初中数学圆中辅助线添法探究【精品-】

1、初中数学“圆中辅助线”添法探究易门县方屯中学教师 唐学文摘要：圆是学生感到难学的内容.一方面圆的知识点多,综合性强;另一方面与圆有关的图形复杂,找不到突破口,即不能在图中添加适合的辅助线,把已知和问题联系起来.本文从“过圆心作弦的垂线;连结圆上的有关点;构造直径所对的圆周角;作过切点的半径（或直径）;两圆相切过切点作公切线;两圆相交作公共弦”等几方面就圆中辅助线的添法作一些探究,以此帮助学生突破圆中难点,顺利解决涉及圆的问题.【关键词】：圆 辅助线 探究圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能

2、力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的同旁

3、.过O作OEAB于E，交CD于F，则AE=AB=3.连结OA、OC.ABCD,OECD于F，则EF是平行弦AB、CD间的距离.在RtOEA中，由OA=5,AE=3得OE=4.同理可得OF=3.EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的两旁.过O点作OEAB于E，延长EO交CD于F.连结OA、OC.ABCD，则EOCD于F.EF是平行弦AB、CD间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7.启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理，依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.二、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角

4、、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2 已知:在ABC中,AB=AC,BD平分ABC,ABD的外接圆交BC于E.求证:AD=EC.分析:连结DE，由圆周角1=2,可得AD=DE.欲证AD=EC，只要证DE=EC即可.证明:连结DE.BD平分ABC,1=2,AD=DE.又AB=AC,ABC=C.3是圆内接四边形ABED的外角,3=ABC.3=C,DE=EC,AD=EC.启示:有关圆上非特殊点，常作点与点连线.三、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3 已知:在RtABC中ABC=90º,以AB为直径作O交AC于D，DE切O于D且交BC于E.

5、求证:BE=EC.证明:连结BD.AB是O的直径,ADB=90º，BDC为Rt.又ABC=90º，AB是O的直径，BC切O于点B.又DE切O于D,BE=DE，则BDE=DBE.1+BDE=90º，C+DBE=90 º,1=C，DE=EC.BE=EC.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线.四、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4 已知:在RtABC中,C=90º,BC是O的直径，AB交O于D，DE切O于D，交

6、AC于E. 求证：OEBA.证明:连结OD.DE切O于D,EDO=90 º.又C=90 º，OC=OD ， OE=OE,RtECORtEDO.1=2= COD.又B= COD,1=B.OEBA.例5 已知:如图点O为AOB角平分线上一点,以O为圆心作O与OA相切于点E. 求证:O与OB相切.证明:过点O作OFOB于F，连结OE.OA切O于点E,OEOA于点E;OE为O的半径.又点O为AOB角平分线上的点,OE=OF.O与OB相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂

7、线段等于这个圆的半径.五、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例6 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D四点.求证:APD+BPC=180º.证明:过切点P作两圆的公切线MN.则BPM=A，CPM=D.APD+A+D=180º,APD+BPM+CPM=180º.BPM+CPM=BPC,APD+BPC=180º.例7 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:APB=CPD.证明:过点P作公切线T

8、P.则APT=D ,BPT=BCP.APB=BPT-APT,CPD=BCP-D,APB=CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.例8 已知:O1与O2相交于A、B两点,E为O1上的一点,EF切O1于点E,EA、EB的延长线交O2于C、D两点.求证:EFCD.证明:连结AB，则1=2.四边形ABDC是O2的内接四边形,2=D.1=D.EFCD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.七、代数、几何的综合题型.解代数、几何的综合题型时,根据问题的特点和需要,由数形结合,于数

9、思形,以形助数,适时转化,变通.运用数形结合的思想方法,结合图形特征添加辅助线.下题是集三角形、圆、一次函数、二次函数为一体的综合性较强的试题.它要求学生不仅需要掌握必要的基础知识和较高的基本技能,而且要有较强的数形结合思想,才能在解题过程中切中要害,迎刃而解.例9 已知:如图,在RtAOC中，直角边OA在X轴负半轴上，OC在Y轴正半轴上，点F在AO上,以点F为圆心的圆与Y轴、AC边相切，切点分别为O、D,F与X轴的另一个交点为E.若tanA=,F的半径为.（1）、求过A、C两点的一次函数解析式；（2）、求过E、D、O三点的二次函数解析式；（3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC上.分析：解

10、本题（1）（2）两问的关键是求A、C、E、D、O五个点的坐标.解：（1）过切点D作F的半径DF，则ADF=90º.在RtADF中，由tanA=和半径DF=得AD=2.AF= ，则AO=AF+FO=4.在RtAOC中，由AO=4和tanA=，得OC=3，AC=5.则A、C两点的坐标为:A（-4，0），C（0，3）.设:所求一次函数解析式为y=kx+b.由A、C两点的坐标求得k=，b=3.所求一次函数的解析式为:y=x+3.(2)过点D作DGAO于G，则RtADGRtACO.=，即=得DG=.由于点D在AC上，把DG=代入y=x+3，可求得D点的横坐标为:- .OE=2OF=2×

11、;=3,E、D、O三点的坐标为:E（-3，0），D（- ，）、0（0，0）.设:过E、D、O三点的二次函数解析式为y=ax2+bx+c.则: 9a-3b+c=0, a=- , a- b+c= , b=- , c=0, c=0 .所求二次函数解析式为:y=- x2- x.（3）由y=- x2 - x易得抛物线的顶点坐标为:（- ，）.经检验得,点（- ，）在直线y = x + 3上.抛物线y=- x2 - x的顶点在直线AC上.启示:本题的辅助线是通过图形特征，挖掘题中的明显和隐含条件，而达到目的.综上所述，在解决涉及到圆的问题时，只要添加适当的辅助线，就能把题中的已知条件和问题巧妙地连接起来，

12、达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题的解决简便易行.j7(VJynb0YNCqf4$RGuj8(VKynb0ZNCrf4%RGvj8)VKync0ZOCrg4%SGvk8)WKznc1ZODrg5%SHvk9)WKzoc1#ODsg5&SHwk9)WLzod1#PDsh5&THwl9-WLAod2#PEsh6&TIwl9-XLApd2!PEth6*TIwla-XMApe2!QEti6*UIxla+XMBpe3!QFti7*UIxma+YMBqe3$QFui7*UJxmb+YNBqf3$RFui7(UJymb0YNCqf4$RGuj7(VJynb0ZNCrf4%RGu

13、j8(VKync0ZOCrg4%RGvj8)VKznc1ZODrg5%SGvk8)WKzoc1#ODsg5%SHvk9)WLzod1#PDsg5&SHwk9-WLAod2#PEsh5&THwl9-XLApd2!PEsh6&TIwla-XMApe2!PEth6*TIxla+XMBpe3!QEti6*UIxma+YMBqe3!QFti7*UJxmb+YNBqe3$QFui7(UJymb0YNBqf3$RFuj7(VJynb0ZNCqf4$RGuj8(VKync0ZNCrf4%RGvj8)VKznc0ZOCrg4%SGvk8)WKzoc1ZODrg5%SHvk9)WLzoc1

14、#ODsg5&SHwk9-WLzod1#PDsh5&THwl9-XLAod2#PEsh6&TIwla-XLApd2!PEth6*TIxla-XMApe2!QEti6*UIxma+XMBpe3!QFti7*UJxma+YMBqe3$QFui7(UJxmb+YNBqf3$RFuj7(UJymb0YNCqf4$RGuj8(VJynb0ZNCrf4%RGvj8(VKync0ZOCrg4%SDsg5&SHwk9)WLzod1#PDsh5&THwk9-WLAod2#PEsh6&THwl9-XLApd2!PEth6*TIwla-XMApe2!QEti6*TIx

15、la+XMBpe3!QFti6*UIxma+YMBqe3$QFui7*UJxmb+YNBqf3$RFui7(UJymb0YNCqf4$RFuj7(VJynb0ZNCrf4%RGuj8(VKync0ZOCrg4%RGvj8)VKznc1ZODrg4%SGvk8)WKzoc1#ODsg5%SHvk9)WLzod1#PDsg5&SHwk9-WLAod2#PDsh5&THwl9-XLApd2#PEsh6&TIwla-XMApe2!PEth6*TIxla+XMBpe2!QEti6*UIxma+YMBpe3!QFti7*UJxmb+YNBqe3$QFui7(UJymb0YNBqf3

16、$RFuj7(VJynb0YNCqf4$RGuj8(VKync0ZNCrf4%RGvj8)VKznc0ZOCrg4%SGvk8)WKznc1ZODrg5%SHvk9)WLzoc1#ODsg5&SHwk9-WLzod1#PDsh5&THwl9-WLAod2#PEsh6&TIwl9-XLApd2!PEth6*TIxla-XMApe2!QEti6*UIxla+XMBpe3!QFti7*UIxma+YMBqe3$QFui7(UJxmb+YNBqf3$RFuj7(UJymb0YNCqf4$RGuj7(VJynb0ZNCrf4%RGvj8(VKync0ZOCrg4%SGvj8)VK

17、znc1ZODrg5%SGvk8)WKzoc1#ODsg5&SHvk9)WLzod1#PDsh5&SHwk9-WLAod2#PEsh5&THwl9-XLApd2!PEsh6&TIwla-XMApe2!QEth6*TIxla+XMBpe3!QEti6*UIxma+YMBqe3!QFti7*UJxmb+YNBqf3$QFui7(UJymb0YNCqf3$RFuj7(VJynb0ZNCqf4$RGuj8(VKync0ZOCrf4%RGvj8)VKznc1ZOCrg4%SGvk8)WKzoc1ZODrg5%SHvk9)WLzod1#ODsg5&SHwk9-WLA

18、od1#PDsh5&THwl9-XLAod2#PEsh2!QEti6*UIxma+YMBpe3!QFti7*UJxmb+YMBqe3$QFui7(UJymb0YNBqf3$RFuj7(VJynb0YNCqf4$RGuj8(VKynb0ZNCrf4%RGvj8)VKync0ZOCrg4%SGvk8)WKznc1ZODrg5%SHvk9)WKzoc1#ODsg5&SHwk9)WLzod1#PDsh5&THwl9-WLAod2#PEsh6&TIwl9-XLApd2!PEth6*TIwla-XMApe2!QEti6*UIxla+XMBpe3!QFti7*UIxma+YM

19、Bqe3$QFui7*UJxmb+YNBqf3$RFuj7(UJymb0YNCqf4$RGuj7(VJynb0ZNCrf4%RGuj8(VKync0ZOCrg4%RGvj8)VKznc1ZODrg5%SGvk8)WKzoc1#ODsg5%SHvk9)WLzod1#PDsg5&SHwk9-WLAod2#PEsh5&THwl9-XLApd2!PEsh6&TIwla-XMApe2!PEth6*TIxla+XMBpe3!QEti6*UIxma+YMBqe3!QFti7*UJxmb+YNBqe3$QFui7(UJymb0YNCqf3$RFuj7(VJynb0ZNCqf4$RGuj

20、8(VKync0ZNCrf4%RGvj8)VKznc0ZOCrg4%SGvk8)WKzoc1ZODrg5%SHvk9)WLzoc1#ODsg5&SHwk9-WLzod1#PDsh5&THwl9-XLAod2#PEsh6&TIwla-XLApd2!PEth6*TIxla-XMApe2!QEti6*UIxma+XMBpe3!QFti7*UJxma+YMBqe3$QFui7(UJxmb+YNBqf3$RFuj7(VJymb0YNCqf4$RGuj8(VJynb0ZNCrf4%RGvj8(VKync0ZOCrg4%SGvj8)VKznc1ZODrg5%SHvk8)WKzoc1#

21、ODsg5&SHvk9)WLzod1#PDsh5&SHwk9-WLAod2#PEsh6&THwl9-XLApd2!PEth6&TIwla-XMApa+YMBqe3$QFui7*UJxmb+YNBqf3$RFui7(UJymb0YNCqf4$RFuj7(VJynb0ZNCrf4%RGuj8(VKync0ZOCrg4%RGvj8)VKznc1ZODrg4%SGvk8)WKzoc1#ODsg5%SHvk9)WLzod1#PDsg5&SHwk9-WLAod2#PDsh5&THwl9-XLApd2!PEsh6&TIwla-XMApe2!PEth6*

22、TIxla+XMBpe2!QEti6*UIxma+YMBpe3!QFti7*UJxmb+YNBqe3$QFui7(UJymb0YNBqf3$RFuj7(VJynb0YNCqf4$RGuj8(VKync0ZNCrf4%RGvj8)VKznc0ZOCrg4%SGvk8)WKznc1ZODrg5%SHvk9)WLzoc1#ODsg5&SHwk9-WLzod1#PDsh5&THwl9-WLAod2#PEsh6&TIwla-XLApd2!PEth6*TIxla-XMApe2!QEti6*UIxla+XMBpe3!QFti7*UIxma+YMBqe3$QFui7(UJxmb+YNB

23、qf3$RFuj7(UJymb0YNCqf4$RGuj7(VJynb0ZNCrf4%RGvj8(VKync0ZOCrg4%SGvj8)VKznc1ZODrg5%SGvk8)WKzoc1#ODsg5&SHvk9)WLzod1#PDsh5&SHwk9-WLAod2#PEsh5&THwl9-XLApd2!PEth6&TIwla-XMApe2!QEth6*TIxla+XMBpe3!QBqf3$RFui7(UJymb0YNCqf4$RFuj7(VJynb0ZNCrf4$RGuj8(VKync0ZOCrg4%RGvj8)VKznc1ZODrg4%SGvk8)WKzoc1#O

24、Drg5%SHvk9)WLzod1#ODsg5&SHwk9-WLAod2#PDsh5&THwl9-XLApd2#PEsh6&TIwla-XMApd2!PEth6*TIxla+XMBpe2!QEti6*UIxma+YMBpe3!QFti7*UJxmb+YMBqe3$QFui7(UJymb0YNBqf3$RFuj7(VJynb0YNCqf4$RGuj8(VKynb0ZNCrf4%RGvj8)VKznc0ZOCrg4%SGvk8)WKznc1ZODrg5%SHvk9)WKzoc1#ODsg5&SHwk9)WLzod1#PDsh5&THwl9-WLAod2#PE

25、sh6&TIwl9-XLApd2!PEth6*TIwla-XMApe2!QEti6*UIxla+XMBpe3!QFti7*UIxma+YMBqe3$QFui7*UJxmb+YNBqf3$RFuj7(UJymb0YNCqf4$RGuj7(VJynb0ZNCrf4%RGuj8(VKync0ZOCrg4%SGvj8)VKznc1ZODrg5%SGvk8)WKzoc1#ODsg5#PEsh6&THwl9-XLApd2!PEth6&TIwla-XMApe2!QEth6*TIxla+XMBpe3!QFti6*UIxma+YMBqe3$QFti7*UJxmb+YNBqf3$QFui7(UJymb0YNCqf3$RFuj7(VJynb0ZNCrf4$RGuj8(VKync0ZOCrf4%RGvj8)VKznc1ZOCrg4%SGvk8)WKzoc1#ODrg5%SHvk9)WLzod1#ODsg5&SHwk9-WLAod1#PDsh5&THwl9-XLApd2#PEsh6&TIwla-XMApd2!PEth6*TIxla+XMApe2!QEti6*UIxma+YMBpe3!QFti7*UJxmb+YMBqe3$QFui7(UJymb+YNBqf3$RFu