线性代数—行列式展开定理

1、音乐音乐第三节第三节2,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa)(3223332211aaaaa )(3321312312aaaaa )(3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 1、余子式与代数余子式、余子式与代数余子式3在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记

2、作，记作nijaij1 nija.Mij，记记ijjiijMA )1(叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 233223)1(MA .23M 4,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 122112)1(MA .12M 5,44434241343332312423222114131211aaaa

3、aaaaaaaaaaaaD ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .)1(44444444MMA . 代代数数余余子子式式个个对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别6 n阶行列式阶行列式D=|aij|等于它的任意一等于它的任意一行行(列列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即即), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiii )., 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj 或或按第按第i行展开行展开按第按第j列展开列展开证略证略推论推论: : 若行列式某行若行列

4、式某行( (列列) )的元素全为零的元素全为零, ,则行列式则行列式的值为零的值为零. .( (行列式展开定理行列式展开定理) )7,601504321 D例例2 2设设543106131061542 D列展开得列展开得按第按第2010436154260501 D行展开得行展开得按第按第1,58292 .58292 8定理定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零余子式之和等于零,即即这是因为这是因为第第i行行第第j行行022111 jninjijinkjkikAaAaAaAa)(ji nnnniniiiniinnkjkikaaaaa

5、aaaaaaaAa212121112111 .0 9同样同样, 行列式对列展开行列式对列展开, 也有也有).(, 02211jiAaAaAanjnijiji ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当引入记号引入记号 则有则有102、行列式的计算、行列式的计算 计算行列式的基本方法：利用性质计算行列式的基本方法：利用性质5 5将某行将某行( (列列) )化出较多的零化出较多的零, ,再利用展开定理按该行再利用展开定理按该行( (列列) )展开展开. .例例13351110243152113 D0551

6、111115)1(33 3131 312cc 34cc 5011 50115 0011 110551111115)1(33 055026115 5526)1(31 .40 12rr 12例例2 计算行列式计算行列式0532004140013202527102135 D解解53241413252 53204140132021352)1(52 D13rr 122rr 66027013210 .1080124220 13 每行元素的和都相等每行元素的和都相等, ,把第二、三、四列都加把第二、三、四列都加到第一列到第一列, , 例例3 计算行列式计算行列式解解1111111111111111 xxxx

7、. . 原原式式111111111111 xxxxxxx 1111111111111111 xxxx 14xxxxxx 0000 原原式式111111111111 xxxxxxx 1111111111111111 xxxx xxxxxxx 00000001111 4x . . xxxx 02 15 按第一列展开按第一列展开, , 并由上、下三角形并由上、下三角形行列式得行列式得 例例4 计算计算n阶行列式阶行列式解解.0000000000000000abbaababa原原式式abaabaa0000000000 babbabbn0000000000) 1(1 .)1(1nnnba 16例例5 计

8、算计算n阶行列式阶行列式解解nnnnaaaaaaaaa 21221211), 2 , 1,0(nii nnnnnnnaaaaaaaaa 1112211221122111原原式式17nniinniinniinaaaaaaaaa 111112222221nnnnnnnaaaaaaaaa 1112211221122111原原式式每每列列加加到到第第一一列列181000101)1(221nniinaaa 每每行行减减去去第第一一行行.)1(1 iina nnnnnniinaaaaaaa 11111)1(222222119例例6 计算计算n阶行列式阶行列式解解 0000010001000nD按第按第1

9、1列展开列展开，21)( nnnDDD (1)，即即)(211 nnnnDDDD 20反复利用递推公式得：反复利用递推公式得： )(3221 nnnnDDDD (2)(122DDn 由对称性由对称性，(1)式式又又可化为可化为 21)( nnnDDD (1)，即即)(211 nnnnDDDD )(1221DDDDnnn (3), )1( 若若联联列列(2)(3), ,解得解得,)()(121121 DDDDDnnn21,)()(121121 DDDDDnnn,1222 D,1 D而而代入得代入得.11 nnnD, )2( 若若)( 1221DDDDnnn 则则,n nnnDD 1nnnD )(

10、12nnD 222 nnnD )1(11 .)1(nn 22 证证用数学归纳法，用数学归纳法，21211xxD 12xx , )(12 jijixx.)1(2式成立式成立时时当当 n例例7证明范德蒙证明范德蒙 (Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(23倍倍：去去前前一一行行的的行行开开始始，每每行行减减从从第第阶阶范范德德蒙蒙行行列列式式成成立立，式式对对于于假假设设11)1(xnn )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 112112222121111 nnnnnnxxxxxxxxx24提提出出，就就有有因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n- -1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式25)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jj