时间序列模型归纳总结复习

1、时间序列模型归纳总结复习随机时间序列分析的几个基本概念一、随机过程(Stochastic Process)定义 设(Q ,F,P)是概率空间，T是给定的参数集，如果对于任意 t T,都有一定义在(Q ,F ,P)上 的随机变量 X(t, 3 )与之对应，则称随机变量 族X(t, 3 ),t T为随机过程。简记为X(t,),t T或X t,t T 或Xt离散参数的随机过程也称为随机序列或(随机)时间序列。上述定义可简单理解成：随机过程是一簇随机变量 X t,t T，其中T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻t而言，Xt是一普通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。当t=0, 1,

2、2,时，即时刻t只取整数时，随机过程X t,t T可写成如下形式，X t,t=0, 1, 2,。 此类随机过程Xt是离散时间t的随机函数，称它为随机序列或时间序列。对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即X t,t=0, 1, 2,就是一个离散随机序列。二、时间序列的概率分布和数值特征1、时间序列的概率分布一个时间序列便是一个无限维的随机向量。一个无限维随机向量X=(,X-1,X0,X1,)/的概率分布应当用一个无限维概率分布描述。根据柯尔莫哥夫定理，一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描 述。时间序列所有的一维分布是：，F-1( ), F0( ), F1( )，-所有二维分布是

3、：Fij( , ), i, j=0, 1, 2,(i 丰 j)一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。2、时间序列的均值函数一个时间序列的均值函数是指：EXt 二；XdFt(X)其中EXt表示在t固定时对随机变量 Xt的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft( )有关。3、时间序列的协方差函数与自相关函数与随机变量之间的协方差相似，时间序列的协方差函数 定义为：(t,s) =E(Xt - 叫)Xss：(XB)(Ys人2耳以,丫)其中Ft,s(X,Y)为(Xt, Xs)的二维联合分布。类似可以定义时间序列的自相关函数，即：、(t,S)二(t,S)/、. (t,t) (S,

4、S)时间序列的自协方差函数有以下性质:(1) 对称性：(t,s)=4s,t)(2) 非负定性：对任意正整数m和任意m个整数ki, k2,km,方阵-了（ki，ki）Y（ki，k2 ）川 Y（ki，km ）/（k2,ki ） /（k2,k2 ）川，（k2,km ）IIIIIIIIIkm,k2 |l|km,kmIII|y（km,ki为对称非负定矩阵。时间序列的自相关函数同样也具有上述性质且有p (t,t)=1。三、平稳随机过程平稳时间序列是时间序列分析中一类重要而特殊的随机序列，时间序列分析的主要内容是关于平稳时 间序列的统计分析。(一) 两种不同的平稳性定义：i、严平稳：如果对于时间 t的任意n

5、个值ti,t2l(,tn和任意实数；，随机过程Xt的n维分布满足关系式：Fn Xi,X2, |啟冶我2川爲=Fn为兀,“仪壮 ；I ； ,H 11.；则称Xt为严平稳过程。2、宽平稳：若随机过程 1Xt,tT，的均值(一阶矩)和协方差存在，且满足(1) E l-X J - a-t T(2) E X k -a -ai：k t,t k T则称Xt,t T 为宽平稳随机过程。通常说的平稳是指宽平稳。二者的联系:(I) 严宽：因为宽平稳要求期望和协方差存在，而严平稳要求概率分布存在，而不能断言 二阶矩存在。(n)宽严，这是不言而喻的。(川)严平稳+二阶矩存在 =宽平稳。但反过来一般不成立。(W)对于正

6、态过程来说，有：严平稳宽平稳(二) 平稳时间序列自协方差函数和自相关函数为了叙述方便，常假定平稳时间序列Xt的均值为零，即 E IXJ - 0。用以下记号表示平稳序列Xt的自协方差函数，即k=EXt.k-EXtXt-EXtl 当EX 二 0时 二 EXtXt k相应地，Xt的自相关函数用以下记号0平稳序列Xt的自协方差函数列和自相关函数列具有以下性质:(1) 对称性：k二一几;(2) 非负定性：对于任意正整数 m,飞71川h %川IIIIIIIHm-2 山 丫0III1 Pl 川 Pm-J |Pl 1 川 Pm-2 pllllllll III L%iPm-2川 1 .为非负定对称方阵;(3)(

7、三) 平稳序列的样本统计量(1 ) 样本均值时间序列无法获得多重实现，多数时间序列仅包含一次实现，对于一个平稳序列用时间均值代替总体均值。即1 nXtn t =i上式的估计是无偏的。(2) 样本自协方差函数1 nJs_彳二一 Xt X Xt k Xn t j一 n _ - ?Xt-X Xtk-Xn -k tj第一式是有偏估计，第二式是无偏估计，但有效性不如第一式。其它概率性质和偏自相关函数的定义将在以后章节介绍。四、几类特殊的随机过程(序列)：1、纯随机过程：随机过程如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，则称其为纯随机过程。2、白噪声序列(White noise ):如果时间序列 Xt满足

8、以下性质：(1) E LX J - 0(2) eXXsIy2、式中，当tMs时，6t,s =OPt,t =1。称此序列为白噪声序列，简称白噪声。白噪声是一种最简单的平稳序列。(3) 独立同分布序列： 如果时间序列Cxt,tT?中的随机变量 Xt,t=o, 1, 2,，为相互独立的随机变 量，而且Xt具有相同的分布，称这样的时间序列:Xt,L T?为独立同分布序列。独立同分布序列是一种最简单的严平稳序列。一般说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两种序列，当白噪声序列为正态序列时，它也是独立 同分布序列，此时称之为正态白噪声序列。(4) 独立增量随机过程：对于任意正整数n,任意ti T i =1

9、,2,川,n,t, ：t2汕1 : tn，随机变量 Xt2 -Xt一，Xt3 -Xt2IIXtn -Xt相互独立。简单地讲，就是任意两相邻时刻上的随机变量之差(增量)是相互独立的。(5) 二阶矩过程：若随机过程 :Xt,r t?对每个r t, Xt的均值和方差存在，则称之为二阶矩过程。(6)正态过程：若，Xt,tT的有限维分布都是正态分布，则称 Xt ,r Tf为正态随机过程。ARMA )Xt-1 ；主要介绍三种单变量模型：自回归( AR )模型、移动平均(MA )模型和自回归移动平均( 模型。第一节自回归模型一、一阶自回归模型 AR(1)如果时间序列独立，就是说事物的后一时刻的行为主要与其前

10、一时刻的行为毫无关系。这样的资料所 揭示甲统计规律就是事物独立地随机变动，系统无记忆能力。如果情况不是这样，资料之间有一定的依存 性。后一时刻的行为主要与前一时刻的行为有关，而与其前一时刻以前的行为无直接关系，即已知Xt主要与Xt-i相关。用记忆性来说，就是最短的记忆，即一期记忆，也就是一阶动态性。描述这种关系的 数学模型就是一阶自回归模型。即Xt = 1X2 a记作AR (1)。其中Xt零均值平稳序列，a t为随机扰动。1、一阶自回归模型的特点Xt对Xt-i有线性相关关系a t为独立正态同分布序列E(atXt4) =0, j =1,2,2、AR (1)与普通一元线性回归的关系一兀线性回归Y

11、= + PXj +勺一阶自回归Xt两个变量，Y为随机变量，X为确定性变量；一个变量，Xt为随机变量；E(勺)=0 ;at为白噪声序列，E(aJ = 0 ;cov(吓)=0 i j ；1 CT 2 t = Sa ；0 t s2var(遇)=；cov(X)=0 ;E(atXt_j)=0, j =1,2,；勺 U N(0F2 )还可假定at为正态分布。主要区别:(1) 普通线性回归模型需要一组确定性变量值和相应的观测值；AR( 1)模型只需要一组随机 变量的观测值。(2) 普通一无线性回归表示的是一随机变量对另一个确定性变量的依存关系；而AR (1)表示的是一个随机变量对其自身过去值的依存关系。(3

12、) 普通线性回归是在静态的条件下研究的；AR (1)是在动态的条件下研究的。(4) 二者的假定不同。(5) 普通回归模型实质是一种条件回归，而AR (1)是无条件回归。主要联系：固定时刻t-1，且观察值Xt-1已知时，AR (1)就是一个普通的一元线性回归。二、AR (1)模型的特例一随机游动1、随机游动模型Xtat2、模型的特性(1) 系统具有极强的一期记忆性，系统在t-1和t时刻的响应，除随机扰动外，完全一致，差异完全是由扰动引起的。(2) 在时刻t-1时，系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应Xt-1,即Xt二XtJ。(3) 系统行为是一系列独立随机变量的和，即Q0Xt = at -

13、jj 三、一般自回归模型 AR(n)Xt 二 Xt42X2 . ;：nXt at 其中：at 为白噪声，E( atXJ =0, j =1,2,。第二节移动平均模型一、一阶移动平均模型 MA (1)如果系统的响应 Xt仅与其前一时刻进入系统的扰动a t存在一定的相关关系，则有MA (1)模型：Xt y -响4其中：at为白噪声。MA (1)模型的基本假设为：(1)系统的响应Xt仅与其前一时刻进入系统的扰动a t有一定的依存关系；(2) at为白噪声。二、一般移动模型MA (m)模型的形式：X t = at - Viat 二-R3t _2-Vmat _m自回归移动平均(ARMA)模型其中：(1)

14、Xt仅与:td，:.t/，t m有关，而与:t_j (j=m+1,m+2,)无关；(2) :. t为白噪声。第三节、 ARMA (2, 1)模型1、ARMA ( 2, 1)模型的形式：Xt -1Xt 二 2Xt_2 = ： t其中：Xt与Xt、XtN和:t J有相关关系，：t白噪声。2、ARMA (2, 1)模型的结构：ARMA (2, 1)模型是由一个 AR ( 2)和一个MA (1)两部分构成。3、ARMA (2, 1)与 AR ( 1)的区别从模型形式看，ARMA (2, 1 )比AR (1)的项数多；从模型的动态性看，ARMA (2, 1)比AR (1 )具有更长的记忆；从计算 ：t所

15、需的资料看，ARMA (2, 1)需要用t期以前的:-t j ,:-心,，这需要从初 期开始递归地计算出来，：o通常取零；从参数估计来看，ARMA (2, 1)比AR (1)困难。二、ARMA (n, n-1)模型Xt - :XtnXt=-斗1ARMA (n, n-1)模型的基本假设为：t独立于:t j(j=n,n+1,，从而：t独立于(j=n+1,n+2,).三、ARMA(n , n-1)模型的合理性为什么我们以ARMA(n , n-1)模型为一般形式来建立时序模型呢？难道一个ARMA(n , n-1)模型总可以描述一个时间序列吗？对于平稳系统来说，这是毫无疑问的。之所以以ARMA(n ,

16、n-1)为基本模型是因为下述理由：第一，AR、MA、ARMA(n , m)模型都是 ARMA(n , n-1)模型的特殊情形。第二，理论依据：用Hilbert空间线性算子的基本理论可以证明，对于任何平稳随机系统，我们都可以用一个ARMA(n , n-1)模型近似到我们想要达到的程度；用差分方程的理论也可以证明，对于n阶自回归，MA模型的阶数应该是 n-1。第三，从连续系统的离散化过程来看， ARMA(n , n 1)也是合理的。在一个 n阶自回归线性微分方程和任意阶的移动平均数的形式下，如果一个连续自回归移动平均过程在一致区间上抽样，那么，这个抽样 过程的结果是 ARMA(n , n-1)。【

17、章节实验】利用 Eviews软件生成AR序列、MA序列和ARMA序列。第三章 ARMA模型的特性本章为本书重点之一，主要掌握三类模型的格林函数形式、平稳性和可逆性条件、AFC和PAFC的形式和特点。第一节线性差分方程一、后移(Backshift)算子:1. 定义：后移算子B定义为BXt，从而BmXt =Xtq。2. 后移算子的性质：(1) 常数的后移算子为常数：Be二c(2) 分配律：(Bm Bn)Xt 二 BmXt BnXt 二 XtX(3) 结合律：BmBnXt =Bm(BnX二BmXt=Xtq(4) 后移算子B的逆为前移算子B Xt = Xt 1(5) 对于1，无限求和得(1+他2笔22

18、乜3+.产一1-B前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分别表示为：Xt (B)at(B)Xat(B)Xt 7(B)at其中：(B) =1 - JB-讣2-山-;；Bn丁(B) =1 _B_| 寸mBm二、线性差分方程Xt - 1 Xt_1 - 2Xt_ 21(- nXtn = aL1n 2乳川- 二 a t m可将写成：(B)Xt - J(B)a这里(B) =1 仝iB _ IB2(一 nBn71(B) =1 _ B _ B2 _| -7imBm差分方程通解为：Xt 二C(t) l(t)这里，C (t)是齐次方程解，I是特解。三、齐次方程解的计算无重根考虑齐次差分方程

19、(B)Xt =0其中(B) =(1-G!B)(1-G2B)川(1-GB)假定Gi, G2,，Gn是互不相同，则在时刻 t的通解：Xt =AiG； A2G2 111 AGn其中Ai为常数(可由初始条件确定)。重根 设(BH0有d个相等的根G。，可验证通解为Xt =(Ao At -A2tMl| AddtdJ)G0对一般情形，当：(B)的因式分解为(1-GB)(1-G2B)IH(1-Gn/B)(1-GoB)dd 4n/齐次方程解便是Ck(t)二GO. AjtjDjG；j =0i=i因此，齐次方程解是由衰减指数项Gt、多项式tj、衰减正弦项Dtsin(2 n ft+F)，以及这些函数的组合混合生成的。

20、上述过程中计算Gi并不方便，通常通过解方程 ，n - / n J - 21 n - =0得到其根为：i,i=1,2,，n。由于， 1 2 -.-n=0的根与1-初-，沙2-川- n B = 0的根互为倒数，因此j二Gj。非齐次方程的特解通常情况下不容易得到，没有一个“万能钥匙”，需要具体问题具体分析，只能对一些具有特殊形式非齐次项的方程进行讨论。此处丛略。第二节 格林函数（Green function）和平稳性（Stationarity）一、格林函数（Green function）1、定义：设零均值平稳序列Xt,t =0, 一1,_2,.能够表示为0(1)Xt 八 Gjatj=0则称上式为平稳

21、序列 Xt的传递形式，式中的加权系数Gj称为格林（Green）函数，其中G。= 1。2、格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。式（1）可以记为Xt 二 G B at（ 2）cd其中G B八GjBj。j=0Q0式（1）表明具有传递形式的平稳序列Xt可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“ G B =x GjBjj=0的作用而生成,Gj是j个单位时间以前加入系统的干扰项at_j对现实响应Xt的权，亦即系统对at_j的“记忆”。AR（1）系统的格林函数由 AR（ 1）模型t -2+ 1，则Gj随着j的增大而缓慢减小，表明系统的记忆较 强；相反，若-10,则Gj随着j的增大而急剧减小，表明

22、系统的记忆较弱.例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR( 1)系统对扰动:.t的记忆情况(三个序列由同一正态白噪声序列模拟生成)6Xt 二 0.1Xt_i atXt 二 0.9Xt j atXt - -0.9Xt4 at比较前后三个不同参数的图，可以看出：(1) ：1取正值时，响应波动较平坦。(2) ;：1取负值时，响应波动较大。(3) ：1越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时间越长。由于Xt Ujat_j =at 工內匕印/ 其中：T 一片，因此 AR (1) j 模型可用一个无限阶 MA来逼近，这说明 AR模型是一种长效记忆模型。三、AR系统的平稳性1、由平稳性的定义求 A

23、R（1）系统的平稳性条件将AR（ 1）模型Xt =iXt-at两边平方再取数学期望，得到E(Xt2) =E( 1X- at)22 2 2=1 E(XJ E(at ) 2 ；E(X2at) 八jE(X：丿匚;如果序列Xt是平稳的，则有E(Xt2)= E(X：)，由上式可得(1 -12E Xt2 *a2E(Xt2)2(1 -12)由于E（Xt2）是非负的，所以_0，从而% 1时，j, Gj is,任意小的扰动只要给定足够的时间，就会使系统响应正负趋于无穷，永远不会回到其均衡位置，这时系统便是不稳定的，当然是非平稳的。例：求AR (2)模型的平稳域2解：特征方程 (，)=- V - 2 = 0的根

24、：2一4打4 21, 2 :2 2i 2 = - 2 ,2=1根据AR模型的平稳性的条件 g|c1(i=1,2)2 =|入入2| 1：2 J = h 2 - T2 =1 - 1 一 j 1- 22- -12-(1 2)=1- 1 1 1 2由于阵黄是实数，入，入2必同为实数或共轭复数，由于人人10因此齢十叽=1it- hr ii z笃科1=1 -(1 土扎)1土爲河為/尼故AR (2)模型的平稳域为脾2 191 )-2丿.j2ARMA (2, 1)模型的格林函数也可以通过下面的过程求得。根据Wold分解，平稳ARMA (2，1)模型(1- B- 2B2)Xt =(VB)at可以写成Xt1 -

25、“B1- IB - 2B1 - 1B 1 - 2Bat1- j1 -d丄1 .1 -B 彳 11 1-1 11 九2batIL/S -人2 1 -1B 2 -、1 11 -?BatBjat j2 一 1at_j入7、7 j +1 才11叫一丿1扎2 -仙丿即：G j八：上j I H 2AR(2)为ARMA (2，1)模型的特殊形式，同样具有上述关系。例：ARMA (n, n-1)系统的格林函数与上面方法相同，ARMA (n，n-1)系统的格林函数的隐式的递推式为:(1 一 泪一 2B2nBn)Gj =0, j 一 n其中 Go,G1,G 2, Gn_ Gn,由下列式子导出Gn 1 - ，Gn_

26、2- Gn _ 3- ，n_Gi =0-VnGn -iGn _1 - Gn _ R-nG=0 0即（i_ _ B2 -川一 nBn）Gj =0, j _ n其最终解为:Gj =gi 衬 +g2 扎2 +. + gn 爲g.=ii -i .（人心 翠严.氏4其中：gi g2例：ARMA （ 2, i）系统的平稳性条件ARMA （ 2，i）的平稳性条件要求：H 匚时,Gj 0 。由Gj=1 + g22得：丸i v i,卷v i，即（人）=九2 一半t丸一半2 = o的根在单位圆内。由于ARMA （2, i）的特征方程（ ）=舟.2 _ S 一笃=0和AR（2）和形式一样（或者说和其移动平均项系数无

27、关），因此其平稳域与 AR（2）系统的平稳域相同，都是:.-：- - ii2思考：MA模型的平稳性条件。第三节逆函数和可逆性（Invertibility ）所谓可逆性（Invertibility）是指移动平均模型可以用AR模型表示。一、逆函数的定义设Xt是零均值平稳序列，如果白噪声序列at能够表示为odat - Xt I jXt_jj勻则称上式为平稳序列Xt的逆转形式，式中的加权系数lj j =1,2,.称为逆函数。二、ARMA模型的逆函数1、ARMA (n,m)模型逆函数通用解法对于ARMA (n,m)模型的逆函数求解模型格林函数求解方法相同。Q0令 1(B) =1IjXtjl。1，j 1q

28、Q则平稳序列Xt的逆转形式at =XtIjXy可表示为jat =I(B)Xt由 ARMA(n,m)模型(B)Xt (B) 可得(B) - v(B)l (B)仍由先前定义的;:*和刁，则上式可化为广 cd( od!：*Bjr丿比较上式两边B的同次幕的系数，得到j.* _ 4 kjk I -kk=0j即1 j = j 亠二 U 1 j _k , j = 1,2,k#由此I j可从j开始推算出。2、AR模型的逆函数对于AR( 1)模型 Xt -梯2二at有x 厂 Xtat则其逆函数h二i, I j 0 , j - 2类似对于 AR ( n)模型 Xt _iXt 4 _2Xt 卫 _nXt t = a

29、t 有Xt =梯行2X2nXt*t其逆函数为：丨2八2.InI 0 , j - n 13、MA模型的逆函数对于MA (1)模型 X(1B)at，则(B) =1， 班B) =1 -弓B，1 一千B I B =1，即1 一可B 1 hB l2B2 =1比较上式两边B的同次幕的系数得I。一1,11 - flj Tlj,j 一2从而有I j _ -1j, j =1,2,.也可以用以下方法求 MA( 1)模型的逆函数由 Xt = (1 - yB)at 得aXt3t(1-祁)h1 B #B2 . Xt=Xt，jXt_jj吕即 Xt 二 at Y(“1jXt Jj m可见 Ij与AR( 1)讨论相类似，上面

30、推导所隐含的可逆性条件为1对于MA (m)模型的可逆性讨论与 AR (n)模型平稳性的讨论是类似的，即：MA( m)模型的可逆性条件为其特征方程Vm-二0Vk ： 1的特征根 V满足Vk 1F面所讲的逆函数与格林函数的关系也作为求逆函数的一种选择。三、Gj和lj之间的关系对于AR（ 1）模型和MA（ 1）模型， 注意到逆函数l1 二 1lj -Q,j 1I j - 格林函数AR（ 1）： Gj =叫GoMA （ 1）G1可以看出，AR（ 1）的Gj和MA（ 1）的lj形式一致，只是符号相反，参数互换。此对偶性对其它模型仍然存在，如:ARMA （ 2，1）的格林函数为Gq = 1G =% -日1

31、G2 =G% +巴G =Gj屮 1 +Gj,2, jH3ARMA （ 1，2）的逆函数为h = 1 -已= * = e -為Jj =lj1 +lj,2,23综上可知，在格林函数的表达式中，用-1 j代替Gj， 代替二，二代替:，即可得到相对应的逆函数。四、关于ARMA模型平稳性与可逆性的说明通过上面的讨论可知，AR模型不存在可逆性性条件， MA模型不存在平稳性条件。 因此，对于ARMA 模型的平稳性条件是针对其 AR系数而言，可逆性条件是针对其 MA系数而言。只有同时满足平稳性可可逆性条件，ARMA模型才是有意义的。第四节自协方差函数、理论自协方差函数和自相关函数对于ARMA系统来说，设序列的

32、均值为零，则自协方差函数自相关函数二、样本自相关函数的计算在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本 的自协方差函数和自相关函数。样本自协方差有两种形式:1彳XtX* k =0,1,2,，N -1N tk + XtXth k =0,1,2,N -1 N -kt土1则相应的自相关函数为、XtXy?k1 N礼Xi2t dk 1N、Xt2t=1NN -k v Xt2t壬在通常的情况下，我们常采用第一种的计算方法。三、AR模型的自协方差函数和自相关函数（1）AR（ 1）模型的自协方差函数和自相关函数AR（ 1 ）模型为:Xt 二 1X2 at假设Xt为零均

33、值序列。将上式两端乘以xt，并取期望，得E XtXz iE XtXgE atXy即：。二 i i 2当k=1时，有E X 兀=1 E 崔1 崔 1E ta X即：1八1 0当k=2时，有E XtXt, -IE X2X2 E atXt,21 1依此类推，便有一般式：1 kJ k 020J相应的自相关函数为k / 0，即口0 =%/ 0= kl 0=1 k1/ 0、AR (n)模型的自协方差函数和自相关函数自相关函数Xt 二 iXt2X2 IIIpXtat两边同乘以 Xt*得到XtXt 二 iXtXt2X2X2川 nXyXtXx取期望，得：(k 0)k 1 k -12 k -2n k n上式两边除

34、以0 ，可得差分方程：(k 0)k 1 k -A2 k -2nk-n我们注意到，上式类似于过程Xt自身所满足的差分方程。假定将上式记为(B) J =0记则差分方程通解:几二 AG； AzG；AnG：这里，Gi,G2，Gn是特征方程:(B) =1 _ 1B _川-nBn=0的根。为了保证平稳性，则要求g 1。在实际应用中，如果假定根是互异的，会出现两种情况:1.Gi是实根，这时在通解 p k中AiGik随k增大等比例地衰减到零，我们常称之为指数衰减。2. Gi和Gj是一对共轭复根，导致在通解出现:kD sin(2二 fk F)使得自相关函数呈衰减的正弦振荡，衰减系数D = Gj=Gj，频率f满足

35、:2 f 二 cosRe(GJ/D方差：当k=0时,021 nV上式两边除以 ,-X，并有 k二丄，故方差 匚X可以写成=111 -；2-111仁四、MA模型的自协方差函数和自相关函数(1) MA ( 1)模型的自协方差函数和自相关函数：将MA (1)模型Xt二at -弓色 两端同乘以Xt*取期望，得E XtXt _k- E atXt_k- -1Eat jXt _kr oo、1=Ea为G j at _k1Ij丿o = i V Wi-平；=k =o, k 一2o -i:?i 二i V2o, k2=送GjE（耳可上）一日i匡GjE（at/at_k）j=0J=0一-G0E atat _k G1E a

36、 t_kat - 二1 GoE （_k ） + GiE （耳at_k/ ）2二E atQ上一 “E印印 心一 ijiat当k=0时，有o = E XtXt=E稠 jE謂jE ag ,2E色孔 七十a当k=1时，有i 二 E XtXtJ2=E atatj -E ata -E 印_冋_1 E atJat=-Q当k=2时，有2 二 E XtXt/2=E atat_ -iE atat； -tE atatn应该有kk=O。(1) 偏自相关性是条件相关，是在给定Xj，Xj2.,XjJS1的条件下，Xj和Xj上的条件相关。换名话说，偏自相关函数是对 Xj和Xj丄之间未被XjXj/,，Xj 所解释的相关的度量

37、。(2) 由最小二乘原理易得， 現严賂,kk是作为Xj关于Xj，Xj.，Xj线性回归的回归系数。(3) 由(2)可得，对于AR (n)模型，当kn时，=0。(此性质用来在 B-J建模过程中，识 别AR特征)(4) 对于任何平稳过程，都可以由Yule-Walker方程定义偏自相关函数，当然也都是作为自相关函数的函数。六、自回归和滑动平均过程之间的对偶性自回归和有限滑动平均过程之间存在对偶关系的特征：1. 在一个n阶平稳自回归模型中，at可表示为既往 X的有限加权和，换言之，Xt可表为既往a的无限加权和：Xt 二(B)at同样，在一个 m阶滑动平均模型中，Xt可表示为既往a的有限加权和，换言之，a

38、t可表为既往X的无限加 权和：(B)Xt 二at2. .有限的MA过程具有在某点之外全为零的自相关函数，但由于它等价于一个无限阶的AR过程,因此其偏自相关函数无限伸延，且被衰减指数和(或)衰减正弦波所控制。与此相反，AR过程具有在某点之外全为零的偏自相关函数，但是它的自相关函数无限伸延，且有衰减指数和(或)衰减正弦波混合生成。3. 对于一个有限m阶自回归过程，其参数不必满足任何条件就能保证可逆性，然而，为满足平稳性，0 (B)=0的根必须都在单位圆外。与此相反，MA过程的参数不需要满足任何条件就能保证平稳性，然而，为满足可逆性，0 (B)=0的根必须都在单位圆外。4. 滑动平均过程的谱与对应的自回归过程的谱存在互逆关系。七、本章小结零均值时间序列统计分析结果类别模型AR(n)MA(m)ARMA (n ,m)模型方程at =(B)XtXt=8(B)at申(B)Xt=8(B)at平稳性条件特征根全在单位圆内无条件平稳特征根全在单位圆内可逆性条件无条件可逆特征根全在单位圆内特征根全在单位圆内传递形式Xt =(B)atXt =8(B)atXt =k(B)e(B)at逆转形式at =(B)Xtat =T(B)Xtat=8(B)砕(B)XtGreen函数拖尾截尾拖尾逆函数截尾拖尾拖尾自相关函数拖尾截尾拖尾偏相关函数截尾（截尾应该是快速趋于0）拖尾拖尾自相关系数拖