理学高数习题解答

1、高等数学习题解答（第二章 导数与微分） 惠州学院 数学系参考答案习题2-11. 设，试按导数定义求.解：2. 设（，为常数），试按导数定义求.解：3. 用定义证明解：f(x) .即 (cosx)=-sinx.4. 求下列函数的导数：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）.解：5. 将一个物体铅直上抛，经过时间（单位：）后，物体上升高度为（单位：），试求：（1）物体在1到1+t这段时间内的平均速度；（2）物体在1s时的瞬时速度；（3）物体在到这段时间内的平均速度；（4）物体在时的瞬时速度.解：（1）物体在1到1+t这段时间内的平均速度为（m/s）（2）物体在1s时的瞬时速度为（m

2、/s）（3）物体在到这段时间内的平均速度为（m/s）（4）物体在时的瞬时速度为（m/s）6. 在抛物线上取横坐标为的两点，作过这两点的割线，问抛物线上哪一点的切线平行于这条割线，并写出这条切线的方程.解：割线的斜率， 令，得从而即曲线在点(2,4)的切线平行于该割线，其切线方程为：y-4=4(x-2),即 y-4x+4=0.7. 求曲线上点(，)处的切线方程和法线方程.解：切线的斜率：，则法线的斜率 从而所求切线方程为，法线方程为8. 求曲线的通过点(0,-4)的切线方程.解：，则过曲线上一点的切线方程为，将(0,-4)代入直线方程得，从而所求切线方程为。9. 证明：双曲线上任一点处的切线与两

3、坐标轴构成的三角形的面积都等于.证明：因为，在曲线上任取一点，则过该点的切线方程为。则该切线在x，y轴的截距分别为，于是切线与两坐标轴所围面积10.讨论下列函数在处的连续性与可导性：（1）；（2）；（3）解：（1），所以函数在处连续。 而，所以函数在点处不可导. （2），而，所以函数在处连续而，所以函数在点处可导. （3），而，所以函数在处连续而，所以函数在点处不可导.11. 设在处可导，求，的值。解：要使函数在处连续且可导，则应满足存在， ，又 ，要使存在，则，。12. 设 求，。解：13. 设所给函数可导，证明：(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.(2)周期函数的导数仍为周期

4、函数证明：(1)设，且可导，则由导数定义即结论可证。(2)略.14.设函数f(x)在x=0处可导，在什么情况下函数|f(x)|在x=0处也可导.解：当时，不妨设，则在的某一邻域中有，故，所以在处也可导；当时，由于，其中，分别在处计算左、右极限，得在处的左导数为，右导数为，所以在处也可导的充分必要条件。习题2-21. 推导余切函数与余割函数的导数公式解：（1）（2）。2. 证明：（1） （2）解：（1）；（2）同理可证。3. 求下列函数的导数:（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）解：（1） （2） （3）从而 （4） （5） （6）= （7） （8） （9）

5、（10）4. 求下列函数的导数（其中是常数）:（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）解：（1）(2)(3)(4)(5)(6)(7)（8） （9）5. 设函数可导，求下列函数的导数:（1） （2）（3），求 （4）（5） （6）解：（1） （2） （3）6. 讨论分段函数的可导性.解：时，。时，时，从而，函数在x=0处连续。，。从而f(x)在x=0处不可导。综合上述7. 求下列函数的导数： （1） （2）解：（1） （2）8. 求下列函数的导数（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解：（1） （2） （3），于是， （4） （5） （6） （7

6、） （8）习题231. 求下列函数的二阶导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.解：（1）， （2）， （3） （4）， （5）， （6），2. 求下列函数在指定点的二阶导数：（1），求；（2），求.解：（1） （2）3. 验证函数满足关系式.解：，于是将代入得，即函数满足关系式.4. ，求.解：因为，运用莱布尼茨公式得.5. 设，求.解：6.求下列函数的n阶导数：（1）； （2）；（3），求； （4）.解：（1） （2）， （3），则 （4）习题2-41.求下列隐函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）方程两边对x求导得： 解得： （2）方程两边对x求

7、导得：，解得： （3）方程两边对x求导得：，解得： （4）方程两边对x求导得：，解得： （5）方程两边对x求导得： 解得：2用对数求导法求下列函数的导函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1） 等号两边分别对x求导：（2）,等号两边分别对x求导：即（3）等号两边分别对x求导：，即（4），等号两边分别对x求导：，即（5），等号两边分别对x求导：，即3、求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）方程两边对x求导：，即， 于是，即， （2）方程两边对x求导：，即， 于是 （3）应用隐函数的求导方法，得解得：，对此式再对求导。 （4）应用隐函数的求

8、导方法，得，解得：，对此式再对求导4求下列参数方程的导数：（1）；（2）；解：（1），于是-2 （2）5、求由下列参数方程所确定的隐函数的二阶导数：（1）求 （2）求解：（1）， 由方程得，t=0时，y=,，=0 （2），6设（1）求；（2）证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数解：（1） （2）过曲线上一任点（x, y）的切线方程为，则该切线在两坐标轴的截距分别为：7证明：曲线上任一点的法线到原点的距离恒等于证明：，过曲线上一任点（x, y）的法线方程为，即，于是，该法线到原点的距离为：8溶液从深15cm，顶直径12cm的正圆锥形漏斗漏入一直径为10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满了

9、溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其液面下降的速率为。问这时圆柱形容器中液面上升的速率是多少？解：设在时刻t漏斗中溶液的深度为，液面半径为r，圆柱形容器中溶液的深度 为。由，得，依题意 ， 即， 从而， 又当时，得。 答：圆柱形容器中液面上升的速率为。习题 2-51单项选择题：（1）设可微，则=（ ）； A、； B、； C、； D、.（2）函数在点处可微，则当很小时，（ ）； A、； B、； C、； D、.（3）设为自变量，当，时，=（ ）； A、0.3； B、0； C、0.01； D、0.03.（4）=（ ）； A、； B、； C、； D、.（5）将半径为的球体加热，如果球半径增加，则

10、球体积的增量（ ）. A、； B、； C、； D、.解：（1）（C ）；（2）（D ）；（3）（A）；（4）（D）；（5）（B）；2已知，在时，计算当分别等于0.1，0.01时的和.解：=0.1，时=1.161，=1.1；= 0.01时，=0.110601，=0.11.3函数在点处有增量，对应的函数增量的线性主部等于0.8，求在点处的导数.解：依题意：4求下列函数的微分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； (8) ；（9）； （10）.解：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； (8) ；（9）； （10）5将适当的函数填入下列括号内，使等式成

11、立：（1）( )=； （2）( )=；（3）( )=； （4）( )=；（5）( )=； （6）( )= .解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）.6当很小时，证明：（1）； （2）.证明：略。7利用微分求近似值：（1）； （2）； （3）； 解：（1）；（2）；（3）8某工厂每周生产件产品所获得利润为万元，已知，当每周产量由100件增至102件时，试用微分求其利润增加的近似值.解： 由题知，求因为（万元）.即每周产量由100件增至102件可增加利润约16万元本章复习题A一.选择题1.设，则在点可导的充要条件为( )(A) 存在. (B) 存在.(C) 存在. (D) 存在2.设

12、，则使存在的最高阶数为( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.3.设函数，则在内 ( )(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点.4.函数不可导点的个数是( )(A)3 (B) 2 (C)1 . (D) 05.若函数有，则当时,该函数在处的微分是 ( )(A) (B) (C) . (D)6.在处存在左、右导数，则在点( )(A) 可导 ( B ) 连续. ( C ) 不可导. ( D ) 不连续.7.设,则(A)在处必可导且 (B)在处必连续,但未必可导.(C)在处必E有极限但未必连续. (D) 以上结论都不对.8.设可导，

13、且满足则曲线在处的切线斜率为：(A)2. (B). (C). (D) 参考答案1. 解法一：当时，关于( A )：由此可知若在点可导成立，反之若(A)成立成立，不能成立，如满足(A)但不存在关于(D)：若在点可导成立，反之(D)成立，不能在连续，因而不能在处可导，如满足(D)，但不存在再看( C )：(当它们都时)注意：易求得因此，若成立反之若( C )成立不能(即)，因为只要有界，仍有( C )成立如满足(C)但不存在因此只能选( B )解法二：直接考虑( B )因此 应选取( B ) 2. 解因为处处任意阶可导，只需考查，它是分段函数，是连接点又 即 同理可得 ，即；因在处不可导不存在.应

14、选 (C) 3. 解讨论函数的不可导点，应分两步走，(1)由求得的(分段)表达式，(2)讨论的不可导点.应选 ( C )当时，命取极限，得当时，命取极限，得于是再讨论的不可导点按导数定义，易知处，不可导，故选( C ) 4. 解当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的”尖点”.因为这时的函数是分段函数.,当时可导,因而只须对考察是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数。因即在处可导，又所以在处不可导.类似,函数在处亦不可导,因此只有2个不可导点,故应选 ( B ).（5）解：依题意： 故，选（A）（6）解：选（B）（7）解：选（D）（8）解：选（B）二. 填空题1.设函数处处可导，且有，

15、并对任何实数和，恒有，则_2.设在处可导，则.3.已知函数由方程确定，由 .4.曲线上与直线垂直的切线方程为5.设函数由方程所确定,则6.设,则.7.若，则参考答案：1解：令h=0得f(0)=0,2解：=3解： 方程两边对两次求导得以代入原方程得，以代入前方程得，再以代入后方程得 4解：依题意得，x=1, y=0,于是所求法线方程为：y=x+1. 5解：对x求导得：则 于是6解：，对x求导得：， 从而 7解：，则，三. 解答题试从导出：(1) ； (2) 证明 (1) ；(2) =.求下列函数所指定的阶的导数：(1) 求 ； (2) 求；(3) 求 解 (1)(2)(3) 3用对数求导法求下列

16、函数的导数：(1) 解：（1）等号两边取对数得：，再对x求导得：，整理得： （2）等号两边取对数得：，再对x求导得：，整理得：4设其中三阶可导且，求，.解：由参数方程求导法则，得，从而，5设，求复合函数的导数，并讨论的连续性解：解 当时，,故；当时，,故当时,故在处可导,且综上所述有 显然，因此，在处连续，进而易知在上连续本章复习题B一、单选题1. 函数在x=1处（）不连续连续但不可导可导，但导函数不连续导函数不连续2. 设函数由所确定，（）3. 设在内有定义，且，则必是的（）间断点连续而不可导点可导点，且可导点，且4. 函数在处（）左导数存在，右导数存在左导数存在，右导数不存在左导数不存在，

17、右导数不存在左导数不存在，右导数存在5. 曲线上点（1，0）处的切线与轴的交角为（）/2 /3/4 /66. 设周期为4的函数在内可导，则曲线在点处的切线的斜率为（）7. 设满足，且，其中为非零常数，则= （）8. 设其中在处可导，则（）（A）连续点； （B）第一类间断点；（C）第二类间断点；（D）连续点或间断点不能由此确定。9. 其中是有界函数，则在处（）（A）极限不存在；（B）极限存在但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导。10. 设，则（）（A）处处不可导； （B）处处可导；（C）有且仅有一个不可导点； （D）有且仅有两个不可导点。11. 设函数可导，当自变量x在处取得增量时，相应的函

18、数增量的线性主部为，则（） （A）； （B）； （C）； （D）。12. 设，则使存在的最高阶导数的阶数n为（）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。13. 函数在处（）。不连续，不可导不连续，可导连续，不可导连续，可导14. 设在点的某个邻域内有定义，则在点处可导的一个充要条件是（）存在。(A) (B)(C) (D) 15. 若f(x)的导函数在处连续，且，则（）。(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3参考答案：一、选择题 1、(B)； 2、(C)；3、(C)；4 (B)；5 (C)；6 (D)； 7(C); 8、(B) 9、（D）;10 、（C）;11、(D) ；12、(C); 13、（C）；14、（D）；15、