正弦定理经典教案

1、1正弦定理【学习目标】1.掌握正弦定理的内容及其证明方法 ; 会初步运用正弦定理解三角形 , 培养学生应用能力 . 2.学会运用正弦定理解三角形的方法,领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用 .3.引导学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值,并以更加饱满的激情投入到学习中 去 .【重点】 :正弦定理及其推导过程,正弦定理的简单应用 . 【难点】 :正弦定理的推导及应用 .一、知识温故 :1. 在 ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a,b,c ,若 A>B,则 b, 反之,若 a>b,则 B 。 2. 三角形内角和定理是:Rt ABC 中,若 a

2、,b 为直角边, c 为斜边,则 。 3. 三角形面积公式: . 教材助读1. 在 Rt ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a,b,c ,则 2. 正弦定理:_sin =Aa,观察正弦定理的结构,它有什么特点? 3. 正弦定理文字语言叙述为:4.一般地,把三角形的 和它们的 求 的过程叫做解三角形。5.应用正弦定理解三角形可分为两类: (1已知三角形的 与一边,求其他的边和角;(2已知三角形的 与其中一边的对角,求其他的边和角。【预习自测】1. 正弦定理适用的范围是( A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 2. 在 ABC 中一定成立的等式是

3、(A . asinA=bsinB B. acosA=bcosB C. asinB=bsinA D. acosB=bcosA 3. 在 ABC 中, . _, 30, 10, 105=b C c A 则 4. 在 ABC 中, . _, 30, 8, 4=B A b a 则二、经典范例:探究一:利用构造三角形外接圆,证明正弦定理;正弦定理中的比值实际上是一个什么样的数?探究二:正弦定理有哪几种变式 ? 探究三:证明 C ab S ABC sin 21=,除此之外,你还有其他的结果吗?【归纳总结】1. 正弦定理适用于 .2. 可以证明 (R 为 ABC 的外接圆半径 .3. 正弦定理的三个等式:个

4、量 , 如果知道其中 个可以求出 (知三求一 .4. 正弦定理可解决两类问题: (1 ;(2 。【例 1】在 ABC 中, B=45°, C=75°, b=2,求 a , c , A .【规律方法总结】1. 已知三角形的任意两个角及一边,先利用 求出其余边长 .2. 正弦定理有三个等式: 应选择恰当的等式解“已知两角及一 边”的解三角形问题 .【例 2】 已知 ABC 中, a= , b=6, A=30°,试求此三角形的另一边及其他两角 .【拓展提升】 在 ABC 中, , B=60°, c =1,求 a 和 A , C【规律方法总结】1. 已知三角形中

5、两边和其中一边的对角解三角形时,首先应用 求出 确定 ,需对 加以讨论,看是 ,如果 ,是 还是 ,常用 “ ”或“ ”来作出判断 . 2. 对于解三角形中的复杂运算可使用 . 我的知识网络图3三、过关测试一、基础巩固 -把简单的事做好就叫不简单! 2. 已知 a , b , c 分别是 ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边, 若 a=1, , A+C=2B, 则 sinA=( 4. a 、 b 、 c 分别是 ABC 内角 A , B , C 的对边, 若 ABC 的周长为 , 且 , 二、综合应用 -挑战高手,我能行! 7.在 ABC 中,若 , C=150°, BC

6、=1,则 AB=( 8. 已知 a , b , c 为 ABC 的三个内角 A , B , C 的对边, 向量 , , 1(-=, 若 , 9.在 ABC 中, , , b=1,则三角形 ABC 的面积是( 三、 拓展探究题 -战胜自我,成就自我! 10.在 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a 、 b 、 c , , cosA=, b=.( 求 sin (A+B的值; ( 求 ABC 的面积.四、课后练习4(, sin 5sin 4sin 3. 1是 则 中 在 ABC CB A ABC =A .直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断2. (cos ,

7、 60, 10, 15, 等于 则 中 在 B A b a ABC =322.36.322.36.-D C B A _75, 26, , , , . 3=+=b , A c a c , b a C B A , ABC 则 且 若 的对边分别为 角 中 已知在_34560.4=AC , ,BC ABC , BAC , ABC 则 已知 中 在_, sin 2. 5=C B c b , ABC 则 若 中 在6.已知锐角三角形 ABC 中, |=4, |=1,三角形的面积为,则 的值为( _, 2cos sin , , 2, , , , , . 7的大小为 则角 若 所对的边分别是 角 中 在 C

8、 A A c a c b a C B A , ABC =+=(cos 2, 58, , , , . 8=C B , C c b c , b a C B A , ABC 则 已知 所对的边分别是 角 中 在2524.257. 257. 257. D C B A ±-10.在 ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 , .( 求 cosA , sinB 的值; ( 若 ,求 a , b 的值.部分答案:。 ABC C B A C B A , ABC 的形状 试判断 若 中 在 +=, sin sin sin , cos sin 2sin . 9222

9、5探索一:步骤 1.在锐角 ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c。作 CH AB 垂足为点 H CH=a·sinB CH=b·sinA a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB同理,在 ABC 中, b/sinB=c/sinC步骤 2.证明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:如图,任意三角形 ABC, 作 ABC 的外接圆 O. 作直径 BD 交 O 于 D. 连接 DA.因为直径所对的圆周角是直角 , 所以 DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等 , 所以 D 等于 C. 所以 c/sinC=c/sinD=BD(直径 =2R探索二: 变形 1、sin sin sin , , sin sin sin a A c C b B b B a A c C=或 :sin :sin :sin a b c A B C =; 变形 2、 2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C =(其中 R 为三角形外接圆的半径 .探索三:在 ABC 中 A 、 B 、