导数文科大题含详细答案

1、导数文科大题1. 知函数 ， .( 1) 求函数 的单调区间；( 2) 若关于 的方程 有实数根，求实数 的取值范围 答案 解析2. 已知 , (1) 若 , 求 函数 在点 处的 切线 方 程 ; (2) 若函 数 在 上是增函数 , 求实数 a 的取值范围 ; (3) 令 , 是自然对数的底 数 ); 求当实数 a 等于多少时 , 可以使函数 取得最小值为 3.解 :(1) 时 ,' (X),' (1)=3,数在点处的切线方程为 ,(2) 函数在上是增函数 ,'(x), 在上恒成立 ，即 , 在上恒成立 ,令 , 当且仅当时 , 取等号的取值范围为(3),'

2、 (X), 当时 , 在上单调递减 , 计算得出 ( 舍去 ); 当且时 , 即 , 在上单调递减 , 在上单调递增 , 计算得出 , 满足条件 ; 当 , 且时 ,即 , 在上单调递减 , 计算得出 ( 舍去 );综上 , 存在实数 , 使得当时 , 有最小值 3.解析 (1) 根据导数的几何意义即可求出切线方程 .(2) 函数在上是增函数，得到f ' (x),在上恒成立，分离参数，根据基本不等式求出答案 ,(3) ， 求出函数的导数 ， 讨论， 的情况， 从而得出答案3. 已知函数 ，(1) 分别求函数 与 在区间 上的极值 ;(2) 求证: 对任意 ，解:(1)，令 ， 计算得出

3、 :， 计算得出 : 或，故在和上单调递减 ，在上递增 ，在上有极小值 ， 无极大值 ;， 则， 故在上递增 ， 在上递减 ， 在上有极大值 ， 无极小值 (2) 由(1) 知, 当时,故;当时,令,则,故在上递增 , 在上递减 ,J J综上,对任意 ,及极解析(1) 求导,利用导数与函数的单调性及极值关系, 即可求得及单调区间值;4. 已知函数 , 其中,为自然数的底数 .(1) 当时, 讨论函数的单调性 ;(2) 当时,求证:对任意的 ,.解:(1) 当时 ,则,J故则在 R 上单调递减 .(2) 当时 , 要证明对任意的 ,. 则只需要证明对任意的 ,. 设,看作以 a 为变量的一次函数

4、，要使，则,即, 恒成立 , 恒成立 , 对于 , 令, 则, 设时 , 即.在上”单调递增，在上”单调递减，则当时，函数取得最大值故式成立，综上对任意的,.解析:(1)求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可(2)对任意的，转化为证明对任意的”即可，构造函数，求函数的导数，利用导数 进行研究即可5. 已知函数(1) 当时，求函数在处的切线方程；(2) 求在区间上的最小值.解：(1)设切线的斜率为k.因为，所以，所以，所以所求的切线方程为，即(2)根据题意得，令，可得 若，则,当时”则在上单调递增.所以 若，则，当时”则在上单调递减.所以若，贝9，所以，随x的变化情况如下表x1

5、20-0+0-e极小值r0所以的单调递减区问为,单调递增区问为所以在上的最小值为综上所述：当时,;当时,;当时，解析设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方通过，可得.通过,判断函数的单调性求出函数的最值.6. 已知函数。(I )求f(x)的单调区问；(II )若对任意x?1, e,使得g(x) >- x2+( a + 2) x恒成立，求 实数a的取值范围；(山)设F (x)=，曲线y= F (x)上是否总存在 两点P, Q,使得POQ是以0(0为坐标原点)为钝角柄点的钝角三角幵，且最长边的中点在y轴 上？请说明理由解：(I):?当、时，在区间、上单调递减当时，在区问

6、上单调递增.(U)由，得，且等号不能同时取得， ?对任意 ，使得 恒成立 , ?对恒成立，即令，求导得， ， 5 分?在 上为增函数，. 7 分（川）由条件， ，假设曲线 上总存在两点 满足： 是以 为钝角顶点的钝角三角形，且 最长边的中点在 轴上，则 只能在 轴两侧 .不妨设卞），是否存在 两点满足条件就等价于不等式时， ，化简得 ，对要求的两点 P、时，（探）不等式化为立，故总存在符合要求的两点 P、 Q；若 a>0 时，有 （），设，则，显然， 当 时， ，即 在 上为增函数，的值域为 ，即 ，） 在 时是否有解 .此不等式恒成立，故总存在符合11，若 , 此不等式显然对 恒成当

7、时，不等式 （） 总有解 故对 总存在符合要求的两点 P、 Q.13综上所述，曲线 上总存在两点 ，使得 是以 为钝角顶点的钝角三角 形，且最 长边的中点在 轴上. 14 分7. 已知函数为常数).(1)若a=-2,求函数f(x)的单调区间；(n )若当时,恒成立， 求实数 a 的取值范围 .解：(I )a=-2 时,时,时 ,f'(x)>0,函数 f(x) 的单调递减区间是 (0,1, 单调递增区间为( n ) 由已知条件得：且等号不能同时取；在 1,e 上为增函数；在 1,e 上的最大值为：； 的取值范围为：8. 已知函数 (1) 若, 试判断在定义域内的单调性 (2)若在上

8、恒成立 ，求 a 的取值范围 .解:(1) 函数 , 函数的定义域为 , 函数的导数 , 当, 此时函数单调递增(2) 若在上恒成立 , 即在上恒成立 即 , 令, 只要求得的最大值即可 ,J JJ J, 即在上单调递减 ,9. 已知函数(1) 若, 试判断在定义域内的单调性 ;(2) 若在上恒成立 , 求 a 的取值范围 . 答案详解 解 :(1) 函数 ,函数的定义域为 函数的导数 , 当 , 此时函数单调递增 .(2) 若在上恒成立 , 即在上恒成立 , 即 , 令 , 只要求得的最大值即可即在上单调递减 ,10. 设函数(I )若函数在上单调递增 ，求实数 a 的取值范围(n) 当时

9、,求函数在上的最大值 .答案解 :( I )的导数为 函数在上单调递增 即有在上恒成立 则在上恒成立 . 因为,则 , 计算得出 ;(n),当时 ,;令,单调递减 ,单调递增当时,函数在上的最大值为解析I )求出函数的导数 ，根据题意可得在上恒成立 ，则在上恒成立 ?运用指数函数的单调性 , 即可得到 a 的取值范围 ;(n)求出导函数，判断出在单调递减，单调递增，判断求出最值11. 本小题满分 12 分)已知函数。( 1) 当时，求曲线在点处的切线方程；( 2) 当时，恒成立，求的取值范围。答案详解 （ 1）当时，则，即切点为，因为，则，故曲线在处的切线方程为：，即。 4 分（ 2 ），求导

10、得：， 5 分令，（）； 当，即时，所以在上为增函数，所以在上满足，故当时符合题意； 8 分 当，即时，令，得，当时，即，所以在为减函数，所以，与题意条件矛盾，故舍去。 11 分综上，的取值范围是。 . 12 分解析: 本题主要考查导数在研究函数中的应用。（ 1） 将代入，求出得到切点坐标，求出得切线斜率，即可得切线方程；（ 2） 根据题意对的取值范围进行分讨论，利用导数来研究函数的单调性， 而判断与的关系，便可得出的取值范围。12. 已知函数，是的导函数（为自然对数的底数 ）（ 1）解关于的不等式：； （U）若有两个极值点，求实数的取值范围。答案 （ I ） ,。 当时，无解；当时，解集为；

11、 当时，解集为。（U）若有两个极值点，则是方程的两个根。，显然，得：。令， 若时，单调递减且；若时，当时， , 在上递减； 当时，在上递增要使有两个极值点，需满足在上有两个不同解，得，即。解析 本题主要考查利用导函数求解函数问题。(I)原不等式等价于，分，和讨论可得；(U)设，则是方程的两个根，求导数可得，若时，不合题意，若时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于的不等式，解之可得。 13. 已知函数 ,. (I )如果函数在上是单调增函数 , 求 a 的取值范围 ;(n) 是否存在实数 ，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若 存在,请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

12、解:(I )当时，在上是单调增函数，符合题意.当时, 的对称轴方程为 ,因为在上是单调增函数 ,所以, 计算得出或 , 所以 .当时，不符合题意？综上,a的取值范围是.( n ) 把方程整理为, 即为方程 .设,原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根 ,即为函数在区间内有且只有两个零点 令,因为, 计算得出或(舍) 当时 , 是减函 当时 , 是增函数 . 在内有且只有两个不相等的零点 , 只需即 计算得出 ,所以 a 的取值范围是 .解析：(1)因为函数的解析式中含有参数 a,故我们要对a进行分类讨论，注 意 到a出现在二次项系数的位置，故可以分”三种情况，最后将三种情况得 到的 结论综合

13、即可得到答案 .(2) 方程整理为构造函数 , 则原方程在区间内有且只有两个不相等的实数 根即为 函数在区间内有且只有两个零点 , 根据函数零点存在定理 , 结合函 数的单调性 构造不等式组 , 解不等式组即可得到结论 .14. 设函数 (1) 若, 求函数的单调区间 .(2) 若曲线在点处与直线相切 , 求a,b 的值.解:(1) 当时,令 , 则或 ;,则函数的单调递增区间为和 , 递减区间为,反之得出单调减区 间;a+2b+c=0,贝U b=O,c 二-a曲线在点处与直线相切, 即解之 , 得 ,.解析(1) 当时, 求出的导函数 ,令,得出函数的单调增区间求出函数的导函数，得出，求出a

14、和b.15.16. 已知函数，且 .(1) 若在处取得极小值，求函数的单调区间；(2) 令，若的解集为，且满足， 求的取值范围。 答案 ：， F'(-1)=0 则 a-2b+c=0;(1)若F(x)在x=1处取得最小值-2 ,贝V F'(1)=0F(1)=-2 ，则 a=3,c=-3 。,x?(-汽-1)时，F'(x)>0 ,函数F(x)单调递增；x?(-1，1)时，F'(x)<0，函数 F(x)单调递减；x?(1，x)时，F'(x)>0，函数F(x)单调递增。( 2 )令，则，即，得即17.18. 设直线是曲线的一条切线， ( 1)

15、求切点坐标及的值； ( 2) 当时，存在，求实数的取值范 围答案(1)解：设直线与曲线相切于点，,解得或，当时，在曲线上，.,当时，在曲线上，.,切点，切点，. 解法一：？?？，？?？，设，若存在，则只要，,(i)若即，令，得，.在上是增函数，令，解得，在上是减函数，解得，(ii)若即，令，解得，?在上是增函数，不等式无解，不存在，综合(i )(ii )得，实数的取值范围为.解法二：由得，(i )当时，设若存在，则只要， 8分，令解得在上是增函数令，解得在上是减函数，(ii)当时，不等式不成立，.？不存在，综合(i )(ii )得，实数的取值范围为.19.已知函数在点处的切线与直线平行(1)求

16、的值；(2)若函数 在区问 上不单调，求实数的取值范围；(3)求证：对任意时， 恒成立答案20. 已知函数(I )求曲线在点处的切线方程答案解:(|),又，可得切线的斜率 , 切线方程为 , 即 ;(n) 方程有唯一解有唯一解 ,设,根据题意可得 , 当时 , 函数与的图象有唯一的交点 .J令 , 得 , 或 , 在上为增函数 ,在、上为减函数 ,故,如图可得 , 或解析( | )求得函数的导数 ，可得切线的斜率和切点 ，由点斜式方程 ，可得所 求切 线的方程 ;( n ) 方程有唯一解有唯一解 , 设, 求得导数和单调区间、极值 , 作出图象 , 求 出 直线和的图象的一个交点的情况 ， 即

17、可得到所求 a 的范围 .21. 已知函数 (| )讨论的单调性( n ) 若时 , 都成立 , 求 a 的取值范围 .解:( | )函数的定义域为 , 函数的的导数 , 当时, 此时函数单调递增 ,当时,由,计算得出 ,由, 计算得出 ,函数在上增函数 , 则是减函数当,即时,X+0-/极大值，计算得出当即时，在上无最大值，故不可能恒小于0,故不成立？综上所述a的取值范围为.解析(I)求函数的导数，即可讨论函数的单调性；(n)令，利用导数求得函数的最大值为，只要有即可求得结论.22. 已知函数(1)若曲线在点 处的切线斜率为 ，求函数的单调区间；(2)若关于x的不等式 有且仅有两个整数解，求

18、实数m的取值范围.解:(1)函数的导数为：厂(x),可得在点处的切线斜率为厂(1),计算得出，即有的导数为f ' (x),由f '(X)可得或；由f ' (X)可得可得的单调增区间,；单调减区间为；关于X的不等式即为，对于，当时”当时”即为，令,g (X)，令,h ' (X),又 ,在 R 上递增 ，可得 , 使得 ,则在递增 , 在递减 , 在处取得极大值 , 又, 则关于 x 的不等式有且仅有两个整数解 , 只需有且仅有两个整数解 , 则 , 计算得出解析 (1) 求出的导数 , 可得切线的斜率 , 解方程可得 , 进而由导数大于 0, 得增 区间 ;导数小于 0,得减区间 ;根据题意可得即为，讨论x的符号,确定，即有,令,求出导数 , 再令令 , 求得导数 , 判断单调性和极值点 ,求得的单调区间 , 可得极值 ，结合条件可得不等式组 ，解不等式可得 m 的范围.23. 知函数(1) 若 , 则