用微分算子解常系数高阶线性非齐次微分方程

1、用微分算子解常系数高阶线性非齐次微分方程*邓亮章(福建信息职业技术学院,福州350003摘要:本文介绍用微分算子法,求常系数高阶线性非齐次微分方程的特解,微分算子法在众多的方法中,不失为一种好方法,简单易用、计算量小。关键词:通解;特解;微分算子中图分类号:O1文献标识码:A对于常系数高阶线性非齐次微分方程y n+a1y(n-1+,+a n-1y+a n y=f(x(1只要求出其对应的齐次方程的通解y(x加上自身的一个特解y*(x。相应的齐次方程的通解易求,关于方程的特解,文1-5介绍了各种方法,并且多次提到算子法。本文的目的是简单介绍微分算子法求特解,笔者以为在众多的方法中,微分算子法不失为

2、一种好方法,简单易用、计算量小。1.引入算子:设以记号D表示求导运算,定义D=ddx,D2=d2dx2,D n=d ndx n,于是有:y=dydx =Dy,y d=d2ydx2=D2y,y n=d n ydx n=D n y则(1式变为:(D n+a1D(n-1+a2D(n-2+,+a n-1D+a ny=f(x设以记号F(D表示算子多项式,定义F(D=D n+a1D(n-1+a2D(n-2+,+a n-1D+a n,于是有:F(Dy=f(x,也即有:y*=1F(Df(x。注意:D表示微分算子,1D表示积分。2.用微分算子求特解:性质:若F(x是n次多项式,F(x具有n阶导数,则有:(1F(

3、De K x S e K x F(K(2F(D2sin X x S sin X xF(-X2(3F(D2cos X x S cos X xF(-X2(4F(De K x P(xS e K x F(D+KP(x以下就以该性质及(1式中f(x取一些特殊类型的函数,对应的特解y*(x用微分算子法求出: 2.1f(x=e K x时:2.1.1F(KX0时,则:y*(x=1F(De K x=1F(Ke K x。2.1.2F(K=0,且F(K=,=F(m-1(K=0,F m(KX0也即K是m重根。则:y*(x=1F(De K x=x m1F(m(De K x=x m1F(m(Ke K x。例1、求微分方程

4、y+y d+y c+y=e-x的一个特解。*收稿日期:2005年10月解:因为F (D =D 3+D 2+D +1,F (-1=0,F c (-1X 0于是非齐次方程的一个特解为:y *(x =1F (D e -x =x 1F c (-1e -x =x 3(-1+2(-1+1e -x =12x e -x 。例2、求微分方程y d +4y c +4y =e a x 其中a 为实数。解:由特征方程:r 2+4r +4=0,得特征值为:r 1=r 2=-2,对应的齐次方程的通解为:y (x =(C 1+C 2x e-2x 非齐次方程的一个特解y *(x 为:y *(x =1D 2+4D +4e ax

5、 =1(a +22e ax ,a X -212x 2e ax ,a =-2故非齐次方程的通解为:y =(C 1+C 2x e-2x +1(a +22e ax ,a X -2(C 1+C 2x e-2x +12x 2e a x ,a =-2(C 1,C 2任意常数2.2 f (x =si n ax (或cos ax 时:2.2.1 F (-a 2X 0时,则:y *(x =1F (D 2si n ax =1F (-a 2sin ax 。2.2.2 F (-a 2=0,F c (-a 2=,=F(m -1(-a 2=0,F (m (-a 2X 0也即-a 2是m 重根时,则:y *(x =1F (

6、D 2si n ax =x m 1F (m (D 2si n ax =x m 1F (m (-a 2si n ax 例3、求微分方程y +y d +y c +y =cos3x 的一个特解。解:非齐次方程的一个特解y *(x 为:y *(x =1D 3+D 2+D +1cos3x =1D 2D +D 2+D +1cos3x =cos3x -9D -9+D +1=-18cos3x D +1=-18D -1D 2-1cos3x =-18D -1-9-1cos3x =180(D cos3x -cos3x =180(-3sin3x -cos3x 例4、求微分方程y +y d +y c +y =sin x

7、 的一个特解。解:因为,F (D 2=D 3+D 2+D +1=(D 2+1(D +1,F (-1=0,F c (-1X 0,于是非齐次方程的一个特解为:y *(x =1D 3+D 2+D +1si n x =x 12(D -1sin x =x 2D +1D 2-1si n x =x 2D +1-1-1si n x =-x 4(D si n x +si n x =-x 4(cos x +sin x 2.3 f (x =P m (x ,(P m (x =b 0x m +b 1xm -1+,+b m -1x +b m 时:2.3.1 F (0X 0时,则:y *(x =1F (D P m(x =Q

8、 (D P m (x ,其中Q (D 为1除以按升幂排列的F (D 的商式,其最高次数取到P m (x 的次数m 。2.3.2F (0=0,且0是F (K =0的r 重根F (K =K r F 1(K ,F 1(0X 0时,则:y *(x =1D r 1F 1(D P m (x =1Dr Q (D P m (x ,其中Q (D 为1除以按升幂排列的F 1(D 的商式,其最高次数取到P m (x 的次数m 。例5、求微分方程y -2y d -3y c =x 2+2x -1的一个特解。解:非齐次方程的一个特解y *(x 为: 注:上式右侧为划线处的具体运算。2.4 f (x =P (x e K x

9、 时:则:y *=1F (D P (x e K x =e K x 1F (D +K P (x 例6、求微分方程y d -4y c +4y =(1+x +,+x 23e 2x 的一个特解。解:非齐次方程的一个特解y *(x 为:y *(x =1D 2-4D +4e 2x (1+x +,+x 23=1(D +22-4(D +2+4(1+x +,+x 23=e 2x 1D 2(1+x +,+x 23=e 2x Q Q (1+x +,+x 23dx dx =e 2x(x 21#2+x 32#3+,+x 2524#252.5 f (x =P (x si n X x (或P (x cos X x 时:类似

10、2.2,则:y *=I m 1F (D P (x e i X x (或R e1F (D P (x e i X x 。例7、求微分方程y d -2y c +2y =x e x cos x 的一个特解。解:非齐次方程的一个特解y *(x 为:y *(x =1D 2-2D +2xe x cos x =e x 1(D +12-2(D +1+2x cos x =e x 1D 2+1x cos x 因为cos x 是e ix的实部,所以求Re1D 2+1xe ix 1D 2+1e ix x =e i x 1(D +i2+1x =e ix 1D 2+2i D x =e ix 1D (D +2ix =e i

11、x 1D (12i +D 4x =e ix (12i 1D +14x =e ix (12i Q xdx +14x =e ix (-i 4x 2+14x R e1D 2+1e ix x =Ree ix (-i 4x 2+14x =R e(cos x +i sin x (-i 4x 2+14x =x 4(x sin x +cos x 所以:y *(x =x 4(x sin x +cos x e x 。参考文献:1梅宏.常系数非齐次线性微分方程特解的一种求法升阶法J.高等数学研究,2003,6(2:22-24.2梁俊奇,王俊东,常系数非齐次线性微分方程的一个简捷解法J.高等数学研究,2002,5(2

12、:14-16.3姬小龙,y d +py c +qy=f (x方程的一个积分形式特解J.高等数学研究,2003,6(2:24-25.4朱灵,用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解J.高等数学研究,2002,5(2:17-19.5常庚哲,蒋继发,用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性常微分方程J.大学数学,2003,19(1:76-79.6钱伟长,微分方程的理论及其解法M .北京:国防工业出版社,1992.7丁同仁,李承治,常微分方程教程M .北京:高等教育出版社,1991.(上接第64页6、传统意义上的中等职业技术教育萎缩,高等职业技术教育有了较大发展。在世界发达国家普遍地出现了中等职业技术教育

13、萎缩的现象。日本中等职业技术教育的学生占高中段学生总数1980年为31.77%,到1999年则下降到25.15%;美国1982年相应的比例为34%,到1994年下降为25%,此后基本稳定在这个比例。在世界主要发达国家出现的中等职业技术教育萎缩并不意味着整个职业技术教育在教育系统中不再占有重要地位了,而恰恰相反,随着中等职业技术教育的萎缩,高等职业技术教育迅速发展起来,职业技术教育的重心上移了,中等职业技术教育与高等职业技术教育更有机地衔接起来了。7、职业资格制度化,接轨国际职业资格证书。美国的52000年教育战略6确立了私营企业技术与标准,并建立了相关的制度。英国于1986年成立国家职业资格委员会,推出适合13-16岁学生全国统一的/国家职业资格证书0。尽管各国职业资格存在差异,但强化证书制度成了职教改革的特征。8、重视为学生的升学目标作准备,进一步促进职业教育课程与普通教育课程、职业培训课程的融合。未来社会对宽专业多能的复合型以及智能型人才的需求越来越多,这也要求社会打破普通教育、职业教育与职业培训之间的界限,建立起普通教育与职业教育和职业培训三结合的制度。因此,在今后各国职教课程的改革中,将加强职业教育课程与普通教育课程、职业培训课程的融合。9、学习过程的终身化(终身学习理念。终身教育思想由法国人保罗#郎格朗于20世纪