2017-中考数学-压轴专题-最值问题系列(一)

1、专题最值问题一一1几何模型一、归于几何模型，这类模型又分为以下情况：1. 归于“两点之间的连线中，线段最短。凡属于求“变动的两线段之和的最小值时，大都应用这一模型。2. 归于“三角形两边之差小于第三边。凡属于求“变动的两线段之差的最大值时，大都应用这一模型。3. 利用轴对称知识结合平移。4. 应用“点到直线的距离，垂线段最短。性质。5. 定圆中的所有弦中，直径最长；以及直线与圆相切的临界位置等等。、根底知识模型一“将军饮马问题1. 如图1,将军骑马从A出发，先到河边a喝水，再回驻地 B,问将军怎样走路程最短？2. 如图，一位将军骑马从驻地 M出发，先牵马去草地 OA吃草，再牵马去河边 OB喝水

2、，最后回到驻地 M问：这 位将军怎样走路程最短 ？图13. 如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵马，先到草地一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷, 请你帮助确定这一天的最短路线。二“造桥选址问题选自人教版七年级下册1. 如图1 , A和B两地在一条河的两岸， 现要在河上造一座桥 MN桥造在何处才能使从 A到B的路径AMNB最短?假设河两岸11、I 2平行,桥MN与河岸垂直练习：1.如图，在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点,连接PB PQ那么厶PBQ周长的最小值为 cm结果不取近似值.2. 点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点

3、P是半径ON上的动点,假设O O的半径长为1,那么AP+BP的最小值为.3. 如图3,点A的坐标为-4,8，点B的坐标为2, 2,请在x轴上找到一点P,使PA+PB最小，并求出 此时P点的坐标和PA+PB的最小值。y-S3X变式1：如图，点 A的坐标为-4,8，点B的坐标为2, 2，点C的坐标为-2 , 0.把点A和点B向左平移 m个单位，得到点 A和点B ,使AC BC最短，求m的值.变式2:如图，点 A的坐标为-4,8，点B的坐标为2，2，点C的坐标为-2，0，点D的坐标为-4， 0 把点A和点B向左或向右平移 m个单位，得到点 A和点B ,使四边形A B CD的周长最短，求 m的值.1A

4、-*BD CX中考真题练习1- 20心宁波?如團，抛物纵厂-#+叭+3与葢轴交干d :B两点，与丫轴交于点 G点B的坐标为3, 0CD求岀的值庚抛韧线的顶点坐标.行点P是抛翎线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.3182-如图1，抛物线yX2X 3和y轴的交点为A, M为OA的中点，假设有一动点 P,自M点处出发,55沿直线运动到x轴上的某点设为点 E，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点设为点F，最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点 E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。3.16-重庆如叭 在平面直角坐标系中，抛物线尸-护書-3与辭由交于也B两点(点

5、点在点B左 ffll)；与评由交于点S抽柳线的顶点.为点E.<1)判断总BC的形狀井说明理由；(2) 经过B, C两点的直线交拋物线的对称轴于点D,点P为直线BE上方抛物线上的一动点，当APCD 的面积最大时，Q从点P出复，先沿适当的蹈轻运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于搠物线对称 轴的万向运动到y轴上的点Mzb最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点Q的运动路径最短时，求点 N的坐标展点Q经过的最短路径的长$(3) 如图平移捌物线使拋物线的顶点E在肘线AE上移动点E平移后的对应点为点EJ点扎的对应 点为点 将AAOC绕点Q顺时针旋转至為O©的位臥 点釘C的对应点分别为点I

6、 且点州恰 好落在AC1,连接6常，C.Uf 貳是否能为等腰三角形？假设能，请求出所有符合条忤的点E的坐 标i假设不能请说明理由+24. 广州2021 24 题平面直角坐标系中两定点A- 1, 0、B 4, 0，抛物线y=ax+bx-2 a丰0过点A, B，顶点为C,点P m nn v 0为抛物线上一点.(1) 求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2) 当/ APB为钝角时，求 m的取值范围；35(3) 假设m> ,当/ APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t 0v tv -个单位，点 C P平移后对应22的点分别记为 C'、P'，是否存在t，使得首位依次连接 A、B

7、、P'、C'所构成的多边形的周长最短？假设存 在，求t的值并说明抛物线平移的方向；假设不存在，请说明理由.三垂线段最短问题1. 如图，点A的坐标为-1 , 0，点B在直线y x上运动，当线段 AB最短时，点B的坐标为J30 'A. 0， 0r11222 2B.，C.，D.， 一22222 2变式1. 点A的坐标为-4，8，点B的坐标为2, 2，在y轴上找一点 M使点M到点C-2，0的距离和到 直线AB的距离之和最小，请求出最小值。2. 点A的坐标为-4,8，点B的坐标为2，2点C的坐标为2，0，在y轴上找一点N,使点 N到点C的距离和到直线 AB的距离之和最小，请求出最

8、小值 中考真题训练21.如图，点 A(-4 , 8)和点B(2 , n)在抛物线y=ax上，点C坐标为-2 , 0.(1) 求a的值；(2) 在x轴上找一点Q,使得 QAB的周长最小，求出点Q的坐标； 点D的坐标为2，0，在y轴上找一点Q,使点Q到点D的距离和到直线 AB的距离之和最小，请求 出最小值.,11 VLJ4 -20I2.对于平面直角坐标系 x0y中的点平Pa，b，点P的坐标为 a b, ka bk其中k为常数，且k工0，那么称点P为点P的“ k属派生点.例如：P 1 , 4的“ 2 属派生点 P 为1 + - , 2 X1+4，即 P 3, 6.21点P-1 , -2丨的“ 2属派

9、生点 P的坐标为 ;假设点P的“ k属派生点 P的坐标为3, 3，请写出一个符合条件的点P的坐标;2假设点P在x轴的正半轴上，点 P的“ k属派生点为P点，且 OPP为等腰直角三角形，那么 k的值为3如图，点Q的坐标为0, 4.3，点A在函数y 生点，当线段B Q最短时，求B点坐标.4 3x<0的图象上，且点xA是点B的“- 3 属派四“三角形两边之差小于第三边(线段差最大问题)1.点A的坐标为-4,8，点B的坐标为2，2，(1)如图1请在x轴上找到一点P,使PA PB最大，并求出此时 P点的坐标。2如图2请在y轴上找到一点P,使|PA PB最大，并求出此时 P点的坐标。J¥B

10、图1XA*yVB图2X中考真题练习1. 2021年广东深圳如图，在平面直角坐标系中，O M过原点O,与x轴交于A4, 0，与y轴交于B0, 3，点C为劣弧AO的中点，连接 AC并延长到D,使DC=4CA连接BD1求O M的半径；2证明：BD为OM的切线；3在直线 MCh找一点P,使|DP - AP|最大.(五)与圆有关的最值问题(1) 利用“相切解决最值问题(2) 利用“直径是最长的弦求最值3利用“对角互补存隐圆、“定弦定角存隐圆、“定点定长存隐圆求最值1. 2021?枣庄如图，线段 OA交O O于点B,且OB=AB点P是O O上的一个动点，那么/OAP的最大值是C. 45°D. 3

11、0 °题图3题图2. 2021广州天河一模如图，AB为O O的弦，AB=6,点C是O O上的一个动点，且/ ACB=45，假设点 M,N分别是AB, BC的中点，贝U线段MN长的最大值是.3. 2021?武汉模拟如图，P为O O内的一个定点，A为OO上的一个动点，射线 AP、AO分别与O O交于B、C两点假设O O的半径长为3, OP=.,那么弦BC的最大值为A. 2 .二B. 3C. D. 3 二4. 2021春？兴化市月考在平面直角坐标系中，点A的坐标为3, 0，点B为y轴正半轴上的一点，点 C为第一象限内一点，且 AC=2，设tan / BOC=m，贝U m的取值范围是广V76

12、题图5. 2021花都一模如图，E, F是正方形ABCD勺边AD上两个动点，满足 AE=DF连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.假设正方形的边长为 2，那么线段DH长度的最小值是 .6. 2021?内江在平面直角坐标系 xOy中，以原点O为圆心的圆过点 A 13, 0，直线y=kx - 3k+4与O O交于B、C两点，那么弦BC的长的最小值为.7. 2021?泰兴市二模如图，定长弦CD在以AB为直径的O O上滑动点C、D与点A B不重合，M是CD的中点，过点 C作CP丄AB于点P,假设CD=3 AB=8 PM=I,那么I的最大值是题图7 题图8题图8.如图，在Rt ABC中,ACB=9

13、0 , AC=4, BC=3点D是平面内的一个动点，且AD=2 M为BD的中点，在D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是9.正方形 ABCD中, BC=4, E, F分别为射线 BC, CD上两个动点，且满足 BE=CF设AE, BF交于G贝U DG的最小值为10.如图，边长为3的等边 ABC D E分别为边BC AC上的点，且BD= CE AD BE交于P点，那么CP的最小值 为10题图11. 2021?安徽在O O中，直径 AB=6, BC是弦，/ ABC=30，点 P 在 BC上，点 Q在O O上，且 OPL PQ1如图1，当PQ/ AB时，求PQ的长度；2如图2，当点P在BC上移动

14、时，求 PQ长的最大值.12. 2021合肥模拟如图，直角 ABC内接于O O,/ C=90°,点P在弧AB上移动，P, C分别位于AB的异侧 P不与 A B重合， PCD也为直角三角形，/ PCD=90，且直角厶PCD的斜边PD也经过点B, BA, PC相交 于点E.BE(1 )当BA平分/ PBC时，求的值；CD(2 )：AC=1, BC=2,求厶PCD面积的最大值。13. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A-2 , 0，点B 0, 2，点E,点F分别为OA OB的中点.假设正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形 OE'D'F',假设直线AE'与

15、直线BF'相交于点P.1求/ PAO的最大值；2点P运动的路径长.稳固练习1.如图1，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在 B处，它要沿圆锥侧面到达 P处捕捉老鼠，那么小猫所经过的最短路程是m 结<?丿12题图2. 如图2,有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm,AAi、BB为相对的两条母线。在AA上有一个蜘蛛QQA=3cm在BB上有一只苍蝇 P, PB=2cmo蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P点吃苍蝇，最短的路径是 cm.结果用带n和根号的式子表示3. 深圳 福田模拟如图，/ MON=20 , A为射线OM

16、上一点，OA=4 D为射线ON上一点，0D=8 C为射线AM上任意一点，B是线段0D上任意一点，那么折线 ABCD勺长AB+BC+C啲最小值是 .4. 2021?苏州如图， A、B两点的坐标分别为2, 0、 0, 2，O C的圆心坐标为-1, 0，半径为1假设D是OC上的一个动点，线段C . ：DA与 y轴交于点 丘，那么厶ABE面积的最小值是D . -A 1, yj, B 2, y2为反比例函数y5. 2021春?兴化市校级月考如下列图,x, 0在x轴正半轴上运动，当线段6.2021?武汉模拟如图/ BAC=60=图象上的两点，动点 PxAP与线段BP之差到达最大时，点 P的坐标是 .

17、76;半径长1的O O与/BAC的两边相切，P为O O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的O P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，那么线段DE长度的最大值为7.2021年武汉中考如图， ABC EFG匀是边长为2的等边三角形，点 D是边BC EF的中点，直线 AGFC相交于点M.当厶EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是.8. 2021?日照问题背景：如图a，点A B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于I的对称点B'，连接AB'与直线I交于点C，那么点C即为所求.1实践运用:如图b，O O的直径CD为4，点A在OO上，/

18、 ACD=30 ° B为弧AD的中点，P为直径CD上一动 点，贝U BP+AP的最小值为 .2知识拓展： 如图C，在Rt ABC中，AB=10 , / BAC=45 ° / BAC的平分线交 BC于点D , E、F分别是线段 AD和AB 上的动点，求 BE+EF的最小值，并写出解答过程. 29. 如图，点 A(-4 , 8)和点B(2, n)在抛物线y=ax上.1求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q,使得AQ+QBt短，求出点 Q的坐标；2平移抛物线y=ax2，记平移后点 A的对应点为 A',点B的对应点为B',点C(-2 , 0)和点D

19、(-4 , 0)是x 轴上的两个定点. 当抛物线向左平移到某个位置时，A C+CB最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A' B' CD的周长最短？假设存在，求出此时抛物线的函数解析式；假设不存在，请说明理由.10. ：如图，AB是O O的直径，在 AB的两侧有定点 C和动点P, AB=5 AC=3点P祕上运动点P不与A, B重合，CP交AB于点D,过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点 1求/ P的正切值；2当CP丄AB时，求 CD和CQ的长；3当点P运动到什么位置时， CQ取到最大值？求此时 CQ的长.11. 先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等如图，点A、