线面垂直习题精选.

1、线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图 1，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， M 为 CC1 的中点， AC 交 BD 于点 O，求证： A1O平面 MBD 证明：连结 MO ， A1 M ， DB A1A ，DB AC， A1 AAC A， DB平面 A1 ACC1 ，而 AO1平面 A1 ACC1DB A1O 设正方体棱长为 a ，则 A1O 23 a2 ， MO 23 a2 24在 Rt A1C1M 中， A1M 29 a2 A1O 2MO 2A1M 2 ， AO1 OM OM4 DB=O， A1O 平面 MBD 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用

2、棱长、角度大小等数据，通过计算来证明利用面面垂直寻求线面垂直2 如图 2， P 是 ABC 所在平面外的一点，且 PA平面 ABC，平面 PAC平面 PBC求证： BC 平面 PAC证明：在平面PAC 内作 AD PC 交 PC 于 D 因为平面 PAC平面 PBC，且两平面交于PC，AD平面 PAC，且 AD PC， 由面面垂直的性质，得AD平面 PBC又 BC平面 PBC， AD BCPA平面 ABC， BC平面 ABC， PA BC AD PA=A， BC平面 PAC（另外还可证BC 分别与相交直线 AD ，AC 垂直，从而得到 BC平面 PAC）评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证

3、明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面垂直这三者性质性质之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明SAABCDASCSB，SC，SDE，F，GAESB3 如图所示，ABCD且垂直于的平面分别交于求证：为正方形，平面，过，AGSD 证明：SA平面AB

4、CD，BCSABAESABBC AESCAEFGSC AESA BCABBC，平面平面平面又，AE 平面 SBC AESB同理可证 AGSD 评注 ：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化4 如图，在三棱锥 BCD中， BC AC， AD BD，作 BECD， 为垂足，作 AHBE于求证： AH平面 BCD证明：取 AB的中点 ，连结 CF，DF ACBC ， CFAB ADBD ， DFAB CDF又CFDFF，AB平面CDCD平面CDFAB，又 CDBE，BEABB ，CD

5、平面ABECDAH， AHCD， AHBE，CDBE E，AH平面BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5如图，AB是圆的直径，是圆周上一点，PAABCAE PC，为垂足，是PBAEF平面若上任意一点，求证：平面平面PBC证明： AB是圆 的直径， ACBC PA平面ABCBC平面ABC，PA BCBCAPC平面 BC 平面 PBC，平面 APC平面 PBC AEPC，平面 APC平面 PBCPC，AE平面 PBC AE 平面 AEF，平面 AEF平面 PBC评注： 证明两个平面垂直时，一般可先从现有

6、的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系6. 空间四边形 ABCD 中，若 AB CD， BC AD ，求证： AC BDADBOC证明：过 A 作 AO 平面 BCD 于 OAB CD， CDBO 同理 BCDOO 为 ABC 的垂心于是 BD CO BD AC7. 证明：在正方体 ABCD A 1B 1C1D1 中， A 1C平面 BC1 DD 1C1A 1B 1DCAB证明：连结ACBDACAC 为 A1C 在平面 AC 上的射影BDA1CA1C 平面 BC1 D同理可证 A1C BC18. 如图， PA平面 ABCD ， ABCD 是矩形，

7、 M 、N 分别是 AB 、PC 的中点，求证：MNABPNDCABMEN/ 1DC. 证：取 PD 中点 E，则2PENDCABMEN / AMAE/MN又CD ADCD AE平面 PADCD / /ABMN ABPACD平面 AC平面 PADAE /MNAE9 如图在ABC 中，AD BC ， ED=2AE ， 过 E 作 FG BC ，且将AFG沿 FG折起，使 A'ED=60°，求证 :A 'E平面 A'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解： FG BC，AD BCA'CDG A'E FG A'E B

8、C设 A'E=a，则 ED=2a由余弦定理得：222A'D =A'E +ED-2 ?A'E?EDcos60°2=3aAEBF ED2=A'D2+A'E2 A'D A'E A'E平面 A'BC10 如图 , 在空间四边形 SABC 中, SA 平面 ABC, ABC = 90 , AN SB 于 N, AM SC 于 M。求证 : AN BC; SC 平面 ANM 分析 :要证 AN BC , 转证 , BC平面 SAB。要证 SC 平面 ANM, 转证 , SC 垂直于平面ANM 内的两条相交直线, 即证

9、 SC AM, SC AN。要证 SC AN, 转证 AN平面 SBC, 就可以了。证明 : SA 平面 ABCSA BC又BC AB, 且 ABSA= ABC 平面 SABAN平面 SABAN BCAN BC,ANSB, 且 SBBC =BAN 平面 SBCSCC 平面 SBCAN SC又AMSC, 且 AMAN = ASC 平面 ANM11 已知如图， P平面 ABC，PA=PB=PC， APB= APC=60°， BPC=90 °求证：平面ABC平面 PBC分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC 中点 D ，证明 AD

10、 垂直平 PBC 即可证明：取 BC 中点 D连结 AD 、PD PA=PB； APB=60°PAB为正三角形同理PAC为正三角形设 PA=a在 RTBPC中， PB=PC=aBC=2 aPD=2 a 在 ABC中 AD= AB 2 BD 2222=2 aAD2+PD2=2 a2 a =a 2=AP2 APD为直角三角形即 AD DP又 AD BC222 AD平面 PBC平面 ABC平面 PBC13 以 AB 为直径的圆在平面内， PA于 A ，C 在圆上，连 PB 、PC 过 A 作 AE PB 于 E ，AF PC 于 F，试判断图中还有几组线面垂直。PEFABC解：PABCPA

11、面 PACBCBCAFBCAB为直径ACBCAF面 PACAFPCAFPBPBAF 面 PBCPBAE面 AEF例 1 如图 9 39，过 S 引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且 ASB= ASC=60°， BSC=90 °，求证：平面 ABC 平面 BSC【证明】 SB=SA=SC， ASB= ASC=60° AB=SA=AC取 BC 的中点 O，连 AO 、SO，则 AO BC，SO BC，2 AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又 BSC=90°， BC=2 a， SO=2 a，11AO2 =AC 2OC2=a2 2

12、a2= 2 a2 ， SA2=AO 2+OS2 ， AOS=90 °，从而平面ABC 平面 BSC例 2如图 940，在三棱锥SABC 中， SA平面ABC ，平面 SAB 平面 SBC图 940（1）求证： AB BC；（ 2）若设二面角SBC A 为 45°， SA=BC ，求二面角A SCB 的大小（1）【证明】作AH SB 于 H，平面 SAB 平面 SBC平面 SAB 平面 SBC=SB， AH 平面 SBC，又 SA 平面 ABC ， SA BC，而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB ， BCSB，又 SA SB=S，BC平面 SAB BC AB （2）【

13、解】 SA 平面 ABC ，平面 SAB 平面 ABC ，又平面 SAB 平面 SBC， SBA 为二面角 SBC A 的平面角， SBA=45 °设 SA=AB=BC=a ，26作 AESC 于 E，连EH，则EH SC， AEH为二面角A SCB的平面角，而AH=2a， AC=2 a， SC=3 a，AE=3a3 sinAEH= 2 ，二面角 A SC B 为 60°【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法例 3如图 941，PA平面 ABCD ，四边形 ABCD 是矩形， PA=AD=a ， M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点（ 1）求平面 PCD 与平面

14、ABCD 所成的二面角的大小；（ 2）求证：平面 MND 平面 PCD（ 1）【解】 PA 平面 ABCD ，CD AD ，PD CD ，故 PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所成二面角的平面角，在 PDA=45 °RtPAD中， PA=AD，1（2）【证明】取 PD 中点 E ，连结 EN， EA ，则 EN2 CDAM ，四边形 ENMA 是平行四边形， EA MN AE PD，AE CD， AE 平面 PCD，从而 MN 平面 PCD ， MN平面 MND ，平面 MND 平面 PCD【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN 平面 PCD 较困难，转化为

15、证明 AE 平面 PCD 就较简单了另外，在本题中，当 AB 的长度变化时，可求异面直线PC 与 AD 所成角的范围例 4如图 942，正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、F、M 、 N 分别是 A1B1、 BC 、C1D1、 B1C1 的中点图 942（1）求证：平面MNF 平面 ENF （ 2）求二面角M EFN 的平面角的正切值（1）【证明】M 、N、 E 是中点， EB1 B1N NC1C1M ENB 1MNC 1 45 MNE 90即 MN EN，又 NF平面 A1C1， MN平面A 1C1 MN NF ，从而 MN 平面 ENF MN平面 MNF ，平面 MNF 平面 EN

16、F（2）【解】过 N 作 NH EF 于 H ，连结 MH MN 平面 ENF， NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影，23由三垂线定理得 MH EF， MHN 是二面角 M EF N 的平面角在 RtMNH 中，求得 MN=2 a， NH=3 a，MN66tanMHN= NH2 ，即二面角 M EF N 的平面角的正切值为 2 例 5在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，底面 ABCD 是边长为2 的正方形，侧棱长为3 ， E、 F 分别是 AB 1、 CB1 的中点，求证：平面 D 1EF平面AB 1C【证明】如图943， E、 F 分别是 AB 1、 CB1 的中点，图 9

17、43 EFAC AB 1 =CB 1， O 为 AC 的中点 B1 O AC 故 B 1O EF在 RtB1 BO 中， BB 1=3 ，BO=1 1 BB 1O=30°，从而OB1D1=60°，又 B 1D1=2， B 1O1= 2 OB1=1（O1 为 BO 与 EF 的交点） D1B 1O1 是直角三角形，即B1O D1O1， B1O平面 D1EF又 B1O平面 AB 1C，平面 D 1EF平面 AB 1C1棱长都是 2 的直平行六面体ABCD A 1B 1C1D1 中， BAD=60 °，则对角线 A 1C 与侧面 DCC 1D1 所成角的正弦值为 _【解

18、】过 A 1 作 A 1G C1D 1 于 G，由于该平行六面体是直平行六面体，A 1G平面 D 1C ，连结 CG， A 1CG 即为 A 1C 与侧面 DCC1 D1所成的角3A 1G= A 1 D1 ·sin A 1 D1 G=2sin60 ° =2· 2 =3 而AC= AB 2BC22222222(1)23 A1C= A1A2AC24124，2 AB BC cos120 =2A1G33sinA 1CG= A1C4 【答案】42 E、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点， EF 、 BD 相交于 O，以 EF 为棱将正方形折成直二面角

19、，则BOD=_ 【解析】设正方形的边长为 2a2a22a 26a21则 DO 2=a2+a2 =2a2OB 2=a2+a2 =2a2DB 2=DF 2+FB 2=a2+4a2 +a2=6a2 cosDOB=22a2a2 DOB=120 °3如图 944，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C1 的各棱长均为2，侧棱与底面成3 的角，侧面 ABB 1 A1 垂直于底面，图 944（1）证明： B 1C C1A （ 2）求四棱锥B ACC 1A 1 的体积（1）【证明】过B1 作 B1O AB 于 O，面 ABB 1A1底面 ABC ，面 ABB 1A 1面ABCAB B 1O面 ABC ，

20、 B 1BA 是侧棱与底面所成角，B1 BA= 3 ，又各棱长均为 2， O 为 AB 的中点，连 CO，则 CO AB ，而 OB1 CO=O， AB 平面 B 1OC ，又 B 1C平面 OB 1C， B1C AB ，连 BC1， BCC 1 B1 为边长为 2 的菱形， B1C BC 1，而 AB BC 1=B ，B1C面 ABC 1 A1C面 ABC 1 B1C AC 131（2）【解】在 RtBB 1O 中， BB 1=2， BO=1 ， B 1O=3 ， V 柱 =Sh= 4 ·4·3 =3， VB A1B1C1 = 3 V 柱 =1，VBAA1C1C =V 柱

21、 VB A1B1 C1 =3 1=24如图 945，四棱锥 PABCD 的底面是边长为a 的正方形， PA 底面 ABCD ， E 为 AB 的中点，且PA=AB 图 945（1）求证：平面PCE平面 PCD；（ 2）求点 A 到平面 PCE 的距离（1）【证明】 PA 平面 ABCD ，AD 是 PD 在底面上的射影，又四边形ABCD 为矩形， CDAD ， CD PD， AD PD=D CD 面 PAD ， PDA 为二面角P CDB 的平面角，PA=PB=AD ， PA AD PDA=45 °，取 Rt PAD 斜边 PD 的中点 F，则 AF PD， AF面 PADCDAF

22、，又 PDCD=D AF 平面 PCD，取 PC 的中点 G，连 GF、AG 、EG，则 GF121CD又AE2CD，GFAE 四边形AGEF 为平行四边形AF EG， EG平面 PDC 又 EG平面 PEC，平面 PEC平面 PCD （ 2）【解】由（ 1）知 AF 平面 PEC，平面 PCD平面 PEC，过 F 作 FH PC 于 H，则 FH 平面 PEC FH 为 F 到平面 PEC 的距离，即为 A 到平面 PEC 的距离在 PFH 与 PCD 中， P 为公共角，FHPF而 FHP= CDP=90 °， PFH PCD CDPC ，设 AD=2 ， PF= 2 ，PC=

23、PD 2CD 28423，26623 A 到平面 PEC 的距离为3 FH= 2 35已知直四棱柱ABCD A 1B 1C1D 1 的底面是菱形，对角线AC=2 ，BD=23 ，E、F 分别为棱 CC1、BB 1 上的点，且满足 EC=BC=2FB 图 946（1）求证：平面AEF 平面 A1 ACC 1；（ 2）求异面直线EF、 A1 C1 所成角的余弦值1（1）【证明】 菱形对角线AC=2 ，BD=23 BC=2，EC=2，FB=1 ，取 AE 中点 M ，连结 MF，设 BD 与 AC 交于点 O，MO2 ECFB平面 AEF 平面 ACC 1 A 1（2）在 AA 1 上取点 N，使 AN=2 ，连结 NE ，则 NEACA 1C1故 NEF 为异面直线 A 1C1 与 EF 所成的角，连结NF ，在直角梯形 NABF 中易求得 NF=5 ，同理求得 EF= 5 34555在 ENF 中， cosNEF= 2255 ，即 EF 与 A 1C1 所成角的余弦值为 5 【解题指导】 在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直解决这类问题