相似三角形中的几何定理

1、相似三角形中的几何定理【前铺1】如果点、分别在的边和上，那么下列比例式中能判定的是( )AB CD【前铺2】如果，是、的比例中项，则下面结论正确的是( )ABCD【前铺3】如图，已知点是的重心，过点作，分别交边、于点、，那么用向量表示向量为_。【前铺4】已知线段的长度是，点是线段上的黄金分割点，那么较长线段的长是 【前铺5】已知、分别是的、上的一点，且，那么的值是 【前铺6】如果两个相似三角形的最长边分别是厘米和厘米，他们的周长相差厘米，那么大三角形的周长是 厘米。相似三角形的综合运用相似三角形的判定：两对角对应相等(常在综合题中，判定三角形相似)(常在综合题中，用来求解“解析式”)三组边对应

2、成比例(在以函数背景的综合题中，判定三角形相似)相似三角形的性质：性质1：相似三角形的对应角相等，对应边成比例性质2：相似三角形对应边上的高、对应边上的中线及对角线的平分线的比都等于相似比性质3：相似三角形的周长比等于相似比性质4：相似三角形的面积比等于相似比的平方相似三角形中的分类讨论：填空题中分类讨论的标志：题中没有“如图”两字综合题中分类讨论的标志：以、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点。用文字写出的“相似”则必定要分类讨论。使，求点的坐标。用“”表示相似的，则不必分类讨论，默认对应点一一对应；或“(的顶点、分别与的顶点、对应)”已经告诉了对应点，则不必分类讨论【例1】在锐角中，、分

3、别是三条高、的垂足，连、，求证：【例2】如图：在中，点是的中点，点是边或上的一个动点，线段把分成两部分，问点在什么位置时，分割得到的三角形与相似？画出所有符合要求的线段，并求的长。【例3】如图，、分别为垂足。已知：，求证：。已知：，点是线段上的一动点，若使点分别与、和、构成的两个三角形相似，求线段的值。已知：，点是直线上的一动点，设，使点分别与、和、构成的两个三角形相似，求关于的函数解析式。 【例4】如图，抛物线与轴相交于、，与轴相交于点，过点作轴，交抛物线点。求梯形的面积；若梯形的对角线、于点，求点的坐标，并求经过、三点的解析式；是射线上一点，且与相似，求符合条件的点坐标。【例5】如图，在梯

4、形中，交直线于点当点与恰好重合时，求的长；当点在边上时(不与、重合)，设，试求关于的函数关系式，并写出定义域；问：是否可能使、与都相似？若能，请求出此时的长；若不能，请说明理由.【例6】(年上海市中考压轴题)如图，在中，。半径为的圆与边相交于点，与边相交于点，连结并延长，与线段的延长线交于点。当时，连结，若与相似，求的长；若，求的正切值；若，设，的周长为，求关于的函数关系式.梅涅劳斯(Menelaus)定理以及塞瓦(Ceva)定理梅涅劳斯定理基本模型为Menelaus三角形、为Menelaus点为Menelaus线(截线)塞瓦定理基本模型为Ceva三角形、为Ceva线为Ceva点定理内容设、分

5、别是的三边、或其延长线上的点，则、三点共线的充要条件：(我们做题的时候考虑的是线段比所以默认)定理内容设、分别是的三边、或其延长线上的点，则、三线共点的充要条件：(梅氏定理)证明：如图，、分别为、上的任意一点，为与延长线的交点，求证：(塞瓦定理)证明：如图，在中，、与相交于点。试证明：【例7】如图，四边形的对边与，与分别相交于，对角线与交于，直线与，分别交于，。求证：求线段比：【例8】在中，如图，设，其中为与的交点，则等于( )ABCDE已知、分别是边，上的点，且，连交边延长线于点，那么若、是之、边上的点，且有，交于，交于，求的值【例9】在中，点在上，。、分别在、上，,交于，求求面积比：共高定

6、理：共高三角形的面积比等于它们底的比共底定理：若两个三角形的公共底边所在直线与两个第三顶点与的连线交于则有：共角定理：若中的与中的重合(或互补)，则【例10】如图，设、分别在的边，上，与交于，求如图，内三个三角形面积分别为，四边形的面积为，则在中，分别是，上的点，且，与交于，则的面积等于的面积的多少倍？命题证明【例11】若两个三角形的对应定点的连线交于一点，则对应边所在直线交点必共线。1若一直线和的边、及的延长线分别相交于点、及，并且，则2设、分别在的边和上，与交于，求3若为之高上任一点。、分别交、于、，连结与，则平分4已知：在正方形中，是边的中点(如图所示)，是边上的一个动点，交射线于点，。

7、求关于的函数解析式，并写出它的定义域。当点在边上时，四边形的周长是否随点的运动而发生变化？请说明理由当时，求点到直线的距离5如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，厘米，厘米，现有两动点，分别从，同时出发，点在线段上沿方向作匀速运动，点在线段上沿方向作匀速运动，已知点的运动速度为厘米/秒。设点的运动速度为厘米/秒，运动时间为秒，当的面积最小时，求点的坐标；当和相似时，求点的坐标。设点的运动速度为厘米/秒，问是否存在的值，使得与和这两个三角形都相似？若存在，请求出的值，并写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由。课后练习答案1【解析】直线EDF截ABC，ADDC2【解析】直线EFC截ABD，AEEB，3【解析】过A作BC的平行线MN交DE，DF的延长线于，。又由塞瓦定理为等腰三角形平分4【解析】在正方形中， ，即所求的函数解析式为。定义域为。不变。理由如下：作于点。那么。四边形的周长。当时，或。联结，设点到直线的距离为。当时，。，。，即。当时，同理可得。综上所述，点到直线的距离为或。5【解析】故当时，最小值为此时点的坐标为如图，当时， 解得，(舍去)当时，解得因此，当或时，即当的坐标为或时，和相似假设存在