电磁感应现象中的杆+导轨模型专题教案

1、电磁感应现象中的杆+导轨模型专题解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有 接入电路时，电流为零。变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类

2、似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力.通过近年高考题的研究，此部分 每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有：1 .导轨(1)导轨的形状：常见导轨的形状为U形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等；(2)导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合；(3)导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻；(

3、4)导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等.例1 (2003 -上海22)如图1所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接有短电阻丝(图中粗线表法)，Ri= 4Q、R2=8Q (导轨其它部分电阻不计).导轨OAC的形状满足方程 y=2sin ( x)(单位：m).磁感强度 B=0.2T的匀强磁场方向垂直于导轨平面.一足够长的金属棒在水平外力F作用下，以恒定的速率 v=5.0m/s水平向右在导轨上从 。点滑动到 C点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计棒的电阻.求：(1)外力F的最大值；(2)金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率；(3)在滑动过程中通过金属

4、棒的电流I与时间t的关系.解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第(1)(2)问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度.解第(3)问时可根据条件推导出外力F的表达式及电流I与时间t的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可.(1)金属棒匀速运动 F#=F安，当安培力为最大值时，外力有最大值.又 E=BLvF 安=BIL=B2L2v即当L取最大值时，安培力有最大值.冗 一，、Lmax2 Sin =2 ( m)2_ = 8 (Q)R1R23Fmax2 2B Lmaxv%代入数据得Fmax=0.3 (N)(2) Ri、R2相并联，由电阻丝Ri上的功率

5、R =,可知当RL =Lmax时Pi有最大功率，即22 22_22_2EmaxB2LmaxV20.22 22 5.02Ri=1(W)(3)金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化L=2sin ( x)(m)且 x=vt, E=BLvE BLv 35 二= r = - sin (t)(A)2 .金属棒(1)金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力；(2)金属棒的初始状态：静止或运动；(3)金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动；(4)金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；(5)金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题.3 .磁

6、场(1)磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化.(2)磁场的分布：有界或无界.二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式二-(BS)人人e =n= n,有下列四个模型转换:t d1 . B变化，S不变(1) B均匀变化B随时间均匀变化如果B随时间均匀变化，则可以写出B关于时间t的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问.B随位置均匀变化B随位置均匀变化的解题方法类似于B随时间均匀变化的情形.（2） B非均匀变化B非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问.如果题目给出了 B非均匀变化的表达式，也可用后面给出

7、的求导法求解.例2 （2000 上海23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef,处在竖直向下的匀强磁场中,金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动.此时 abed构成一个边长为l的正方形，棒的电阻为 r,其余部分电阻不计.开始磁感强度为 B0.k,同时棒保持静止.求棒中的感应电流.在图（1）若从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为上标出感应电流的方向;（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t=t1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大?向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应（3）若t=0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B与t的关系式）？解

8、析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比, 弄?t k的物理意义，写出可与 vt =v0 +at相对照的B的表达式BoB =B0十kt ;第（3）问中B、S均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（回路闭合；回路中有磁通量的变化）解题.（i）磁感强度均匀增加，每秒增量为k,感应电动势E =二 lBS = kl2.感应电流I e kl2由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab上的电流方向为 b-a.(2) t=ti 时，B=B0+kti又, F=BIl_ kl3F )(B kti) r(3) .棒中不产生感应电流回路中总磁通量不变Bl (l+vt) =Bol2B0Il vt2. B不变，S

9、变化(1)金属棒运动导致S变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为E = BLv ,此类题型较常见，如例3.XV0例3 (2002 -上海22)如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l=0.2m,在导轨的一R端接有阻值为 R=0.5Q的电阻，在 x0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B=0.5T. 一质量为 m=0.1kg的金属直杆垂直放置在导轨上，并以V0=2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a=2m/s2、方向与初速度方向相反.设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好.

10、求：(1)电流为零时金属杆所处的位置；(2)电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小和方向；(3)保持其他条件不变，而初速度V0取不同值，求开始时 F的方向与初速度 V0取值的关系.解析：杆在水平外力 F和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a方向向左.杆的运动过程：向右匀减速运动-速度为零-向左匀加速运动；外力 F方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断.(1)感应电动势 E=Blv,感应电流I=E=Bv R RI=0 时 v=02Vox= =1 ( m)2aBlv0(2)当杆的速度取最大速度Vo时，杆上有最大电流口=一/.B2l 2Vn女培力 F 安=BI l= =0.0

11、2 (N)2R向右运动时 F+F安=ma,F=ma- F 安=0.18 (N),方向与x轴相反向左运动时 F- F安=ma,F=ma+F安=0.22 (N),方向与x轴相反(3)开始时 v=v0, F 安=BIm2.2B l Vo l=R2,2B l VoF+F 安=ma, F=ma- F 安=ma- R:当 v0VmaRBV=10m/s 时,F0,方向与x轴相反当VomaR ,=10m/s 时, B2l2F0,方向与x轴相同(2)导轨变形导致S变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.例4 ( 2001 上海22)如图4所示，半径为 a的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B = 0.2T,磁

12、场方向垂直纸面向里，半径为 b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a= 0.4m , b= 0.6m ,金属环上分别接有灯LL2,两灯的电阻均为Rq=2Q, 一金属棒 MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计(1)若棒以V0=5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO的瞬时(如图所示)，MN中的电动势和流过灯 Li的电流.(2)撤去中间的金属棒 MN将右面的半圆环OL2O,以00,为轴向上翻转90o,B4.,，一若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为=(T/s),求L1的功率. t 二解析：(1)当棒滑过圆环直径 00的瞬时，棒的有效长度为2a,灯Li、L2图4E1=

13、 B2av= 0.2X 0.8X 5 =0.8 (V),Ei0.8Ii = = - = 0.4 (A)R 2(2)将右面的半圆环 OL2。，以00为轴向上翻转900后，圆环的有效面积为半圆.其中B随时间是均匀变化的，注意此时灯 Li、L2是串联的.E2 也目t.-：t 2= 0.32(V)(E22)2R21.28X10 (W)*Q图5X _-F另外还可在 S不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等.3. “双杆+导轨”模型例5足够长的光滑金属导轨 E F, P Q水平放置，质量为 m电阻为R的相同金属棒ab, cd与导轨垂直且接触良好，磁感强度为 B的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所

14、示。现用恒力F作用于ab棒上，使它向右运动。则A.安培力对cd做正功使它向右加速运动B.外力F做的功等于克服 ab棒上安培力的功C.外力作的功等于回路产生的总热量和系统的动能D.回路电动势先增后减两棒共速时为零解析：开始时ab棒在外力F作用下向右切割磁感线产生电磁感应,ab棒相当于电源，由右手定则，b端电势较低，a端电势高，形成由 b-afd -b逆时转电流。电流通过 ab和cd棒，由左手定则,ab棒安培力向左，做负功，阻碍速度V1增加；cd棒安培力向右，做正功，使 cd棒动能增加速度 v2增大。外力除克服ab棒上安培力做功外，还要对cd棒做正功。故 A对B错。由于外力和安培力的作用，开始时a

15、b棒加速度大于cd棒，两者速度差增大，回路感应电动势E =Bl(v1 -v2)增大，感应电流增大，使 ab加速度减小，cd加速度增大，当两棒加速度相等时速度差最大，回路感应电动势最大。以后ab和cd棒在外力F作用下以相同加速度运动，速度差恒定不可能共速，电动势恒定不会等于零，故D错。根据能量守恒整个过程外力做的功等于回路产生的总热量和系统的动能,C项正确。所以正确选项为A、Co题后：电磁感应中的金属棒导轨问题，可以用力学中滑块A在滑板B上运动作为物理模型。滑板B与地B固定图6A.下滑过程电阻R消耗的最大功率为0nR;b2l2B.下滑过程电阻R消耗的最大功率为3m2g2Sin2iR;C.下滑过程

16、安培力做功3 22r9m g Sin 幻2B4L4R2;D,下滑过程安培力做功mgS Sin6 9m3g2Sin2r2B4L4R2。解析：ab棒下滑过程受重力，轨道支持力和安培力作用。加速度a=0时速度最大，感应电动势最大,电路中电流最大，电阻消耗热功率最大。B 2L2当 a=0,有 mgsin 0 =BIL=vm ,vm =3R3m g FS i nB2L2面光滑接触，摩擦力分别对A、B做负功和正功，使部分机械能转化为内能，相当于双金属棒情景。若于地面，则类似单金属棒。摩擦力做的总功等于系统内能增量，相当于安培力做功的 情景。例6如图6相距为L的两光滑平行导轨，平行放置在倾角为e的斜面上，导

17、轨的B中，磁场方向垂直于斜面向右端接有电阻 R (轨道电阻不计)，斜面处在一匀强磁场 上，质量为m,电阻为2R的金属棒ab放在导轨上，与导轨接触良好，由静止释放，下 滑距离S后速度最大,回路总功率电阻消耗功率BLmg sin1vm 二3R BL22 23m g sin PR - I22.2.2mg sm1R 二 _2. 2 R =二B L3所以A答案正确，B为回路总功率 B2I 2在下滑过程中，安培力F = BIL =Ev3R是变力，不能用功定义式W = FS2 2B L 3mgRsin 二3R B2L2S = mgS sin 二计算。也不等于系统动能W =Ek322.212 9m g R s

18、in f二一 mv 二22B2L2考虑到安培力做功等于系统（回路）产生总热量,12_mgh = mv + Q由能量守恒，重力势能转化为棒动能和系统内能12W安 f =Q =mgh - mv3mg Rin_ 2 2b2l2)2选项D正确。所以本题正确答案为A. D题后：犹如滑动摩擦力对系统做功，使系统内能增加一样，安培力做功也使系统内能增加。当电源内 阻不计时，系统热量就是外电路电阻上热量。否则外电阻热量只是总热量的一部分。B2L2（击、F =v正比于速度Rh心、其次，安培力与摩擦力又有区别。滑动摩擦力F =心Fn与压力成正比，通常表现为恒力。而安培力W安或Q,再依两者关系按题意求出答案。v,通

19、常为变力。因此，求安培力做的功，除非恒力，一般不能用功的定义式计算，这时用能量知识（如动能定理或能量守恒）可方便求出例7两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L,导轨上面横放着两根导体棒ab和cd,构成矩形回路。如图 7所示，两根导体棒的质量皆为m电阻皆为R,回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨面内都有竖直向上的匀强磁场，磁场强度为Bo设两导棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向cd的速度V如图。若两根导体棒在运动中始终不接触。求（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？（2）当棒ab的速度变为初速度的 3/4时，棒cd的加速度时多少?解析：开始ab

20、向cd靠近，穿过回路的磁通量在减少，回路发生电磁感应现象，电流方向由楞次定律可判断从a-b-d-c-a。于是电路中产生焦耳楞次热。同时感应电流产生的安培力对ab棒作负功使速度减小，对 cd棒做正功使其向右加速运动。随着 cd棒的运动，ab、cd相对运动速度减小，感应电流B 21 2Iv也减小，当两棒共速时，回路磁通量不变，感应电动势消失，电流消失，至此回路产生热量最R r多。按上述分析，取两棒为系统，其运动过程等效于力学中光滑水平面上滑板滑块模型。因两棒长度相等 安培力等值反向合力为零，系统动量守恒，机械能的减少量即为系统产生的总热量。其次只需求出 Vab=3vo/4时ab棒所受安培力即可由牛

21、顿定律求出加速度a。取ab棒vo为初态，共速v为末态，由动量守恒有mvo=2mv , v=vo/2 。再由能量守恒，求得整个过程产生热量八.L121212Q = E k = mv 0 2 mv = mv。 224取初态vo及ab速度v =3vo/4为末态，由动量守恒，可求 cd棒速度Mv o=3mvo/4 + mv回路感应电动势：回路电流：cd受安培力：v =vo/4E = Blv, E E B l(vI =R r 2R 4R_ 2 2L i B lF = BIl =v0,4R由牛顿定律得加速度:_ 2 2F B la =二v0m 4Rm三、预测如火如荼的新课程改革体现了培养高素质人才的基本框

22、架一一从“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三个方面设计课程目标、课程的内容、结构和实施机制.高考的命题趋势也必将体现新课改的精神.根据考纲要求掌握的知识，“杆+导轨”模型试题往往以选择题和计算题的题型出现，且多以计算题的面目出现，高考命题也不出乎以上所介绍的四个模型转换的角度，将多个命题变化点进行不同的组合，从而能命出角度多样的新题.而多个命题变化点的组合，凸现了对学生能力的考查.除考查学生的理 解、分析、推理、综合、计算等能力外，试题常常还可以借助函数图象，考 查学生的读图、画图能力，以计算题的题型加强对学生进行了这方面的考 查.例8 （2004 上海22）如图8所示，水平面上两根足够长的金属导轨平X XX XTxx行固定放置，间距为 L, 一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆，金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下，用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动.当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v和F的关系如右下图.(取重力加速度g=102、m/s )(1)金属杆在匀速运动之前做什么运动？(2)若 m=0.5 kg, L=0.5 m, R=0.5 Q,磁感应强度 B为多大？(3)由v-F图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？解析：(1)感应电动势 E = BLv感应电流产生的安培力F