燕尾定理教师版

1、燕尾定理:在三角形ABC 中,AD ,BE ,CF 相交于同一点O ,那么:ABO ACO S S BD DC =.OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理:如右图,D 是BC 上任意一点,请你说明:1423:S S S S BD DC =S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高,分别以BD 、

2、DC 为底,所以有14:S S BD DC =;三角形ABE 与三角形EBD 同高,12:S S ED EA =;三角形ACE 与三角形CED 同高,43:S S ED EA =,所以1423:S S S S =;综上可得1423:S S S S BD DC =.【例 1】 (2009年第七届希望杯五年级一试试题如图,三角形ABC 的面积是1,E 是AC 的中点,点D 在BC 上,且:1:2BD DC =,AD 与BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于 .FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一:连接CF ,根据燕尾定理,12ABF ACF S BD S

3、DC =,1ABF CBF S AES EC=, 例题精讲燕尾定理设1BDF S =份,则2DCF S =份,3ABF S =份,3AEF EFC S S =份,如图所标所以551212DCEF ABC S S =方法二:连接DE ,由题目条件可得到1133ABD ABC S S =,11212233ADE ADC ABC S S S =,所以11ABD ADE S BF FE S =, 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =,而211323CDE ABC S S =.所以则四边形DFEC 的面积等于512.【巩固】如图,已知BD DC =,2EC A

4、E =,三角形ABC 的面积是30,求阴影部分面积. 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它进行改造,那么我们需要连一条辅助线,(法一连接CF ,因为BD DC =,2EC AE =,三角形ABC 的面积是30,所以1103ABE ABC S S =,1152ABD ABC S S =.根据燕尾定理,12ABF CBF S AE S EC =,1ABF ACF S BDS CD=,所以17.54ABF ABC S S =,157.57.5BFD S

5、=-=, 所以阴影部分面积是30107.512.5-=.(法二连接DE ,由题目条件可得到1103ABE ABC S S =,11210223BDE BEC ABC S S S =,所以11ABE BDE S AF FD S =,1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =,而211032CDE ABC S S =.所以阴影部分的面积为12.5.【巩固】如图,三角形ABC 的面积是2200cm ,E 在AC 上,点D 在BC 上,且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =,AD 与BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于 .FED CBAABC

6、DEF FEDCBA【解析】 连接CF ,根据燕尾定理,2639ABF ACF S BD S DC =,36510ABF CBF S AE S EC =, 设6ABF S =份,则9ACF S =份,10BCF S =份,5459358EFC S =+份,310623CDF S =+份,所以24545200(6910(68(693(cm 88DCFE S =÷+=+=【巩固】如图,已知3BD DC =,2EC AE =,BE 与CD 相交于点O ,则ABC 被分成的4部分面积各占ABC 面积的几分之几?OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【解析】 连接CO ,

7、设1AEO S =份,则其他部分的面积如图所示,所以1291830ABC S =+=份,所以四部分按从小到大各占ABC 面积的12 4.5139313.59,30306030103020+=【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛如图所示,在ABC 中,12CP CB =,13CQ CA =,BQ 与AP 相交于点X ,若ABC 的面积为6,则ABX 的面积等于 .XQPABC XQPAB C4411XQPCBA【解析】 方法一:连接PQ .由于12CP CB =,13CQ CA =,所以23ABQ ABC SS =,1126BPQ BCQABCS S S =.由蝴蝶定理知,21:4:136AB

8、Q BPQ ABC ABC AX XP S S S S =,所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S =.方法二:连接CX 设1CPX S =份,根据燕尾定理标出其他部分面积, 所以6(11444 2.4ABX S =÷+=【巩固】如图,三角形ABC 的面积是1,2BD DC =,2CE AE =,AD 与BE 相交于点F ,请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【解析】 连接CF ,设1AEFS =份,则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示,所以121AEF S =,62217ABF S =,821BDF S

9、=,242217FDCE S +=【巩固】如图,E 在AC 上,D 在BC 上,且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =,AD 与BE 交于点F .四边形DFEC的面积等于222cm ,则三角形ABC 的面积 .A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【解析】 连接CF ,根据燕尾定理,12ABF ACF S BD S DC =,23ABF CBF S AE S EC =, 设1BDF S =份,则2DCF S =份,2ABF S =份,4AFC S =份,24 1.623AEF S =+ 份,34 2.423EFC S =+份,如图所标,所以2 2.4

10、4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =+=份 所以222 4.4945(cm ABCS =÷=【巩固】三角形ABC 中,C 是直角,已知2AC =,2CD =,3CB =,AM BM =,那么三角形AMN (阴影部分的面积为多少? 【解析】 连接BN .ABC 的面积为3223÷=根据燕尾定理,:2:1ACN ABN CD BD =; 同理:1:1CBN CAN BM AM =设AMN 面积为1份,则MNB 的面积也是1份,所以ANB 的面积是112+=份,而ACN 的面积就是224=份,CBN 也是4份,这样ABC 的面积为441110+=份,所以AMN 的

11、面积为31010.3÷=.【巩固】如图,长方形ABCD 的面积是2平方厘米,2EC DE =,F 是DG 的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米? y B CD EGE D CBAEDB A【解析】 设1DEF S =份,则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S =阴影平方厘米.【例 2】 如图所示,在四边形ABCD 中,3AB BE =,3AD AF =,四边形AEOF 的面积是12,那么平行四边形BODC 的面积为_.OFE DBA684621O F E DB A【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理:1:2ABO BDO S S AF FD =,:2:1AOD

12、 BOD S S AE BE =,设1BEO S =,则其他图形面积,如图所标,所以221224BODC AEOF S S =.【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形,E 、F 分别是AB 、BC 边的中点,AF 与CE 交于G ,则四边形AGCD 的面积是_平方厘米.GFE DCBAGFE D CBA【解析】 连接AC 、GB ,设1AGCS =份,根据燕尾定理得1AGB S =份,1BGC S =份,则11126S =+=正方形(份,314ADCG S =+=份,所以22126496(cm ADCG S =÷=【例 4】 如图,正方形ABCD 的面积是120平方厘米,E

13、是AB 的中点,F 是BC 的中点,四边形BGHF 的面积是_平方厘米. ED ED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =份,根据燕尾定理2CHD S =份,2BHD S =份,因此122210S =+=正方形(份,127236BFHG S =+=,所以712010146BFHG S =÷=(平方厘米.【例 5】 如图所示,在ABC 中,:3:1BE EC =,D 是AE 的中点,那么:AF FC = .FE D C B AFE DCB A【解析】 连接CD .由于:1:1ABD BED S S =,:3:4BED BCD S S =,所以:3

14、:4ABD BCD S S =,根据燕尾定理,:3:4ABD BCD AF FC S S =.【巩固】在ABC 中,:3:2BD DC =, :3:1AE EC =,求:OB OE =?A BCDE OABCDE O【解析】 连接OC .因为:3:2BD DC =,根据燕尾定理,:3:2AOB AOC S S BD BC =,即32AOB AOC S S =;又:3:1AE EC =,所以43AOC AOE S S =.则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S =,所以:2:1AOB AOE OB OE S S =.【巩固】在ABC 中,:2:1BD DC =, :1:3

15、AE EC =,求:OB OE =?A B CDE O【解析】 题目求的是边的比值,一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值,也可以通过三角形的面积比来做桥梁,但题目没告诉我们边的长度,所以应该通过面积比而得到边长的比.本题的图形一看就联想到燕尾定理,但两个燕尾似乎少了一个,因此应该补全,所以第一步要连接OC . 连接OC .A B CDE O因为:2:1BD DC =,根据燕尾定理,:2:1AOB AOC S S BD BC =,即2AOB AOC S S =; 又:1:3AE EC =,所以4AOC AOE S S =.则2248AOB AOC AOE AOE S S S S =, 所以

16、:8:1AOB AOE OB OE S S =.【例 6】 (2009年清华附中入学测试题如图,四边形ABCD 是矩形,E 、F 分别是AB 、BC 上的点,且13AE AB =,14CF BC =,AF 与CE 相交于G ,若矩形ABCD 的面积为120,则AEG 与CGF 的面积之和为 . BEH BEBE【解析】 (法1如图,过F 做CE 的平行线交AB 于H ,则:1:3EH HB CF FB =,所以122AE EB EH =,:2AG GF AE EH =,即2AG GF =,所以122311033942AEG ABF ABCD S S S =.且22313342EG HF EC

17、EC =,故CG GE =,则1152CGF AEG S S =.所以两三角形面积之和为10515+=. (法2如上右图,连接AC 、BG .根据燕尾定理,:3:1ABG ACG S S BF CF =,:2:1BCG ACG S S BE AE =,而1602ABC ABCD S S =,所以3321ABG S =+,160302ABC S =,2321BCG S =+,160203ABC S =,则1103AEG ABG S S =,154CFG BCG S S =,所以两个三角形的面积之和为15.【例 7】 如右图,三角形ABC 中,:4:9BD DC =,:4:3CE EA =,求:A

18、F FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得:4:912:27AOB AOC S S BD CD =:3:412:16AOB BOC S S AE CE =(都有AOB 的面积要统一,所以找最小公倍数 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB =【点评】本题关键是把AOB 的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!【巩固】如右图,三角形ABC 中,:3:4BD DC =,:5:6AE CE =,求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得:3:415:20AOB AOC

19、 S S BD CD = :5:615:18AOB BOC S S AE CE =(都有AOB 的面积要统一,所以找最小公倍数 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB =【巩固】如图,:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S =,:5:310:6ABG BCG S S =,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF =【巩固】如右图,三角形ABC 中,:2:3BD DC =,:5:4EA CE =,求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定

20、理得:2:310:15AOB AOC S S BD CD =:5:410:8AOB BOC S S AE CE =(都有AOB 的面积要统一,所以找最小公倍数 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB =【点评】本题关键是把AOB 的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题如右图,三角形ABC 中,:3:2AF FB BD DC CE AE =,且三角形ABC 的面积是1,则三角形ABE 的面积为_,三角形AGE 的面积为_,三角形GHI 的面积为

21、_.I HGFEDC BAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG .由于:3:2CE AE =,所以25AE AC =,故2255ABE ABC S S =; 根据燕尾定理,:2:3ACG ABG S S CD BD =,:3:2BCG ABG S S CE EA =,所以:4:6:9ACG ABG BCG S S S =,则419ACG S =,919BCG S =;那么2248551995AGE AGC S S =;同样分析可得919ACH S =,则:4:9ACG ACH EG EH S S =,:4:19ACG ACB EG EB S S =,所以:4:5:10EG

22、GH HB =,同样分析可得:10:5:4AG GI ID =,所以5521101055BIE BAE S S =,55111919519GHI BIE S S =.【巩固】 如右图,三角形ABC 中,:3:2AF FB BD DC CE AE =,且三角形GHI 的面积是1,求三角形ABC 的面积.IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ,AGC S =6份根据燕尾定理,:3:26:4AGC BGC S S AF FB =,:3:29:6ABG AGC S S BD DC =得4BGC S =(份,9ABG S =(份,则19ABC S =(份,因此619AGC A

23、BC S S =,同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =,619BIC ABC S S =,所以1966611919GHI ABC S S -=三角形GHI 的面积是1,所以三角形ABC 的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级如图,ABC 中2BD DA =,2CE EB =,2AF FC =,那么ABC 的面积是阴影三角形面积的 倍. B CB【分析】 如图,连接AI .根据燕尾定理,:2:1BCI ACI S S BD AD =,:1:2BCI ABI S S CF AF =,所以,:1:2:4ACI BCI ABI S S S =,那么,

24、221247BCI ABC ABC S S S =+.同理可知ACG 和ABH 的面积也都等于ABC 面积的27,所以阴影三角形的面积等于ABC 面积的211377-=,所以ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍.【巩固】如图在ABC 中,12DC EA FB DB EC FA =,求GHI ABC 的面积的面积的值. IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S =1份,根据燕尾定理:2:1AGC BGC S S AF FB =,:2:1ABG AGC S S BD DC =,得2AGC S =(份,4ABG S =(份,则7ABC S =(份,因此27AGC

25、ABC S S =,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =,27BIC ABC S S =, 所以7222177GHI ABC S S -=【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形,虽然形状千变万化,但面积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在ABC 中,13DC EA FB DB EC FA =,求GHI ABC 的面积的面积的值. IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S =1份,根据燕尾定理:3:1AGC BGC S S AF

26、 FB =,:3:1ABG AGC S S BD DC =,得3AGC S =(份,9ABG S =(份,则13ABC S =(份,因此313AGC ABC S S =,同理连接AI 、CH 得13ABH ABC S S =,313BIC ABC S S =, 所以1333341313GHI ABC S S -=【巩固】如右图,三角形ABC 中,:4:3AF FB BD DC CE AE =,且三角形ABC 的面积是74,求角形GHI的面积.IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ,AGC S =12份根据燕尾定理,:4:312:9AGC BGC S S AF FB =

27、,:4:316:12ABG AGC S S BD DC =得9BGC S =(份,16ABG S =(份,则9121637ABC S =+=(份,因此1237AGC ABC S S =,同理连接AI 、CH 得1237ABH ABC S S =,1237BIC ABC S S =,所以3712121213737GHI ABC S S -=三角形ABC 的面积是74,所以三角形GHI 的面积是174237=【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,如图所示, 三个三角形的面积 分别是3,7,7,则阴影四边形的面积是多少? 【解析】方法一:遇到没有标注字母的图形,我们第一步要做的就是

28、给图形各点标注字母,方便后面的计算.再看这道题,出现两个面积相等且共底的三角形.设三角形为ABC,BE和CD交于F,则BF FE=,再连结DE.所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x,则(:33:10:10x AD DB x+=+,所以15x=,四边形的面积为18.方法二:设ADFS x=,根据燕尾定理:ABF BFC AFE EFCS S S S=,得到3AEFS x=+,再根据向右下飞的燕子,有(37:7:3x x+=,解得7.5x=四边形的面积为7.57.5318+=【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形,其中4个的面积已经标在图中,那么,阴影三角形的面积是. 【解析】方

29、法一:整个题目读完,我们没有发现任何与边长相关的条件,也没有任何与高或者垂直有关系的字眼,由此,我们可以推断,这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系:(2:13:4S=+阴影,解得2S=阴影.方法二:回顾下燕尾定理,有2:41:3S+=阴影(,解得2S=阴影.【例 10】如图,三角形ABC被分成6个三角形,已知其中4个三角形的面积,问三角形ABC的面积是多少?35304084OFED CBA【解析】设BOFS x=,由题意知:4:3BD DC=根据燕尾定理,得:4:3ABO ACO BDO CDOS S S S=,所以33(846344ACOS x x=+=+,

30、再根据:ABO BCO AOE COES S S S=,列方程3(84:(4030(6335:354x x+=+-解得56x=:35(5684:(4030AOES=+,所以70AOES=所以三角形ABC的面积是844030355670315+=【例 11】三角形ABC的面积为15平方厘米,D为AB中点,E为AC中点,F为BC中点,求阴影部分的面积. F CB A F CBA【解析】 令BE 与CD 的交点为M ,CD 与EF 的交点为N ,连接AM ,BN .在ABC 中,根据燕尾定理,:1:1ABM BCM S S AE CE =,:1:1ACM BCM S S AD BD =,所以13AB

31、M ACM BCN ABC S S S S =由于1122AEM AMC ABM S S S =S ,所以:2:1BM ME =在EBC 中,根据燕尾定理,:1:1BEN CEN S S BF CF =:1:2CEN CBN S S ME MB =设1CEN S =(份,则1BEN S =(份,2BCN S =(份,4BCE S =(份,所以1124BCN BCE ABC S S S =,1148BNE BCE ABC S S S =,因为:2:1BM ME =,F 为BC 中点,所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S =,11112248BFN BNC ABC

32、S S S =,所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S =+= 阴影(平方厘米【例 12】 如右图,ABC 中,G 是AC 的中点,D 、E 、F 是BC 边上的四等分点,AD 与BG 交于M ,AF 与BG 交于N ,已知ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米,则ABC 的面积是多少平方厘米?N M GA BCD EFNMGA BCD EF【解析】 连接CM 、CN .根据燕尾定理,:1:1ABM CBM S S AG GC =,:1:3ABM ACM S S BD CD =,所以15ABM ABC S S =;再根据燕尾定理,:1:1ABN C

33、BN S S AG GC =,所以:4:3ABN FBN CBN FBN S S S S =,所以:4:3AN NF =,那么1422437ANG AFC S S =+,所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S =-= .根据题意,有157.2528ABCABC S S -=,可得336ABC S =(平方厘米【巩固】(2007年四中分班考试题如图,ABC 中,点D 是边AC 的中点,点E 、F 是边BC 的三等分点,若ABC 的面积为1,那么四边形CDMF 的面积是_.F ABCDEM NFABCDE MN【解析】 由于点D 是边AC 的中点,点E 、F 是边

34、BC 的三等分点,如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比,那么所分成的六小块的面积都可以求出来,其中当然也包括四边形CDMF 的面积. 连接CM 、CN .根据燕尾定理,:2:1ABM ACM S S BF CF =,而2ACM ADM S S =,所以24ABM ACM ADM S S S =,那么4BM DM =,即45BM BD =.那么421453215BMF BCD BM BF S S BD BC =,14721530CDMF S =-=四边形. 另解:得出24ABM ACM ADM S S S =后,可得111155210ADM ABD S S =,则11731030ACF AD

35、M CDMF S S S =-=-=四边形.【例 13】 如图,三角形ABC 的面积是1,BD DE EC =,CF FG GA =,三角形ABC 被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ,BG 与AE 交于点Q ,BF 与AD 交于点M ,BF 与AE 交于点N .连接CP ,CQ ,CM ,CN .根据燕尾定理,:1:2ABP CBP S S AG GC =,:1:2ABP ACP S S BD CD =,设1ABP S =(份,则1225ABC S =+=(份,所以15ABP S =同理可得,27ABQ

36、S =,12ABN S =,而13ABG S =,所以2137535APQ S =-=,1213721AQG S =-=.同理,335BPM S =121BDM S =,所以1239273570PQMN S =-=四边形,139*MNED S =-=四边形,1151321426NFCE S =-=四边形,1115321642GFNQ S =-=四边形【巩固】如图,ABC 的面积为1,点D 、E 是BC 边的三等分点,点F 、G 是AC 边的三等分点,那么四边形JKIH 的面积是多少?K JI HABC D EF GKJI HA BCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ .根据燕尾定理,

37、:1:2ACK ABK S S CD BD =,:1:2ABK CBK S S AG CG =,所以:1:2:4ACK ABK CBK S S S =,那么111247ACK S =+,11321AGK ACK S S =.类似分析可得215AGI S =.又:2:1ABJ CBJ S S AF CF =,:2:1ABJ ACJ S S BD CD =,可得14ACJ S =. 那么,111742184CGKJ S =-=. 根据对称性,可知四边形CEHJ 的面积也为1784,那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABES S S +=+=,

38、所以四边形JKIH 的面积为61917070-=.【例 14】 如右图,面积为1的ABC 中,:1:2:1BD DE EC =,:1:2:1CF FG GA =,:1:2:1AH HI IB =,求阴影部分面积. BB【解析】 设IG 交HF 于M ,IG 交HD 于N ,DF 交EI 于P .连接AM , IF .:3:4AI AB =,:3:4AF AC =,916AIF ABC S S =:2FIM AMF S S IH HA =,:2FIM AIM S S FG GA =,19464AIM AIF ABC S S S = :1:3AH AI = 364AHM ABC S S =,:1:

39、4AH AB = :3:4AF AC = 316AHF ABC S S = .同理 316CFD BDH ABC S S S = 716FDH ABC S S = 33:1:46416HM HF =, :3:4,:3:4AI AB AF AC =, IF BC ,又:3:4,:1:2IF BC DE BC =,:2:3,:2:3DE IF DP PF =,同理 :2:3HN ND =,:1:4HM HF =,:2:5HN HD =MN HDF ABC S S S =. 同理 6个小阴影三角形的面积均为7160.阴影部分面积721616080=.【例 15】 如图,面积

40、为l 的三角形ABC 中,D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积. GCBAGCBA【解析】 三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI 与CD 的交点为M ,AF 与CD 的交点为N ,BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP求ADMI S 四边形:在ABC 中,根据燕尾定理,:1:2ABM CBM S S AI CI =:1:2ACM CBM S S AD BD =设1ABM S =(份,则2CBM S =(份,1ACM S =(份,4ABC S =(份,所以14ABM AC

41、M ABC S S S =,所以11312ADM ABM ABC S S S =,112AIM ABC S S =,所以111(12126ABC ABC ADMI S S S =+=四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC 面积的16求DNPQE S 五边形:在ABC 中,根据燕尾定理:1:2ABN ACN S S BF CF =:1:2ACN BCN S S AD BD =,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S =,同理121BEQ ABC S S =在ABC 中,根据燕尾定理:1:2ABP ACP S S BF CF =,:1:2ABP CBP

42、 S S AI CI =所以15ABP ABC S S =所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S =-=-= 五边形同理另外两个五边形面积是ABC 面积的11105所以11113133610570S =-=阴影【例 16】 如图,面积为l 的三角形ABC 中,D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积. GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ,连接CR在ABC 中根据燕尾定理,:.2:1ABR ACR S S BG CG =,:1:2ABR CBR S S AI CI =所以27ABR ABC S S =,同理27ACS ABC S S =,27CQB