第三章-平面任意力系.

1、第三章平面任意力系习题3-1x 轴与y 轴斜交成角，如图3-23 所示。设一力系在xy 平面内，对y轴和x 轴上的A、B 两点有M iA0 ，M iB0 ，且Fiy0 ，Fix0。已知 OAa ，求B 点在x 轴上的位置。解：因为M AM iA0 ，但Fix0 ，即FR0 ，根据平面力系简化结果的讨论（ 2）可知，力系向A 点简化的结果是：FR 是原力系的合力，合力FR 的作用线通过简化中心 A 。又因为 M BM iB0 ，但Fix 0 ，即 FR0 ，根据平面力系简化结果的讨论（ 2）可知，力系向 B 点简化的结果是： FR 是原力系的合力，合力 FR 的作用线通过简化中心 B。一个力系的

2、主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。因此，合力 FR 的作用线同时能过 A 、B 两点。又因为 FRyFiy 0 ，所以合力 FR 与 y 轴垂直。即 AB 与 y 垂直。由直角三角形 OAB 可知， B 点离 O 点的距离为：bacosyAa90 0xObB图323习题 3-2 如图 3-24所示，一平面力系 (在oxy平面内 )中的各力在 x轴上投影之代数和等于零，对 A 、 B两点的主矩分别为 M A 12kNm ， M B15kNm ，A、B两点的坐标分别为（ 2， 3）、（4，8），试求该力系的合力 (坐标值的单位为 )。解：由公式（ 3-5）可知：yFRM O2M O1MO2(

3、FR)M BM BM AM B(FR)B(4,8)FRFRM BM AM B ( FRx ) M B ( FRy )M A依题意 FRx0 ，故有：a 8mA(2,3)C( 6,3)M BM AM B ( FRy )xO1512FRy (4 2)题 324 图2FRy3FRy1.5(kN )FRFRy1.5kNM A12aFR8(m)1.5故C点的水平坐标为： x 6m。150 150习题 3-3 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力FP 250FQFP，屋顶传来的力 FQ 30，试将该两力向底面中心 O简化。图中长度单位是。200500O题325图解:主矢量 :FRFPFQ250 30280(

4、kN )()，作用在 O点。主矩: MOFP0.15FQ0.15( 250 30)0.1533(kN m) 习题 3-4已知挡土墙自重W400kN ，土压力F 320kN，水压力 FP 176kN ，如图 3-26所示。求这些力向底面中心 O简化的结果；如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。图中长度单位为m。解 :(1) 求主矢量FRxFPF cos 400176320 cos40069.134(kN )FRyWF sin 400400320sin 400605.692( kN)FRFRx2FRy2( 69.134) 2( 605.692) 2609.625( kN )FR 与水平面之间的

5、夹角:FRyarctan605.6920'"arctan83 2918FRx69.134(2)求主矩M O400 0.8176 2320 cos 4003sin 60 0320 sin 40 0(3 3cos600 ) 296.321( kN m)(3)把主矢量与主矩合成一个力M O296.3210.486( m)d609.625FRd0.4860.0555(m)xtan605.69269.134FR"F RRR'F R"xM OxO 'OOOddFRFR'FR'FR习题 3-5某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅垂力F11940

6、， F2800及制动力 FT 193。桥墩自重 W 5280，风力 FP140。各力作用线位置如图所示。求将这些力向基底截面中心O简化的结果；如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。解 :(1) 求主矢量FRxFPFT140193333(kN )FRyWF1 F25280 19408008020(kN )FR22( 333) 2(8020 ) 28026.91(kN )FRxFRyFR 与水平面之间的夹角:FRy8020870'"arctanarctan37 21FRx333(2)求主矩M O140 10.7193 21.258000.41940 0.4 6055.25(k

7、N m)(3)把主矢量与主矩合成一个力M O6055.25d0.754( m)FR8026.91d0.754x0.0313(m)tan8020333FR"M OFR RR'FR"'xOxOOdOdF RFR'FR'FR习题 3-6 图示一平面力系，已知F1 200， F2 100， 300·。欲使力系的合力通过 O点，问水平力之值应为若干?解 :FRxFF1 cosF2003F12054FRyF2F1 sin100200260( kN)5主矢量 :FR(F120) 2(260) 2M 0(F1)322004560(kN m)2002

8、55M 0(F2)100 2200(kN m)M0(F)1.5F主矩 :M 05602001.5F300601.5F要使合力通过 O点,必使 :M0 601.5F 0 ,即 F 40kN习题 3-7在刚架的 A、B两点分别作用 F1 、 F2 两力，已知 F1 F2 10。欲以过点的一个力F 代替 F1、 F2 ，求的大小、方向及 B、C间的距离。解 :FRxF2 F1 cos60010 100.5 5(kN )FRyF1 sin 60010 0.8668.66( kN)主矢量 :FR52( 8.66)210(kN )方向arctan FRy FRxarctan8.665600 ()M C(F

9、1)10 sin600x8.66x(设 BCx )M C (F2 )10220(kNm)主矩 :M C8.66x20要使 F通过C点, 且与 F1, F2 两力等效 ,必使 :M C8.66x 200 ,即 x2.309(m)当 x2.309(m) 时,F F10(kN ) 方向与x轴正向成600().R,习题 3-8 外伸梁 AC受集中力 FP 及力偶（ F， F）的作用。已知 FP 2，力偶矩 M 1.5·，求支座 A、B的反力。MFR Ax0AB45R AyRBC4m2m解：（ 1）以 AC 为研究对象，画出其受力图如图所示。（ 2）因为 AC 平衡，所以 M A ( Fi )

10、 0RB4 MF sin 45060RB(MF sin 4506)/4(1.5 2 0.7071 6) / 4 2.49(kN ) Fix 0RAxF cos4500RAx2 cos45 01.41(kN ) Fiy 0RAyRBF sin 4500RAyRBF sin 4502.5 2 0.7071 1.08( N )习题 39 求图示刚架支座 A、B的反力，已知：图（ a）中， M 2.5·，F5；图（）中，F3。解：图（ a）（ 1）以刚架 ABCD 为研究对象，画出其受力图如图所示。FM4CD 32.5mARAxBR Ay2mRB（ 2）因为 AC 平衡，所以 M A ( F

11、i ) 0RB2 M32.5 F4F2 0552RB2.57.5 80RB1( kN)Fix0RAxF305RAx533(kN )5Fiy04RAyRBF05RAyRB F41 5 0.8 3(kN )5解：图（ b）（ 1）以刚架 ABCD 为研究对象，画出其受力图如图所示。2mCDF3mARAxBRAy4mRB（ 2）因为 AC 平衡，所以 M A ( Fi ) 0RB4F3q42 04RB331420RB(98)/44.25(kN ) Fix 0RAxF0RAxF3(kN ) Fiy 0RAyRBq40RAyRBq44.25140.25( kN )习题 310弧形闸门自重W 150，水压

12、力FP 3000，铰处摩擦力偶的矩 M 60·。求开始启门时的拉力FT 及铰 A的反力。FTR AxR AyFPB解：开始打开闸门时， B 与地面脱开， N B0 。因为此时闸门平衡，所以M A (Fi ) 0MW4FP0.1 FT6 0601504 3000 0.1FT6060600300FT601010050FT0FT60(kN ) Fix 0RAxFP cos30 00RAx3000 0.8662598( kN ) Fiy 0RAyFTFP sin 300W0RAyFTFP sin 300W6030000.51501410(kN )习题 311图为一矩形进水闸门的计算简图。设闸

13、门宽（垂直于纸面），AB，重 W15，上端用铰 A支承。若水面与 A齐平后无水，求开启闸门时绳的张力 FT 。C解：ACAB sin 30 020.5 1(m)BCAB cos30 020.866 1.732(m)开启闸门时 ， N B0，此时，因为 AB 平衡，所以M A ( Fi )0FT1 1( w1.73) 1.732 1.73W0.5023FT119.8 1.73 1.73 21.73 150.5 023FT16.9147.50FT24.414(kN )习题 312拱形桁架的一端 A为铰支座，另一端 B为辊轴支座，其支承面与水平面成倾角 30°。桁架重量 W为100，风压力

14、的合力FQ 为20，其方向平行于 AB 。求支座反力。解：因为桁架平衡，所以 M A (Fi ) 0RB cos30020W10FQ4017.32 RB1000800RB62.4( kN )RB Fix 0RAxRB sin 300FQ0RAx62.36 0.5200RAx11.2( kN ) Fiy 0RAyRBcos300W 0RAy62.4 0.866100 0RAy46( kN )FQR AxR Ay习题 313 悬管刚架受力如图。已知 q4， F25， F14，求固定端 A的约束反力。解：因为 ABC 平衡，所以 M A (Fi ) 0M AF1 2.5 F231q 32012M A

15、5 2.54 34 3202M A12.5 12180M A42.5( kNm) Fix0M ARAxR AyF1RAx0RAxF14(kN ) Fiy 0RAyF2q30RAy54317(kN )习题 314 汽车前轮荷载为 10，后轮荷载为 40，前后轮间的距离为 2.5 ，行驶在长 10的桥上。试求：（）当汽车后轮处在桥中点时，支座 A、B的反力；（）当支座 A、 B的反力相等时，后轮到支座 A的距离。40kN2.5m 10kNRAxRAyRB10m解：因为桥 AB 平衡，所以M A (Fi )0RB1040x10( x2.5) 0RB4x( x2.5)0RB4xx2.50RB5x2.5

16、 Fix 0RAx0 Fiy 0RAyRB10400RAy50RB505x2.547.55x当汽车后轮处在桥中点时，x5m ，此时，RAx0RAy47.5 5522.5(kN )RB5x2.555 2.5 27.5(kN )当 RARB 时，后轮的位置：47.55x5x2.510x45x4.5(m)习题 315汽车起重机在图示位置保持平衡。已知起重量W1 10，起重机自重 W2 70。求 A、B两处地面的反力。起重机在这位置的最大起重量为多少 ?W270kNW110kNBARARB解：因为起重机在图示位置时处于平衡，所以 M A (Fi ) 0RB4.510 7.5 702.5 0RB(751

17、75) / 4.555.6(kN )Fiy0RARB 1070 0RARB8055.56 80 24.4(kN )设最大起重量为 Wmax ，则此时 RA 0M B ( Fi )070 2Wmax30Wmax140/ 346.7( kN)习题 316基础梁 AB上作用集中力 F1 、 F2 ，已知 F1200kN ， F2400kN 。假设梁下的地基反力呈直线变化，试求A、 B两端分布力的集度 q A 、 qB。图中长度单位为 m。F1 200kN2F 400kN解：因为基础梁 AB 平衡，所以 M A (Fi ) 016 ( qBqA )2 6 q A 6 3 F1 1 F2 5 02312

18、(qBq A )18qA200 2000 06qB3qA1100.(1)Fiy016 ( qBqA ) qA 6 F1 F2 023qB3qA600.(2)(1)-(2)得：3qB500qB167( kN / m)q A200qB200166.733(kN / m)习题 317 将水箱的支承简化如图示。 已知水箱与水共重 W320，侧面的风压力 F20kN ，求三杆对水箱的约束力。解：因为水箱平衡，所以 M A (Fi ) 0N BD3.6320 1.82060N BD(576120) / 3.6193(kN ) （压力） Fix 020N BC cosBCD 020N BC3.603.624

19、.82200.6N BC0N BC20 / 0.633( kN ) （拉力） Fiy 0N BC sinBCDN ACN BDW0334.8N AC193 320 06N AC153(kN )（压力）W320kNF20kNN BCNAC6N BD习题 318 图示冲压机构。设曲柄OA长r ，连杆 AB长 l，平衡时 OA与铅直线成 角，求冲压力 FP 与作用在曲柄上的力偶M之间的关系。解：以曲柄 OA 为研究对象，其受力图如图所示。r lsinsinsinrsinlcos1sin 21( r sin)21l 2r 2 sin 2lldr sin()r (sincoscossin)dr (sin

20、1l 2r 2 sin 2cosr sin )ROr sinllOd(l 2r 2 sin 2r cos)rl因为 OA 平衡，所以MRA dMdARAr sin(l 2r 2 sin2r cos)MRAllRAMlr sin(l 2r 2 sin 2r cos)由滑块 B 的平衡可知，BFPRA cosFPr sin(l 2Mlr cos)1l 2r 2 sin2r 2 sin 2lFPMl 2r 2 sin 2r sin(l 2r 2 sin 2r cos)MFP r sin(l 2r 2 sin 2r cos)l 2r 2 sin 2MF p r sin(1r cos)l 2r 2 si

21、n 2习题 319图中半径为的扇形齿轮， 可借助于轮 O1 上的销钉 A而绕 O2 转动，从而带动齿条 BC在水平槽内运动。已知 O1 Ar ， O1O23r 。在图示位置 O1 A水平（ O1O2 铅直）。今在圆轮上作用一力矩M，齿条 BC 上作用一水平力 F，使机构平衡，试求力矩 M与水平力 F之间的关系。设机构各部件自重不计，摩擦不计。M解：O1NA以轮 O1 为研究对象，其受力图如图所示。ArRO1因为轮 O1 平衡，所以3rM O1 ( Fi )02rN Ar sinM 0N AMM2MO2r sinrrr2r以齿轮和齿条构成的物体系统为研究对象，其受力图如图所示。因为物体系统平衡，

22、所以M O1 ( Fi )0M O 2 ( Fi )0'N AF RN A ' 2r0FRN A2r0FR2M2r0rFR4M0MFR4习题 320 图示一台秤。空载时，台秤及其支架的重量与杠杆的重量恰好平衡；当秤台上有重物时，在AO上加一秤锤，设秤锤重量为W， OB a，求 AO上的刻度 x 与重量 P 之间的关系。解：以杠杆 OA 为研究对象，其受力图如图所示。因为 AB 平衡，所以OABM O ( Fi )0xaRB a Wx0RORBWRBWxa以称台为研究对象，其受力图如图所示。因为 AB 平衡，所以Fix0RB'RC0BPFiy0RB'P0RB P0

23、WxRC0CPaPaxW习题 321 三铰拱桥，每一半拱自重 P40，其重心分别在 D 和 E点，桥上有荷载 W 20，位置如图。求铰 A、B、C三处的约束力。图中长度单位为。HBHAVBVA解：以整体为研究对象，其受力图如图所示。因为整体平衡，所以M B ( Fi )0VB10P9W7.5P10VB(10P7.5W ) /10(4007.520) / 10 55(kN )Fiy0VAVB2PW0VAVB2PW55 802045(kN )以 BC为研究对象，其受力图如图所示。因为 BC平衡，所以1PCM C ( Fi )0H CH B5P4VB505VCH B(P4VB5) /5BH B5VB

24、0.8P450.840 13(kN )VB由整体的平衡条件得：H AH B0H AH B13(kN )Fix0H BH C0H CH B29(kN )（）Fiy0VBVCP0VCPVB40 45 5(kN ) （）习题 322三铰拱式组合屋架如图所示， 已知 q5kN / m ，求铰 C 处的约束力及拉杆 AB 所受的力。图中长度单位为m。解：以整体为研究对象， 其受力图如图所示。因为整体平衡，所以M A ( Fi )0RAxRAyRBRB9 q9 4.50RB4.5q4.5 522.5( kN )Fix0RAx0Fiy0RARBq 90RARB9q22.5 9 5 22.5(kN )以右半部

25、分为研究对象，其受力图如图所示。因为右半部分（局部）平衡，所以M C ( Fi )0N AB1.5RB4.554.5 2.250N AB( 22.54.554.52.25) / 1.533.75( kN )Fix0qRCxN AB0RCxCRCxN AB33.75( kN )RCy1.5mN ABBFiy04.5mRCyRB 0RBRCyRB22.5( kN )习题323剪钢筋用的设备如图所示。欲使钢筋受力12，问加在 A点的力应多大 ?图中长度单位为。B450RB1200RCxDC200RCyN D解：以 BCD为研究对象，其受力图如图所示。FA因为 BCD平衡，所以M C ( Fi )0R

26、B '4501500RB sin 4501.2ND 0.2 0RB32N D0300ROxO122.828( kN )ROyRB23以 OA为研究对象，其受力图如图所示。因为 OA平衡，所以M O ( Fi )0F1.5RB ' sin 4500.3 0F(RB sin 4500.3)/1.5F(2.8280.70710.3) / 1.5 0.4( kN )习题 324图为某绳鼓式闸门启闭设备传动系统的简图。已知各齿轮半径分别为 r1 、 r2 、 r3 、 r4 ，绳鼓半径 r ，闸门重 W，求最小的启门力M。设整个设备的机械效率为（即 M的有效部分与 M之比）。解：以轮 O

27、1 为研究对象， 其受力图如图所示。 图中， F1 为轮 O2 对轮 O1 的啮合力。为压力角。因为轮O1 平衡，所以M O1 (Fi )0RO1 yM F1 c o sr10O1Mr1RO1 xF1F1Mr1 c o s以轮 O2 为研究对象，其受力图如图所示。图中，F2 为轮 O3 对轮 O2 的啮合力。为压力角。因为轮O2 平衡，所以M O2 (Fi )0F2cos r3F'cosr201F2RO2 yF1'r3F2cosr3 F1 cos r2 0F2r2 F1r2M(1)r 3r3r1 cos以轮 O3 为研究对象，其受力图如图所示。因为轮 O3 平衡，所以M O 3

28、 ( Fi )0F2 ' cosr4WrF2 cosr4WrrWF2(2)r 4 cosO2RO2 xr2RO3 yO3r 4RO3 xrWF2'由（ 1）、（2）得：r2MrWr3r1 cosr4 cosr2MrWr3r1r4r1r3rWMr2 r4习题 325 图为一种气动夹具的简图，压缩空气推动活塞E向上，通过连杆推动曲臂 AOB ，使其绕 O点转动，从而在 A 点将工件压紧。在图示位置，°，已知活塞所受总压力F，试求工件受的压力。所有构件的重量和各铰处的摩擦都不计。图中长度单位为。解：以C铰为研究对象，其受力图如图所示。因为 C铰平衡，所以Fix0N BC c

29、os 20 0N DCcos2000N BCN DCFiy02N BC sin 20030N BC34.386(kN )2sin 200以曲臂 AOB 为研究对象，其受力图如图所示。因为曲臂 AOB 平衡，所以200NBC250200CN DC3kNN BCB700'AORM O ( Fi )0NAN BC ' sin 7000.25N A0.10N BC sin 7002.5N A0N A N BC sin 70 02.54.3860.9397 2.5 10.3(kN )Ox100ROy根据作用与反作用公理，工件所受到压力为10.3kN。习题 326 水平梁由 AC、BC二部

30、分组成， A端插入墙内， B端搁在辊轴支座上，处用铰连接，受 F、M 作用。已知 F， M·，求 A、 B两处的反力。解：以BC为研究对象，其受力图如图所示。因为 BC平衡，所以M C ( Fi )04kNm6kNBRB4 60RCxCRCyRBRB6 / 41.5(kN )Fiy0RcyRB40RcyRB41.542.5(kN )以AC 为研究对象，其受力图如图所示。因为 AC 平衡，所以'RCyRAyFiy0ACRcy 'RAxRAy0M ARAyRcy2.5(kN )M A ( Fi )0M ARCy '40M ARCy42.5 410( kN m)习题 327 钢架 ABC和梁 CD，支承与荷载如图所示。 已知 F， q， q0，求支座A、B的反力。图中长度单位为m。F5kNDC1m1mRD2.5kNRC2.5kN解：以 CD为研究对象，其受力图如图所示。因为 CD平衡，所以RC '2.5kNM D ( Fi ) 0q0.2kN / mRC2 510CRC2.5(kN )2mFiy 0BRAxA0.5m2mq 0 0.3kN / mRDRC50RBRAyRDRC52.5 52.5(kN )以刚架 ABC 为研