求圆的切线方程的几种方法

1、求圆的切线方程的几种方法四川省冕宁中学 谢玉 在高中数学人教版第二册第七章 圆的方程一节中有一例题： 求过已知圆上一点的切线方程， 除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。 例：已知圆的方程是 x2 + y2 = r2，求经过圆上一点 M(x0，y0)的切线的方程。解法一：利用斜率求解如图 1，设切线的斜率为k，则 k kOM1.kOMy0 , kx0x0y0经过点 M 的切线方程是：x0y y0(x x0)y0整理得 x0x y0 y x02 y02.因为点 M在圆上，所以 x02 y02 r 2. 所求的直线方程为： x0x y0 y r 2.图1当点 M

2、在坐标轴上时上面方程同样适用解法二：利用向量求解如图2，设切线上的任意一点 p的坐标 x,yOM PM，OM (x0, y0 ), PM (x0 x,y0 y)OM PM 0x0 (x0 x) y0 (y0 y) 0 整理得： x0x y0 y x02 y02. 因为点 M在圆上，所以 x02 y02 r 2. 所求的直线方程为： x0 x y0y r2.(这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在) 解法三：利用几何特征求解如图 2，设直线上不同于 M (x0, y0 )的一点 P(x, y) OM PM2 2 2OM 2 PM 2 OP 2x02 y02 (x x0)2 (y y0 )2

3、 x2 y2 整理得： x0x y0 y x02 y02 . 因为点 M在圆上，所以 x02 y02 r 2. 所求的直线方程为： x0x y0y r 2. 当P和M 重合时上面方程同样适用。解法四：用待定系数法求解1、 利用点到直线的距离求解图2设所求直线方程的斜率 为 k,则直线方程为：y y0 k(x x0 ),即： kx y y0 kx0 0 原点 O(0,0)到切线的距离等于半径 y0 kx0r 1 k2 化简整理得：(r 2 x02)k2 2x0 y0k r2 y02 0 因为 x0 2 y02 r 2 所以式可化为： y02k2 2x0 y0k x02 0 解得： kx0 代入式

4、y0整理得 x0x y0 y x02 y02.因为点 M在圆上，所以 x02 y02 r 2. 所求的直线方程为： x0x y0y r 2. 当斜率不存在时上面方 程同样适用。2、 利用直线与圆的位置关系求解： 设所求直线方程的斜率 为 k,则直线方程为： y y0 k(x x0 ),即： kx y y0 kx0 0( 1) 由 kx2 y2 y02 kx0 0消去 y得x2 y2 r 2 2 222 2 2(1 k2)x22k(y0 kx0)xy02k2x022 ky0 x0 r 204k2(y0 kx0)2 4(1 k2)(y02 k2x02 2ky0 x0 r 2) 0 整理得：( r 2 x02)k2 2x0y0k r 2 y02 0 因为 x02 y02 r2 所以式可化为： y02k 2 2x0 y0k x02 0 解得： kx0 代入式y0整理得 x0x y0 y x02 y02 .因为点 M在圆上，所以 x02 y02 r 2. 所 求 的 直 线 方 程 为x0x： y0y r2. 当 斜 率 不 存 在 时 上 面程 同方 样 适 用 。这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。 同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上