312复数的几何意义

1、3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 biaz ),(RbRa 其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。i( ,)zabia bR复数2.2.复数的分类：复数的分类：00 ba，非纯虚数00 ba，纯虚数 0b虚数 0b实数 3. 3.规定：规定：,Rdcba 若dicbia dbca注：注：1)000abiab且2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小了等，而不能比较大小了. 你能否找到用来表示复数的你能否找到用来表示复数的几何模型几何模型呢？呢？xo1实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来

2、表示。上的点来表示。一一对应一一对应 规定了正方向，规定了正方向，直线直线数轴数轴原点，原点， 单位长度单位长度实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)(几何模型几何模型)一个复数由什么一个复数由什么唯一确定？唯一确定？Z=a+bi(a, bR)实部!虚部!复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应 建立了平面直角坐标系建立了平面直角坐标系来表示复数的平面来表示复数的平面-复平面复平面其中：其中：x轴轴-实轴实轴 y轴轴-虚轴虚轴xyobaZ(a,b)z=a+bi由于向量由于向量 由点由点Z唯一

3、确定，唯一确定，所以复数的第二个几何意义是：所以复数的第二个几何意义是：OZ复数复数z=a+bi一一对应一一对应平面向量平面向量 OZ复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)平面向量平面向量 OZ(A)在复平面内，对应于实数的点都在实在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。数都是纯虚数。例例1.辨析

4、：辨析： 下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）D例例2 2 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。 表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得( 3, 2)(1,2)m

5、 变式一：变式一：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)+m-2)i 在复平面内在复平面内所对应的点在直线所对应的点在直线x-2y+4=0 x-2y+4=0上，求实数上，求实数m m的值。的值。 解：复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点是（内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），）， (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， m=1或或m=-2。实数绝对值的实数绝对值的几何意义几何意义能否把实数绝对值概念能否把实数绝对值概念推广到复数范围呢？推广到复数范围呢？ 实数实数a在数轴上所在数轴上所对应

6、的点对应的点A到原点到原点O的距离。的距离。复数绝对值复数绝对值的的几何意义几何意义 复数复数 z= z=a+ +bi在复平在复平面上对应的点面上对应的点Z(a,b)到原到原点的距离。点的距离。XOAa| a | = | OA |xOz=a+biyZ (a,b)| z | = |OZ|(复数复数z的模的模)22ba 例例3 求下列复数的模：求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i(3)(3)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？思考：思考：(2)(2)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0)(1)(1)复数的模能否比较大小？复数的模能否比较大小？ 这些复这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ xyO设设z=x+yi(x,yR)R)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的复数的复数z z对应的点在对应的点在复平面上将构成怎复平面上将构成怎样的图形？样的图形？55555|22yxz小结小结:复数的几何意义是什么？课堂小结：课堂小结：一一. 数学知识：