2012年北京高考数学试题与答案(理科)

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数学理北京卷本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一局部选择题共40分、选择题共8小题,每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求1集合A xR3x 20, B x R (x 1)(x 3)0，贝y AC B2A,1)BC23,3)D(3,)设不等式组 002,表示的平面区域为2D .在区域D内随机取一个点,那么此点到坐C-6bi是纯虚数的D标原点的距离大于 2的概率是2A 一 B242设a , b R . “ a 0 是复数aA充分而不必要条件

2、B必要而不充分条件5C充分必要条件D既不充分也不必要条件执行如下列图的程序框图，输出的S值为AD如图,16ACB 90 , CDAB于点D，以BD为直径的圆与交BC于点E 那么O 123456789 10 11 nACE CB AD DBBCE CBAD ABCAD ABCD2DCE EBCD26从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数 的个数为A24 B18 c12D67某三棱锥的三视图如下列图，该三棱锥的外表积是A28 6、. 5B30 6、, 5C56 12 .5D60 12.58某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如下列图.从目前记录的结果看

3、，前m年的年平均产量最高，m的值为A5B7C9D11:、填空题共6小题，每题5分，共30分.x 2 tx 3cos9丨直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为 .y1 ty 3si n110aj为等差数列，Sn为其前n项和.假设ai, S2 a3，那么a?.2111在 ABC 中，假设 a 2, b c 7 , cosB ，那么 b.412在直角坐标系xoy中，直线l过抛物线y2 4x的焦点F，且与该抛物线相交于 A、B 两点，其中，A点在x轴上方.假设直线I的倾斜角为60，贝U OAF的面积为13丨正方形 ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，贝U DE CB的值为14f(x) m(

4、x 2m)(x m 3), g(x) 2x 2 .假设同时满足条件： x R , f(x) 0 或 g(x) 0; x (, 4) , f(x)g(x) 0.那么m的取值范围是.三、解答题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.15本小题共13分函数 f(x)(sinx cosX)sin2x .sin x1求f (x)的定义域及最小正周期；n求f (x)的单调递增区间.16本小题共14分如图 1，在 Rt ABC 中，C 90 , BC 3, AC 6 , D、E 分别为 AC、AB上的点，且DE/BC, DE 2，将 ADE沿DE折起到 ADE的位置，使A1C CD，如图

5、2 .I求证：AC 平面BCDE ;n假设M是AiD的中点，求CM与平面ABE所成角的大小；川线段BC上是否存在点P，使平面A,DP与平面 ABE垂直？说明理由.17本小题共13分近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计 1000吨生活垃圾，数据统计如下单位：吨：“厨余垃圾箱“可回收物箱“其他垃圾箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060I试估计厨余垃圾投放正确的概率;n试估计生活垃圾投放错误的概率;可回收物箱、“其他垃圾箱的

6、投放量分别为川假设厨余垃圾在“厨余垃圾箱、a,b,c，其中a 0 , a b c 600.当数据a, b, c的方差s2最大时，写出a, b, c的值结论不要求证明，并求此时s2的值.注：s22Xix2X2x2Xnx2，其中 x 为数据Xi,X2, X.的平均数n18本小题共13分x3 bx .2函数 f (x) ax 1 (a 0) , g(x)I假设曲线 y f(x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求 a, b的值；n当 a24b 时，求函数 f (x) g(x) 的单调区间，并求其在区间-1 上的最大值19 本小题共 14 分曲线 C：(5 m)x2 (m 2)y

7、28(m R)I假设曲线 C是焦点在x轴点上的椭圆，求 m的取值范围；n设m 4 ,曲线C与y轴的交点为 A、B点A位于点B的上方，直线y kx 4与曲线C交于不同的两点 M、N，直线y 1与直线BM交于点G .求证： A,G,N 三点共线20 本小题共13 分设 A 是由 mn个实数组成的 m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零记S(m, n)为所有这样的数表构成的集合.对于A S(m, n)，记ri(A)为A的第i行各数之和(1 i m) , q(A)为A的第j列 各数之和(1 w j w n).记 k(A)为 |r!(A)|, |2(A)|, -, |rm(A)|

8、, |g(A)| , G(A)|,，G(A)| 中的最小值.I对如下数表 A，求k(A)的值;n设数表求k(A)的最大值;川给定正整数t，对于所有的 A S(2, 2t 1)，求k(A)的最大值.2021高考北京数学真题答案及简析、选择题题号12345678答案DDBCABBC、填空题三、解答题15.解：f(x) (sin xcos x)sin 2x(sin x cos x)2sin xcosx2(sin x cos x)cos xsinxsinxsin2x1 cos2xn2sin 2x1, x| x kn, k Z41原函数的定义域为题号9102 nn 1；4111213答案2431；114

9、4 ， 2x|x kn, k Z，最小正周期为 n.2原函数的单调递增区间为k n, kn kkn,3n8kn k Z16.解： 1 CD DE ， A1E DE DE 平面 A1CD ，又 A1C 平面 A1CD ，A1C DE又 A1C CD ，A1C 平面 BCDE3设线段BC上存在点P，设P点坐标为0，a，0 ，那么 a0，32如 图建系 C xyz ， 那么 D 2，0，0A1 (0,0,2 3)A0 0 2 3B 030 E220 A1B0 323, A1E210M设平面 A1BE 法向量为nxyzE (-2,2,0)3D (-2,0,0)A1B那么1n 0 3y2 3z0 z2y

10、C(0,0,0)yB (0,3,0)A1En02xy0xyx2n1 23又T M103CM103CMn1342 cos|CM |n|143132 2 22 CM与平面ABE所成角的大小45那么 A1P 0 ， a ， 2 3 ， DP 2 ， a ， 0设平面 A1DP 法向量为 n1x1 ，y1 ，z1那么 ay12x12 3z10ay1 0z1 6 ay11x112ay13a ，6， 3a假设平面 ADP与平面AiBE垂直那么 m n 0 , 3a 12 3a 0, 6a 12, a 2/ 0 a 3不存在线段BC上存在点P，使平面ADP与平面ABE垂直17.由题意可知:由题意可知:400

11、 = 2600 = 3200+60+40 = 31000 =1013 (a2 b2 c2120000)，因此有当600 ,c 0时，有解：由1, c为公共切点可得：f(x)ax21(a0)，那么 f (x) 2ax , ki 2a,g(x)3 xbx,那么 f (x)=3x2 b, k23b ,2a3b又 f(1)a1 ,g(1) 1 b ,a 11b ,即a b，代入式可得：a 3b 3T a24b3设 h(x) f(x) g(x) x2 1 ax4由题意可知:x那么 h(x) 3x20 ,解得:2ax22 s2 as280000 .18.1 a2，令 h(x)4a6，X2原函数在,a单调递

12、增，在2单调递减,上单调递增a，即aw 2时，最大值为h(1)2假设假设a6，即2 3 6时，最大值为h 21a时，即狂6时，最大值为综上所述:时，最大值为h(1)19. 1原曲线方程可化简得:2x85 m42y82时，最大值为h 21 .由题意可得:2由直线代入椭圆方程化简得:(2k21)x2 16kx 240 ,=32(2k23)，解得：k23由韦达定理得：Xm Xn16，Xm Xn了 ，2k 12k 1设 N(Xn , kxN 4) , M (xm , kxM 4) , G(Xg , 1)MB 方程为：y kXM 6x 2，那么 G 3Xm , 1 ,XmkXM 6aG3X，1 , AN

13、Xn , XNk 2 ,Xm k 6欲证A, G , N三点共线，只需证AG , AN共线即_ (Xn k 2) Xn 成立，化简得：(3k k)xMXN6(Xm Xn )Xm k 6将代入易知等式成立，那么A， G， N三点共线得证。20.解：1.81由题意可知 r, A 1.2 , r, A 1.2 , c A 1.1 , c2 A 0.7 , q A k A 0.72先用反证法证明 k A 1 :假设k A 1那么 |q A | | a 1| a 1 1 , a 0同理可知b 0, a b 0 由题目所有数和为0即 a b c1 c 1 a b1与题目条件矛盾 k A 1 .易知当a b

14、 0时，k A 1存在k A的最大值为12t 1t 2首先构造满足k(A)2t1础的t 2A a,j(i1,2, ja1,1a1,2a1,t1,a1,t 1a1,t 2.ai,2t 1k A的最大值为1,2,.12t 1):t 1t 2 t2 t 1a2,1a2,2.a2,t,a2,t 1a2,t 2t(t2)经计算知，A中每个元素的绝对值都小于a2,2t 11.1,所有元素之和为 0,且2t 1|n(A)| t(A)| t 2C(A)| C(A)| |q(A)| 1t2 t 1t(t 2)2t 1t 22t 1t 2|q 1(A)| |c 2(A)| |5 1(A)| 1下面证明2t 1是最大值假设不然，t 2那么存在一个数表AS(2,2t 1),使得k(A) x2t 1t 2由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2,故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间x,2中由于x 1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x 1.设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不