接球直径为2Rx

5、2y2z26 ，因此，四面体 ABCD 的外接球的表面积为4R2(2 R)26，故选： C2，D四点在半径为52 的球面上，且ACBD5，ADBC41 ，AB CD，则AB C2三棱锥 DABC 的体积是 _ 【答案】 2DABC ，如图所示，设长方体的长、宽、秒杀法：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥a2b225高分别为 a，b，c ，则有a2c241，解得 a4， b3 ， c5 ，所以三棱锥的体积为 4 3 5a2b2c250 4 11 43 5 2032点拨：3.在三棱锥 SABC中，底面 ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，ABC的三条边长分别

6、为 AB=3，AC= 5 ，BC=6，则三棱锥 SABC 的体积（）A2 2B10C 22D 4233解：底面 ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，三棱锥的三个侧面与底面ABC全等三棱锥 SABC可看做是面对角线分别为3,5,6 的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥x2y23x21得到的几何体设长方体的棱长为x, y, z ，则 x2z25，解得 y22， xyz2 2y 2z26z24三棱锥的体积 V xyz11 xyz41 xyz22故选 C3233题型三有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处C1. 在矩形 ABCD 中， AB 4， B

7、C 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角BACD ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为A.125B.125C.125D.12512963222222解：由于 SA=AC=SB=BC= ，SC=2，则 SA +AC =SC，SB +BC =SC，即有 SAAC，SB BC，取 SC的中点 O，连接 OA，OB，则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，可得 OA=OB=OC=OS=1，即有球的半径 r 为 1，则球的体积为=故选： B2B2. 三棱锥 SABC 的所有顶点都在球O 的球面上， 且 SAACSBBC22，SC 4，则该球的体积为A256B32C16D6433解析：D

8、3在四面体 SABC 中， ABBC, ABBC2, SASC2 ，二面角 SACB 的余弦值是3），则该四面体外接球的表面积是（366824AB6CDA4. 在平面四边形ABCD 中， ABADCD1， BD2， BDCD ，将其沿对角线 BD 折成四面体 A'BCD ，使平面 A' BD平面 BCD ，若四面体 A'BCD 顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A3B3C2D223225平行四边形 ABCD中， AB · BD =0，沿 BD将四边形折起成直二面角A一 BDC，且 2ABBD4，则三棱锥 A BCD的外接球的表面积为（）A2BC 4D2ABB

9、D04ABBDABCDBD,ABCD分析：,所以, 因为为平行四边形,所以CD. 因为ABD C为直二面角 , 所以 面 ABD面 CBD, 因为 面 ABD面CBD=BD, AB面 ABD, ABBD ,所以AB面 CBD. 因为 BC面 CBD, 所以 ABBC . 分析可知三棱锥ABCD 的外接球的球心为AC 的中22222222点.因为A CA BB CA (BCD ) B2DAB 4CDAC 2.则三棱锥, 所 以ABCD 的外接球的半径为1, 表面积为4.故 C正确.6 已知直角梯形ABCDABAD，CDAD，AB2AD2CD2，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱，锥体积最大时，三棱锥外

10、接球的体积为 4AB2， AD，1CD13解：如图，2， BCAC，E，ABAC2，BC. 取AC的 中 点的 中 点O，连结 DE， OE，D C AA C B当三棱锥体积最大，平面平 面，OB OA OC OD， OB 1即为外接球的半径.此时三棱锥外接球的体积： 4R34333题型四侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体PABC ,其中ABC 是边长为 6 的等边三角形 , PA平面 ABC , PA4 ,则四面体P ABC 外接球的表面积为 _ 64解： ABC是边长为6 的等边三角形，PA平面 ABC，PA=4， ABC 的外接圆的半径为2 3 ，

11、四面体 PABC外接球的半径为=4四面体PABC外接球的表面积为4 ?42=64 故答案为： 64 D2.已知三棱锥ABCD 中，ABACBDCD2 , BC2AD ,直线 AD 底面 BCD 所成的角是则此时三棱锥外接球的体积是()A824282BC3D333.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A外接球的半径为3B表面积为731 C体积为3D外接球的表面积为 43解：由三视图可知，这是侧面ACDABC，高 DE3 的三棱锥， AC=2， BE=1，所以三棱锥的体积为11330，半径为 x，则 OE3x32，设外接球的圆心为23在直角三角形OEC中， OE

12、2+CE2=OC2，即 ( 3x)21 x2 ，整理得 323xx2 1x2 ，解得半径 x2 3，所以外接球的表面积为， 4 x2 16所以 A， C， D 都不正确，故选 B33题型五其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥 ABCD 中， ABACBDCD2 , BC 2AD ,直线 AD 底面 BCD 所成的角是则此时三棱锥外接球的体积是()，3，3A824282BC3D33选 D(太原 2016 届高三上学期考试）0在四面体 ABCD 中，已知ADBBDCCDA 60，AD，2 ，则四面体 ABCDBD3CD的外接球的半径为（）A 2ABCDB 2C3ND 3ABD解：设四面体O

13、，则 O 在过 ABD的外心且垂直于平面的垂线上由题的外接球球心为4设知， ABD 是正三角形，则点N 为 ABD 的中心设 P，M 分别为 AB，CD的中 点，则 N 在 DP上， 且 ON DP， OMCD 因为 CDA=CDB= ADB=60°，设 CD与平面 ABD所成角为 ，12=1，DN=23cos= ， sin = 在 DMN 中， DM=DP333由余弦定理得 MN1 3 2121 33MN3 故球 O的半径 R3 故选： D四边形 DMON 的外接圆的半径 ODsin巩固提高：1如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为 6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为 O E

14、 ， F ， G ， H 为圆 O 上的点，ABE ，BCF ，CDG ，ADH 分别是以 AB ， BC ， CD ， DA 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以AB ， BC ， CD ， DA 为折痕折起ABE，BCF ，CDG ，ADH ，使得 E ， F ，G ， H 重合得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的2 倍时，该四棱锥的外接球的表面积为()A16B 25C 64D 1003333解：连接 OE 交 AB与 I ，E，F ，G ，H 重合为 P，得到一个正四棱锥，设正方形 ABCD 的边长为 x 则OIx ， IE6x 由四棱锥的侧面积是底面积的2 倍，可得 4x(6x

15、 )2x2 ，2222解得 x4 设外接球的球心为Q ，半径为 R ，可得 OC2 2，OP42222 3 ，R2(23R)2(2 2)2 解得 R5 3该四棱锥的外接球的表面积S 4(5)210033故选： D52已知正方形 ABCD 的边长为 2， CD 边的中点为 E ，现将ADE ，BCE 分别沿 AE ， BE 折起，使得 C ，D 两点重合为一点记为P ，则四面体 PABE 外接球的表面积是 ()A17B 19C 19D 17121233解：如图， PEPA， PEPB，PE1， PAB 是边长为2 的等边三角形，设 H 是PAB 的中心， OH平面 PAB ， O 是外接球的球心

16、，则 OH1PE1， PH2 3，则R2OP 2OH 2PH 219 22312故四面体 P ABE 外接球的表面积是 S4 R219故选： C 33在梯形ABCD 中， AB / /CD ， ADAB， AB 4， ADCD2 ，将梯形 ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥 DABC ，当二面角 DAC B 是直二面角时，三棱锥DABC 的外接球的表面积为 ()A 4B 8C 12D 16解：如图： AB4， AD CD2 ，AC2 2，BC 22 ，取 AC 的中点 E， AB 的中点 O ，连结DE，OE，平面 DCA 平面 ACB ， DEAC,DE平面 ACB ，DE2，OE2， O

17、D2 ，OBOA OC OD，OB 2 ，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为42216 故选： D 64.已知三棱锥PABC 的四个顶点都在半径为3 的球面上，ABAC ，则该三棱锥体积的最大值是解：设 ABm ， ACn ，则 S ABC1mn , ABC 的外接圆直径 BCm2n22取 BC 的中点 M ，则当 PM 平面 ABC 时，三棱锥的体积最大1 1mn ( 9m2n21 m2n 2( 9m2n2此时球心 O 在 PM 上， Vmax243) ,43)334令 tm2n2，则 f (t )1 t( 9 t3) ， f (t )1 ( 9 ttt3)43329由 f (t

18、 )0 ，解得 t 0（舍 ) ， t8 ， f (t ) 在 (0,8) 递增，在(8,9) 递减故 f （ 8）最大，为32 ，所以三棱锥 P ABC 的最大体积为 32335.已知 P, A, B,C 是半径为 2的球面上的点， PAPBPC2，ABC，点 B 在 AC 上的射影为D ，则三棱锥 PABD 体积的最大值为 _.2【分析】 P 在平面上的射影G 为 ABC 的外心， 即 G 为 AC 中点，球的球心在PG 的延长线上， 设 PG h，则 OG 2 h，求出 h 1，则 AG CG，过 B 作 BD AC 于 D，设 AD x，则 CD 2 x，设 BD y，由 BDC ADB ，得，从而 y，则，令 f（ x） x4+2，则，利用导数性质能求出三棱锥PABD 体积的最大值解：如图，根据题意得PAPBPC 2， ABC 90°， P， A， B， C 是半径为 2 的球面上的点， PAPB PC2，ABC，点 B 在 AC 上的射影为 D， P 在平面上的射影G 为 ABC 的外心，即 G 为2AC 中点，则球的球心在PG 的延长线上， 设 PG h，则 OG 2h， OB27OG2 PB2 PG2，即 4（ 2 h） 2 4 h2，