第四章 中值定理与导数的应用

1、第四章 中值定理与导数的应用 BA 图11 中值定理一、罗尔定理1.定理内容 若函数满足以下条件： (1) 在 上连续;(2) 在（）内可导; (3) 则在（）内至少存在一点，使.2分析： 如图1，的几何意义是过该点的切线平行于轴，显然可能是函数的最大值（或最小值）的点。因此，需要证明的是（1）在（）有取最大值（或最小值）的点，（2）.3证 因为在上连续，根据连续函数的性质，在 上必有最大值和最小值 （1）如果，则在上恒为常数，因此在（）内恒有,于是,（）内每一点都可取为定理的; （2）如果,因，则与中至少有一个不等于端点处的函数值,设，从而，在（）内至少有一点，使得.我们来证明，在点，有.

2、事实上，因为是最大值,所以不论为正或负,只要，恒有 ，由在点可导及极限的保号性; 因此必有.零点存在定理罗尔定理4.应用（1）求根 例1 不求出函数=的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间. 解 因=在1，4上可导，又，所以在，上满足罗尔定理的条件因此 至少有三个实根,分别位于区间（）,（），（）内. 又知是三次多项式，故至多有三个实根于是方程恰有三个实根, 分别位于区间（）,（），（）内 B C A 图2（2）证明（见后）二、拉格朗日定理1定理内容 设函数满足条件：（1） 在 上连续;（2） 在上可导则至少存在一点使得 （1） 或 （2） 2几何意义:如图2 ，就是割线的斜率，而就

3、是曲线上点C的切线斜率.拉格朗日定理的意义是：若区间上有一条连续曲线，曲线上每一点都有切线，则曲线上至少有一点C，过C点的切线与割线平行.3证明分析：罗尔定理是拉格朗日定理特殊情况，我们就想到应用罗尔定理来证明拉格朗日定理.要证等式变形为 ，即 ，为此，构造一个辅助函数 则要证明的结论归结为：在 内至少存在一点，使得. 4证 作辅助函数 可知在上连续，在上可导.又 所以，满足罗尔定理的条件. 于是，在内至少存在一点，使即 亦即 . 或 5形式：由 ，可知 , 即 . 令 则 所以,拉格朗日定理常写成： （3）所以拉格朗日定理一共有三种形式，我们要学会灵活应用。6推广：当时拉格朗日定理的公式仍然

4、成立，只不过介于，之间。7应用例2 如果函数在区间内任意一点的导数都等于零，则函数在区间内是一个常数.证 设，是区间内任意两点，不妨设 ，在区间上满足拉格朗日定理的两个条件，因此有： 由假设 所以 区间 内任意两点的函数值相等，所以 在区间内是一常数 例3 试证： .证 ，有 =0 由例3可知， (C为常数) 为了确定常数，另，有 ，即 例4 证明 .（证明联立的不等式的常用方法）证 函数在满足拉格朗日定理的条件,有 ， 即 ,而 从而有 . 三、柯西定理:拉格朗日定理进一步推广 1定理 设函数与满足条件： 在闭区间上连续; 在开区间可导; ，有则至少存在一点使得: （1） 2分析:变形公式（

5、1）为 上式可以写成：|, 令 .验证满足罗尔定理的条件即可. 3 证 首先，我们指出 事实上，若 ，由罗尔定理，在内存在一点，使，与条件矛盾作辅助函数, 在连续，可导 .即 ，满足罗尔定理的条件.由罗尔定理，在内存在一点，使得,即 从而有 容易看出，在柯西中值定理中，当时，（2）式就是 ，即拉格朗日定理是柯西定理当的特殊情况.4.2 洛必达法则（求未定式极限的较好方法）约定用“0”表示无穷小，用“”表示无穷大已知或可能有各种不同的情况与都称为未定式约定用“1”表示以1为极限的一类函数，未定式还有五种： 一、“”型1洛必达法则 设函数和满足条件： 1) 在点的某个去心邻域内可导，且; 2) ;

6、 3) （或）, 则 （或）.2证 将函数与在作连续开拓，即设 则函数与在的邻域内连续. ，在以与为端点的区间上, 与满足柯西中值定理的条件，则在与之间存在一点，使 已知 ，有，从而 ,因为在与之间，所以当时，有，由条件3），有 （或）. 例1 求极限. 解 由洛必达法则1，有 . 例2 求极限. 解 =.例3 求极限. 解 注1：求一个函数极限时可以多次应用洛必达法则，求“”型未定式的极限时，如果一阶导数之比依旧是型未定式，只要仍满足法则的条件，则可以再次使用洛必达法则；倘若结果还是未定式，那么我们还可以继续使用法则. 例4求极限. 解 = ,上式右端还是“”型未定式的极限，并且满足法则的条

7、件，所以= （继续使用洛必达法则）=.例5 求极限.解 =.注2：以上讨论的是当时的“”型极限洛必达法则，至于其它自变量的变化过程的“”型极限，也有类似的洛必达法则。二、“”型未定式 1洛必达法则 设函数与满足： 1) 在点的某个去心邻域内可导，且;2) ; 3) 或， 则 或.在洛必达法则中，将换成其他自变量变化过程亦成立： 例6 求极限.解 =.例7 求极限.解 =. 例8 求极限.解 =0.三、其他型未定式例9 求极限. （） 解 . 例10 求极限. （）解 . 例11 求极限. （）解 ， 其中 ,故 例12 求极限. （）解 ，其中 ,故 .例13 求极限 （）解 ，其中 ,故 .

8、 最后，我们指出在使用洛必塔法则求极限时注意的问题： 1) 求“”，“”型未定式的极限，可考虑直接应用洛必达法则，其他未定式应先化为“”或“”型才可应用.2) 在每次使用洛必塔法则后，都应先尽可能化简，然后考虑是否继续使用洛必塔法则,若发现用其他的方法很方便，就不必用洛必塔法则.3) 洛必塔法则的条件（3）仅是充分条件，当不存在时，不能断定也不存在，只能说明此时不能应用洛必塔法则，而需应用其他方法讨论 例如，求极限 .极限 不存在,而极限 却存在 例15 求极限.解 这是”型未定式，因极限 不存在，所以不能应用洛必塔法则我们有 .4.3 函数的单调性与极值一、函数的单调性图4.3-1 图4.3

9、-2 1观察2猜 (1），有，则函数在严格单调增加；（2），有，则函数在严格单调减少3证 ,且，函数在区间满足拉格朗日中值定理的条件，有 ， （1）已知，有 （2）类似可证4注：（1）在定理中，区间可以是有限区间，也可以是无穷区间; （2）如果区间是闭区间，只要在端点连续，定理的结论仍然成立二、求单调区间例1 讨论函数的单调性.解 定义域是令 ，其根是1与3，它们将分成三个区间，列表：（+-+符号“”表示严格增加，“”表示严格减小.图4.3-3 例2 讨论函数的单调性 解 ,而使 的点是于是,在内是严格增加的（如图：4.3-3）例3 证明当时, 不等式成立证 设，则函数在可导，当时，所以函数在

10、严格增加因此，当时,有，即 二、函数的极值1定义 设函数在点的某一邻域内有定义，并且，有（），则称为的极大值（极小值），称为极大点（极小点）极大值与极小值统称为极值，极大点与极小点统称为极值点.说明：极值是局部的最值。若在点可导，且是函数的极值点，则证 不妨设是函数的极大点，即存在的某邻域，有 ，或因此，当时，;当时，.由在点可导及极限的保号性，有 ; .于是有.定义 使导数为零的点（即方程的根）称为函数的驻点（稳定点）.结论：可导函数的极值点必定是它的驻点;问题：函数的驻点不一定是极值点吗？例如的导数为，因此是这可导函数的驻点，但却不是这函数的极值点.问题： 什么样的驻点是极值点？ 判别法1

11、 设函数在点连续，在的某去心邻域内可导， （1） 如果当时，,而当时,则函数在点取极大值; （2） 如果当时，而当时，,则函数在点取极小值;（3）当时不变号，则 不是极值点. 例1 求函数的极值. 解 （1）, （2）令，解得, (3) 列表如下：+0-0+极大点极小点 -1是函数的极大点，极大值是;2是函数的极小点，极小值是 判别法2 设在具有二阶导数，则是函数的极值点，且 1），则是函数的极小点，是极小值; 2），则是函数的极大点，是极大值证 因为，利用导数定义有: 1） 由及极限的保号性，在的某一去心邻域内有 ， 当时，有；当时，由定理2，是函数的极小点，是极小值. 2）同理可证 例2

12、求函数的极值.解 1） 2）令求得驻点; 3）; 4）在处取得极小值，极小值为; 5），用法1无法判断.应用法2图4.3-4定义 函数的驻点以及函数的定义域中导数不存在的点统称为函数的临界点例3 讨论函数单调性和极值解 ，当时，;当时，不存在列表讨论如下：+不存在-0+极大点极小点函数在有极大值，在有极小值三、最大值和最小值 求闭区间上的连续函数的最值，方法如下 1） 求出函数的所有临界点 ； 2） 计算出函数值 ,； 3） 将上述函数值进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 例1 求 在区间上的最大值，最小值 解 由方程解得 ，所以在取极大值，在取极小值又端点处所以上，函数最大

13、值为10，最小值为 例2 求函数在-1，1上的最大值和最小值解 由上段的例3知，函数在（-1，1）内有两个临界点：当时，;当时，不存在-11-20-0故知在-1，1上，函数最大值为0，最小值为.4.4 函数的凹凸性与拐点一.凹凸性函数的单调性和极值，还不能准确地反映函数图形的主要特性例如，图4.4-1中，和都在内单调上升，但两者的图像却有明显的差别-它们的弯曲方向不同这种差别就是所谓的“凹凸性”的区别 1定义 设在上连续，如果对内任意两点和，恒有 ,那么称在是凹的;如果对内任意两点和，恒有 ,那么称在是凸的.BAO图4.4-2aBAO图4.4-2b 2问题：函数的凹凸性和函数的导数之间的联系o

14、图4.4-3通过观察猜测有如下命题： 定理 设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则:(1)若在内，则在上的图形是凹的;(2)若在内，则在上的图形是凸的 证明 （1）设和为内任意两点，且，记，并记 ，则 ，由拉格朗日中值定理，有， ， ， ，两式相减，对在区间上再应用一次拉格朗日中值定理，得， 由定理的条件，故有，即 ，亦即 所以，在上的图形是凹的.类似的可证（2）. 例1 讨论函数的凹凸性. 解 因为，, 当时，所以在的图形为凹的, 当时，所以在的图形为凸的. 例2 讨论函数的凹凸性. 解 因为，,当时，所以曲线在内的图形为凸的.当时，所以曲线在内的图形为凹的.二、拐点：我们注意到，在例2中，

15、曲线在点的两侧有不同的凹凸性1定义 一条处处有切线的连续曲线，若在点两侧，曲线有不同的凹凸性，则称此点为曲线的拐点.注意：拐点是曲线上的点，是二维点要与驻点和极值点区别。2如何来寻求曲线的拐点呢？ 求曲线的拐点的步骤：(1) 求;(2) 令，求出这个方程在区间内的实根;(3) 对于解出的每一个实根，检查在左、右两侧邻近的符号，当在左、右两侧的符号相反时，就是拐点；当两侧的符号相同时，点不是拐点. 例3 求函数 的凹凸区间及对应曲线的拐点. 解 ,， ，, 令 ，解得 和 .它们将定义域分成三个区间，列表如下： +-+ 注:“”表示凹,“” 表示凸. 注意：上述求拐点的方法是基于函数在区间每一点

16、都有二阶导数，如果在区间上有不存在二阶导数的点，这样的点也可能是拐点. 例4 求的凹凸区间及对应曲线的拐点. 解 , , ，二阶导数在内无零点，但是不存在的点，它把分成两个区间.列表如下：+不存在-在内,，曲线是凹的；在内,曲线是凸的，点是曲线的拐点.NPO图4.5-1xM4.5 渐近线一、 定义 1.定义：线上的点沿曲线无限远移时，若到某直线的距离趋于零（图4.5-1），那么直线就叫曲线的渐近线.2.分类： 1) 铅直渐近线：直于轴的渐近线叫做铅直渐近线 若 或 ，则直线 就是曲线的一条铅直渐近线. 例如，对于曲线 , 容易看出，和,是它的两条铅直渐近线，而则有着无数条渐近线 .2) 水平渐

17、近线：平行于轴的渐近线又称为水平渐近线如果或(为常数),那么,就是曲线的一条水平渐近线. 例如，对于函数，因为所以，都是曲线的水平渐近线. 3) 斜渐近线：其他的渐近线设直线 是曲线 的一条斜渐近线. 曲线上任一点到渐近线的距离是 ，其中是直线与轴的夹角（如图411）.由定义，当时，所以， （1） 当然就有 ，即 （2） 由（1）式，可得 （3）所以，如果直线是曲线的斜渐近线，则我们可按（2）与（3）式求出与，从而得到渐近线的方程。注：只有（2）与（3）都存在，曲线才有斜渐近线。 例1 求曲线的渐近线. 解（1）铅直渐近线 很明显，当趋于任何有限数时，都不会趋于，故它没有铅直渐线. (2)斜渐

18、近线 , .所以，是曲线的斜渐近线. , .所以，是曲线的另一条渐近线. 例2 讨论曲线的渐近线. 解 定义域为（1） 铅直渐近线 因为,所以是曲线的一条铅直渐近线.（2） 斜渐近线 ,但 （不存在）.所以，曲线没有斜渐近线（包括水平渐近线）.例 求曲线的渐近线解 已知 ，则是曲线的垂直渐近线又有，直线 是曲线的渐近线4.6 函数图形的描绘一、步骤： （1）确定函数的定义域； （2）讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、周期性等； （3）求出的零点和不存在的点，用所求出的点把定义域分成若干区间，列表，确定函数的单调性、凹凸性、极值点和拐点； （4）确定函数是否存在渐近线； （5）在直角坐标系中，首

19、先标明所有关键性的点的坐标，画出渐进线，然后按照曲线的性态逐段描绘二、例1 试作出函数的图像. 解 （1）的定义域为;（2）为偶函数，无周期性; （3）, ,和的零点是;在处，均不存在；(4) 用-1，0，1三点把定义域分为四个区间，并列表如下：+-+-+极大0（5）考察曲线的渐近线: , ,所以在均是铅直渐近线,所以是一条水平渐近线.O1-12图4.6-1(6) 绘出函数的图像（如图4.6-1） 例2 试作出函数的图像. 解 的定义域为;非奇非偶，无周期性; ,的零点是, 无零点,列表如下：+-+-+极大点极小点3-1O图4.6-215考察曲线的渐近线: 所以是铅直渐近线, , ，所以，是的

20、斜渐近线.O图4.6-3 综合上述讨论，绘出函数的图像（如图4.6-2） 例3描绘函数的图像解 的定义域是，为偶函数，无周期性; ，的零点是,的零点是与，它们把定义域分成三个区间，列表如下： +-+-+极大点拐点拐点 因为，所以是水平渐近线综合上述讨论，绘出函数的图像（如图4.6-3）4.7 最优化方法一、建模初步1定义：把一个问题转化为一个我们熟知的函数表达式，并在定义域上优化该函数（求最大值或最小值）的方法称为建模.图4.7-1例1 一个装500饮料的圆柱形铝罐，要使所用材料最少，其尺寸应如何设计？解：如图4.7-1.设表示罐高，表示两底的半径，于是构造模型如下：两底用材量+周边用材量 两

21、底用材量，周边用材量.因罐的容积等于常数500 ，所以 ，得 ,所以，周边用材量，得到底半径为的罐的用材总量的表达式，.求的最小值.方程 只有一个根 因，所以是极小点,也是最小点.当时，即当圆柱形铝罐的高和直径相等时，用料最少2建立优化问题模型的提示：（1）全面思考问题，确认优化哪个量或函数;（2）如有可能，画出草图来显示变量之间的关系;（3）设法得出用上述确认的变量表示要优化的函数,在公式中保留一个变量而消去其它的变量，确认此变量的变化区间;（4）求出该函数的最大值或最小值.例2 把一根直径为的圆木锯成矩形横梁，已知梁的抗弯强度与矩形宽成正比，又与它的高的平方成正比，问宽与高如何选择能使横梁

22、的抗弯强度为最大？图4.7-4解 设梁的底宽为，则高为梁的强度与它的底宽成正比，又与它的高的平方成正比，所以强度.由解出 (不合理,舍去).当时，此时高为 因此横梁若锯成宽为，高为时，抗弯强度最大二、函数极值在经济管理中的应用1最大利润问题（1）厂商规定产量，总收入和总成本都是产量的函数，分别记为和则总利润可表示为 求使得总利润最大的产量，为此一阶导数应等于零，即，由此可得 根据极值存在的第二充分条件，为使总利润最大，还要求二阶导数 ，可得综上，在获得最大利润的产量处，边际收益等于边际成本但此时若又有边际收益对产量的微商小于边际成本对产量的微商，则该产量处一定获得最大利润（2）由厂商先定价格，

23、然后由需求关系去决定产量，此时可将产量看作价格的函数，这样，总收入函数为 ，总成本函数为 在价格为时的总利润为 1），即，或;2），即 ，或 也就是说，只要满足上述两个条件，就可使总利润最大，此时的最优产量由确定由1）我们容易得到： 说明，能使总利润达到最大的价格，也必能使边际收益等于边际成本由此可见，无论以产量还是以价格作为自变量，上述两种分析得到的是同样的最优产量和最优价格例 某产品生产单位的总成本为 ，每单位产品的价格是134元，求使利润最大的产量.解 生产单位时，总收入，总利润为 . 令 得.又 ，所以在有极小值; ，所以在有极大值，.因为才有意义，而，且当时，即当时，单调减小，是的最大值.因此生产单位个产品时，利润最大，最大利润为元.例2 某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进一批商品零售若零售价定为每件4元，估计销售量为400件若一件售价每降低0.05元，则可多销售40件问每件售价定为多少、从工厂购进多少件时，才可获得最大利润？最大利润是多少？解 设利润为，进货量为件，售价为元/件，则利润为 假定销量