方程组解结构(课后微改版)

1、 A (A, b) ；A (A, b) , A (A, b) , A ； (A, b) A, bA, b ：对于矩阵方程：对于矩阵方程AX=B, 有以下结论。有以下结论。AX=B 有解有解 r(A,B)=r(A), 称其为称其为Ax= 的的或矩阵或矩阵 A 的的课后课后注解注解求方程组求方程组 x+2y-3z=0 的基础解系的基础解系. 设矩阵设矩阵A 经过一系列初等行变换经过一系列初等行变换可化为可化为1 0 1 1 30 1 0 0 -20 0 0 0 0,求方程组求方程组Ax = 的基础解系的基础解系. 设矩阵设矩阵A 经过一系列初等行变换经过一系列初等行变换可化为可化为1 -1 0 -

2、1 0 0 1 1求核空间求核空间K(A) 的一组基及维数的一组基及维数. ,K( )=K()例例5 5 设设分别是分别是矩阵矩阵, ,证明：若证明：若 , , 则则 . . ( (参见推论参见推论2.8)2.8)通解通解的通解的通解 3 581147 4 2 3, 2 2 353215432154321xxxxxxxxxxxxxx，重重 合合相相 交交平平 行行异异 面面无穷多解无穷多解唯一解唯一解无无 解解位置关系位置关系Ax=DAx=D秩秩无无 解解r(A)=r(A,D) =2r(A)=r(A,D) =3r(A)=2, r(A,D)=3r(A)=3, r(A,D)=4当参数当参数k取什么

3、值时，取什么值时， 直线直线L1 : = = y-1 -3x-1 2z-4-4L2 : = = (k 0)y+1 -1x-1 2z-1k相交？相交？L1L2P1P2s1Q2Q1s2Q2。重重 合合交于一线交于一线交于一点交于一点无交点无交点无穷多解无穷多解位置关系位置关系Ax=DAx=D秩秩无无 解解r(A)=r(A,D) =1r(A)=r(A,D) =2r(A)=r(A,D) =3r(A)+1= r(A,D)唯一解唯一解无穷多解无穷多解讨论下列三个平面的相对位置讨论下列三个平面的相对位置. 1 : x+y+6z=3; 2 : 2x+(a+1)y+(b+1)z =7; 3 : (1-a)x +

4、 (2b-1)z =0.其中，其中，a, b 是参数是参数.课后注释：课后注释：一般来说，第一步假定只有一一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在的一个范围；在剩下的范围内，剩下的范围内，a,b 是一些具体的取值，我是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系断解的情况，从而判断平面的位置关系.本门课程的内容体系本门课程的内容体系本门课程：研究矩阵的理论本门课程：研究矩阵的理论；:特殊矩阵特殊矩阵;:为了更方便的运算为了更方便的运算;:矩阵之间的一种变换；矩阵之间

5、的一种变换；:一种分类一种分类; 是初等变换下的不变量。是初等变换下的不变量。：相似变换：相似变换(方阵方阵)：可逆变换：可逆变换(实对称阵实对称阵)特征值特征值惯性指数惯性指数：空间是一种特殊的矩阵空间空间是一种特殊的矩阵空间寻找向量空间的寻找向量空间的极小生成元极小生成元(基基)寻找向量组的极寻找向量组的极大无关组大无关组研究向量组中向研究向量组中向量间的关系（线量间的关系（线性相关性）性相关性）有了基有了基, 就有就有了坐标；了坐标；定义内积定义内积,引入正交引入正交的概念的概念构造一组标准构造一组标准正交生成元正交生成元两个两个应用应用刻画矩阵刻画矩阵A的列空间的列空间(列向量生成的子

6、空间列向量生成的子空间)刻画刻画Ax=b的解空间，即寻找基础解系的解空间，即寻找基础解系 (R3): 可看作是第四章的可看作是第四章的铺垫，也可看作一种特殊的向量空间，特殊铺垫，也可看作一种特殊的向量空间，特殊是因为其有几何背景是因为其有几何背景。 : 它们是研究矩阵它们是研究矩阵的工具。很多问题会被转化为求行列式的工具。很多问题会被转化为求行列式(特别特别是遇到方阵时是遇到方阵时)或求方程组解的问题。或求方程组解的问题。作作 业业To 4系和系和10系系:习题四习题四(B) 30(1),31(2),32,35,36,38： 12月月14日（周一）日（周一）To 2系系:习题四习题四(B) 30(1),31(2),32,35,36,38： 12月月15日（周二）日（周二） 定理的定理的4.14证明证明(课后注解课后注解)：