1.2格林公式曲线积分与路径无关的条件ppt课件

1、一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类二、格林公式二、格林公式三、简单应用三、简单应用四、曲线积分与路径无关的定义四、曲线积分与路径无关的定义一、区域连通性的分类 设设D D为平面区域为平面区域, , 如果如果D D内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围成的部分都属于成的部分都属于D, D, 则称则称D D为平面单连通区域为平面单连通区域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD 设空间区域设空间区域G, G, 如果如果G G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于G, G, 则称则称G G是空间二维单连通域是空间二维单连通域

2、; ; 如果如果G G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G G的曲面的曲面, , 则称则称G G为空间一维单连通区域为空间一维单连通区域. .GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围围成成, ,函数函数),(),(yxQyxP及及在在D上具有一阶连上具有一阶连续偏导数续偏导数, , 则有则有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( (1) (1)其中其中L是是D的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线, ,公式公式(1)(1)叫做

3、叫做格林公式格林公式. .二、格林公式定理定理1 1连成连成与与由由21LLL组组成成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向: : 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, ,区域区域D D总在他的左边总在他的左边. .2LD1L2L1LD),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明(1)(1)若若区区域域D既既是是 X型型又又是是 Y型型,即即平平行行于于坐坐标标轴轴的的直直线线和和L至至多多交交于于两两点点.),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21

4、dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 若区域若区域D由按段光由按段光滑的闭曲线围成滑的闭曲线围成. .如图如图, ,证明证明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()

5、(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLLGD3L2LFCE1LAB证明证明(3)(3) 若区域不止由一条闭曲若区域不止由一条闭曲线所围成线所围成. .添加直线段添加直线段ABAB, ,CECE. .则则D的边界曲线由的边界曲线由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA构成构成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3

6、 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLL便便于于记记忆忆形形式式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的实实质质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.xyoL例例 1 1 计计算算 ABxdy,其其中中曲曲线线AB是是半半径径为为r的的圆圆在在第第一一象象限限部部分分.解解 引入辅助曲线引入辅助曲线L,1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用ABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyx

7、dy, 0, 0 BOOAxdyxdy由由于于.412rdxdyxdyDAB 例例 2 2 计计算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyoAB11D则则 2yeyPxQ ,应用格林公式应用格林公式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e例例3 3 计计算算 Lyxydxxdy22, ,其其中中L为为一一条条无无重重点点, ,分分段段光光滑滑且且不不经经过过原原点点的

8、的连连续续闭闭曲曲线线, ,L的的方方向向为为逆逆时时针针方方向向. .则则当当022 yx时时, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所围成的闭区域为所围成的闭区域为D,解解令令2222,yxxQyxyP ,L( (1 1) ) 当当D )0, 0(时时, ,(2) 当当D )0 , 0(时时,1DrlxyoLD由格林公式知由格林公式知 Lyxydxxdy022作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl ,记记1D由由L和和l所围成所围成,应用格林公式应用格林公式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydx

9、xdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) drrr22222sincos 20格格林林公公式式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 3. 计算平面面积计算平面面积曲线曲线AMO由函数由函数, 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 计计算算抛抛物物线线)0()(2 aaxyx与与x轴轴所所围围成成的的面面积积. .解解ONA为为直直线线0 y. L

10、ydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM其中其中L L是曲线是曲线|x|+|y|=1|x|+|y|=1围成的区域围成的区域D D的正向边界。的正向边界。11-1-1-1-1LDyxO格林公式的应用格林公式的应用 （格林公式）（格林公式） 从从 证明了：证明了： 练习练习1 1 计算积分计算积分 Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(解解 Dxycose(yxyxdd)1cose 222 A DyxyPxQdd LyyxQxyxPd),

11、(d),( Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(练习练习2 2求星形线求星形线tytxL33sin,cos ：所界图形的面积。所界图形的面积。解解 DyxAdd Lyxd 2064dcoscos12ttt 2024dsincos3t tt8322143652214312 yxODL11-1-1-1-1重要意义：重要意义： 1.1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系2.2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系4.4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用它的应用范围可以突破右手系的限制，

12、使它的应用 3.3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。 DyxyPxQdd 1LQdyPdx四、曲线积分与路径无关的定义 2LQdyPdx如果对于区域如果对于区域 G G 内任意指定的两点内任意指定的两点 A A、B B 以及以及 G G 内内从点从点 A A 到点到点 B B 的任意两条曲线的任意两条曲线 L1 L1，L2 L2 有有 GyxoBA1L2L 1LQdyPdx 2LQdyPdx. 0 LQdyPdx)(21LLL ( )( ,)( ,)0Li

13、DLP x y dxQ x y dy沿内 任 一 按 段 光 滑 封 闭 曲 线 ， 有( )( ,)( ,),;LiiDLP x y dxQ x y dyL对 内任一按段光滑曲线 ，曲线积分与路线无关 只与 的起点及终点有关xQyPARBQdyPdxASBQdyPdxARBQdyPdxBSAQdyPdxARBSAQdyPdx=0所以 ARBQdyPdx=ASBQdyPdx,ABu x yPdxQdy,ACABu xx yu x yPdxQdyPdxQdyBCPdxQdy,BCuu xx yu x yPdxQdy ,xxxPdxQdyP xx yx xuyxxPxuxx,limlim00yxP

14、,= = ,.uQ x yy同理可证因此.duPdxQdy,.P x yu x yQ x yu x yxy所以因此22,.PuQuyx yxy x 22.uux yy x .PQyx.D于是，在于是，在 内内.PQyx应用格林公式，有应用格林公式，有 dyPxQdyyxQdxyxPDC )(),(),(. 0 LdyyxQdxyxP),(),(与路径无关与路径无关., xQyP 若若 ),(),(1100yxByxAQdyPdxdyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC ),(11yxB ),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或x

15、yoL LQdyPdx 则则CBAC ),(10yxDADDB与路径无关与路径无关解解因而，积分与路径无关。因而，积分与路径无关。.2),( ,),( yxeyxQxeyxPyy 设设那么那么 P，Q 在全平面上在全平面上有有连续的一阶偏导数，且连续的一阶偏导数，且,yeyP .yexQ . xQyP 即即oxy112全平面是单连通域。全平面是单连通域。oxy112取一简单路径：取一简单路径：L1 + L2.1L2L. 10: , 0 :1 xyL. 20: , 1 :2 yxL Lyydyyxedxxe)2()( 21)2()()2()(LyyLyydyyxedxxedyyxedxxe 20

16、100)21()(dyyedxxey.272 e因而，积分与路径无关。因而，积分与路径无关。,yeyP .yexQ . xQyP 即即全平面是单连通域。全平面是单连通域。解解因而，积分与路径无关。因而，积分与路径无关。. xQyP 即即oxy11.),( ,2),( 422yxyxQxyxyxP 设设那么那么 P，Q 在全平面上有连续在全平面上有连续的的一阶偏导数，且一阶偏导数，且,2xyP .2xxQ 全平面是单连通域。全平面是单连通域。oxy11 1010422)1()02(dyydxxx .1523 因而，积分与路径无关。因而，积分与路径无关。. xQyP 即即,2xyP .2xxQ 全

17、平面是单连通域。全平面是单连通域。取一简单路径：取一简单路径：L1 + L2. 10: , 0 :1 xyL. 10: , 1 :2 yxL1L2L Ldyyxdxxyx)()2(422 21)()2()()2(422422LLdyyxdxxyxdyyxdxxyxxyo) ,(yxB ),(00yxA GdyyxQdxyxPyxuyyxx),(),(),(000 dxyxPdyyxQyxuxxyy),(),(),( 000 或或CBAC DBAD ),(0yxC ),(0yxD解解,2)(2xyxyyyP .2)(2xyyxxxQ ,),(2xyyxP .),(2yxyxQ 例例7 验证：在验

18、证：在 xoy 面内，面内，ydyxdxxy22 是某个函数是某个函数u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。的全微分，并求出一个这样的函数。这里这里且且在整个在整个 xoy 面内恒成立。面内恒成立。xQyP 即，即，因而，在因而，在 xoy 面内，面内，ydyxdxxy22 是某个函数是某个函数u (x, y) 的全微分。的全微分。dyyxdxxyxuyx 0),(0202 . 0 , 0 00 yx取取.222yx 积分与路径无关积分与路径无关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 1.1.连通区域的概念连通区域的概念; ;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3. 3. 格林公式的应用格林公式的应用. .格林公式格林公式; ; LDQdyPdxdxdyyPxQ)(五、小结与与 路路 径径 无无 关关 的的 四四 个个