考研数学二分类模拟题47

考研数学二分类模拟题47解答题1.

证明：当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2.正确答案：[证明]令φ(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，φ(1)=0.

INCLUDEPI（江南博哥）CTURE\d":8089/YFB12/tu/1611/yjs/ky/s2f44.07F3E3.jpg"INET

则故x=1为φ"(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为φ"(1)=2＞0，故φ"(x)＞0(x＞0)．

由得

故x=1为φ(x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为φ(1)=0，

所以x＞0时，φ(x)≥0，即(x2-1)lnx≥(x-1)2．

2.

当x＞0时，证明：正确答案：[证明]方法一

令

对因为

所以，从而f'(x)≥0(x＞0)．

由得f(x)≥f(0)=0(x＞0)，即

方法二

令

显然f(0)=0，F(0)=0.

由柯西中值定理，存在ξ∈(0，x)，使得

令由得

当时，f'(x)＞0；当时，f'(0)＜0，则为φ(x)在(0，+∞)内的最大值点，最大值为

所以

3.

设0＜a＜b，证明：正确答案：[证明]首先证明

因为，所以令

由而b＞a，所以φ(b)＜0，即

再证

方法一

因为，所以令f(x)=(x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a)，f(a)=0，

由因为b＞a，所以f(b)＞f(a)=0，即

方法二

令f(x)=lnx，则存在ξ∈(a，b)，使得，其中0＜a＜ξ＜b，则所以

4.

求由方程x2+y2-xy=0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值.正确答案：[解]根据隐函数求导数法，得

令得y=2x，再将y=2x代入原方程得函数值为

将代入y"得

所以为函数的极大值点，且极大值为

5.

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f'(0)=f(1)=f'(1)=0.证明：方程f"(x)-f(x)=0在(0，1)内有根.正确答案：[证明]令φ(x)=e-x[f(x)+f'(x)]．

因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ'(c)=0，

而φ'(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，所以方程f"(c)-f(c)=0在(0，1)内有根．

6.

设f(x)=3x2+Ax-3(x＞0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20?正确答案：[解]f(x)≥20等价于A≥20x3-3x5，

令φ(x)=20x3-3x5，由φ'(x)=60x2-15x4=0，得x=2，

φ"(x)=120x-60x3，因为φ"(2)=-240＜0，所以x=2为φ(x)的最大值点，最大值为φ(2)=64，故A至少取64时，有f(x)≥20.

7.

设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=-2，f'(0)=1，f"(x)≥0.证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根.正确答案：[证明]因为f"(x)≥0，所以f'(x)单调不减，当x＞0时，f'(x)≥f'(0)=1.

当x＞0时，f(x)-f(0)=f'(ξ)x，从而f(x)≥f(0)+x，因为所以

由f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)=-2＜0，则f(x)=0在(0，+∞)内至少有一个根，又由f'(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．

设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2).8.

证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；正确答案：[证明]令φn(x)=fn(x)=1，因为φn(0)=-1＜0，φn(1)=n-1＞0，所以φn(x)在(0，1)(0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根．

因为φ'n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn．

9.

求正确答案：[解]由fn(xn)-fn+1(xn+1)=0，得

从而xn＞xn+1，所以单调减少，又xn＞0(n-1，2，…)，故存在，设显然A≤xn≤x1=1，由得两边求极限得，解得

10.

设a＞0，讨论方程aex=x3根的个数.正确答案：[解]aex=x2等价于x2e-x-a=0.

令f(x)=x2e-x-a，由f'(x)=(2x-x2)e-x=0得x=0，x=2.

当x＜0时，f'(x)＜0；当0＜x＜2时，f'(x)＞0；当x＞2时，f'(x)＜0，

于是x=0为极小点，极小值为f(0)=-a＜0；x=2为极大点，极大值为

又

(1)当，即时，方程有三个根；

(2)当即时，方程有两个根．

(3)当即时，方程只有一个根．

11.

就k的不同取值情况，确定方程x3-3x+k=0根的个数.正确答案：[解]令

由f'(x)=3x2-3=0，得驻点为x1=-1，x2=1.f"(x)=6x，由f"(-1)=-6，

f"(1)=6，得x1=-1，x2=1分别为f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为f(-1)=2+k，f(1)=k-2.

(1)当k＜-2时，方程只有一个根；

(2)当k=-2时，方程有两个根，其中一个为x=-1，另一个位于(1，+∞)内；

(3)当-2＜k＜2时，方程有三个根，分别位于(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)内；

(4)当k=2时，方程有两个根，一个位于(-∞，-1)内，另一个为x=1；

(5)当k＞2时，方程只有一个根．

12.

设k为常数，方程在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围.正确答案：[解]令

(1)若k＞0，由所以原方程在(0，+∞)内恰有一个实根；

(2)若k=0，所以原方程也恰有一个实根；

(3)若k＜0，又所以为f(x)的最大值，令得，所以k的取值范围是

13.

设f(x)在[-1，1]上可导，f(x)在x=0处二阶可导，且f'(0)=0，f"(0)=4.求正确答案：[解]

对x＞0，有，同理所以原式=2.

14.

设f(x)二阶连续可导且f(0)=f'(0)=0，f"(x)＞0.曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求正确答案：[解]曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y-f(x)=f'(x)(X-x)，

令Y=0得由泰勒公式得

于是

设函数其中g(x)二阶连续可导，且g(x)=1.15.

确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；正确答案：[解]

当a=g'(0)时，f(x)在x=0处连续．

16.

求f'(x)；正确答案：[解]当x≠0时，

而

所以

17.

讨论f'(x)在x=0处的连续性.正确答案：[解]

因为所以f'(x)在x=0处连续．

18.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'+(a)f'-(b)＜0.证明：存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0.正确答案：[证明]不妨设f'+(a)＞0，f'-(b)＜0，根据极限的保号性，由则存在δ＞0(δ＜b-a)，当0＜x-a＜δ时，，即f(x)＞f(a)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)．

同理由f'-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)．

因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f'(ξ)=0.

19.

设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且证明：存在ξ∈(0，2)，使得f'''(ξ)=2.正确答案：[证明]方法一

先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得

则

令g(x)=f(x)-P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g'(c1)=g'(1)=g'(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g"(ξ)=0，而g"(x)=f'''(x)-2，所以f'''(ξ)=2.

方法二

由泰勒公式，得

两式相减，得，而f'''(x)∈C[0，2]，所以存在ξ∈(0，2)，使得f'''(ξ)=2.

20.

设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b).

证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得正确答案：[证明]令因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，

所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n-1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，

存在a＜c1＜c2＜…＜cn-1＜b，使得

f(c1)=a+h，f(c2)=a++2h，…，f(cn-1)=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得

f(c1)-f(a)=f'(ξ1)(c1-a)，ξ1∈(a，c1)，

f(c2)-f(c1)=f'(ξ2)(c2-c1)，ξ2∈(c1，c2)，…

f(b)-f(cn-1)=f'(ξn)(b-cn-1)，ξn∈(cn-1，b)，

从而有

21.

设函数y=f(x)二阶可导，f'(x)≠0，且与x=φ(y)互为反函数，求φ"(y).正确答案：[解]因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以

于是

22.

设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且证明：f'(x0)=M.正确答案：[证明]由微分中值定理得f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)，其中ξ介于x0与x之间，则，由得即f'(x0)=M．

23.

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0.证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=正确答案：[证明]令φ(x)=(x-1)2f'(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f'(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ'(ξ)=0，而φ'(x)=2(x-1)f'(x)+(x-1)2f"(x)，所以2(ξ-1)f'(ξ)+(ξ-1)2f"(ξ)=0，整理得

24.

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得正确答案：[证明]因为f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，f(1)=1，且所以由

端点介值定理，存在c∈(0，1)，使得

由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得

整理得

两式相加得

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且证明：25.

存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；正确答案：[证明]令则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F'(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得

26.

存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；正确答案：[证明]令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，

而h'(x)=ex[f'(x)+f(x)]且ex≠0，所以f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．

27.

存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；正确答案：[证明]令φ(x)=e-x[f'(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f"(ξ)=f(ξ)．

28.

存在η∈(a，b)，使得f"(η)-3f'(η)+2f(η)=0.正确答案：[证明]令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，

由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g'(η1)=g'(η2)=0，

而g'(x)=e-x[f'(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f'(η1)-f(η1)=0，f'(η2)-f(η2)=0.

令φ(x)=e-2x[f'(x)-f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，

由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ'(η)=0，

而φ'(x)=e-2x[f"(x)-3f'(x)+2f(x)]且e-2x≠0，

所以f"(η)-3f'(η)+2f(η)=0.

29.

设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，a2]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0.证明：存在ξ∈(a1，an)，使得

正确答案：[证明]当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立；

设c为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2＜…＜an．

令

构造辅助函数φ(x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)…(x-an)，显然φ(x)在[a1，a2]上n阶可导，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，

由罗尔定理，存在使得在(a1，a2)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ(n-1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，

再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)