直线的参数方程教学设计

1、直线的参数方程教学设计一、 教学内容分析1. 课时安排 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4坐标系与参数方程第二讲第三节。直线的参数方程教材安排了两个课时，而我在实施教学的过程中将其分为三个课时，第一课时是直线参数方程的推导及对参数方程的认识；第二课时为参数方程之下直线与曲线相交所得弦长公式及弦中点参数的推导及其初步应用；第三课时为直线参数方程的应用：直线参数方程在解决直线与圆锥曲线的位置关系中的应用及在实际生活问题中的应用。本节课为第一课时。2. 上下位知识及本课价值 直线的参数方程是在学生学完直线的普通方程，参数方程的定义及圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的参数方程，并且

2、掌握了求曲线参数方程的一般步骤与方法之后才进行学习的，这构成了本节课的上位知识。同时直线参数方程也肩负着完善学生们的知识体系的价值和作用，因为高中阶段解析几何中所涉及的曲线只包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线，学生们学完其它曲线的参数方程之后，必定会想到去研究直线的参数方程。另外直线的参数方程提供了解决直线与圆锥曲线相交问题的另一解法：设直线的参数方程，代入圆锥曲线方程，根据韦达定理得到的关系，进而再将条件中所涉及的距离或与中点有关的问题用参数进行转化，再由韦达定理所得关系解决问题。直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何中很重要的问题，不管是对于数学本身还是高考，用参数方程的好处是设点只设一个参数

3、，并且表示某些距离与中点也较普通方程之下的表示简单。而要用参数方程解决问题的前提是学生能够对于直线的参数方程的标准形式及参数的几何意义有准确、深刻的理解，这样直线参数方程的推导及对直线参数方程的认识就显得尤为重要。另外对于直线参数方程的认识中能够让学生体会到如何认识一个数学符号，如果学法指导的好，能够让学生认识到磨刀不误砍柴功，在得出一个数学结论后应重视去分析其结构形式，而非只重视应用。3. 教材中值得商榷的地方 本节课教材以向量为工具建立了直线参数方程，在点的运动过程中发现点的运动带动了动点与定点的距离的变化，能够想到以距离为参数，但是若以距离为参数首先遇到的问题是一个参数对应了两个点，点不

4、由参数唯一确定，进而想到方向，将距离与方向结合起来可以想到向量，但是通过向量表示坐标的过程中又引进了直线的单位方向向量，然后根据直线上定点指向动点的向量与单位方向向量的平行关系进而得出动点的坐标。这样处理的优点是能让学生理解向量的工具性，但我认为有以下几点值得商榷的地方：感觉不是很自然，不容易想到，特别是引入直线的单位方向向量，感觉思维跳跃性太强，老师们不容易想到，学生们可能根本就想不到，教学引导的难度很大；在求解方法上与圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程求解方法不能统一，求解前面几条曲线的参数方程时有两种方法：动点轨迹法和三角代换法（抛物线除外），其中动点轨迹法应该是深入学生内心的，但在直线

5、参数方程及建立过程中并未用到这两种方法，这会让学生感觉到探求参数方程的方法多而不容易把握；学生由于对向量的数乘运算有所遗忘，所以在根据向量关系式得出参数几何意义时就发生了困难，在直线参数方程的应用中也就会出现问题。4.我的处理方法及看法基于以上几点，特提出我的处理意见：将直线看作点做匀速直线运动的轨迹，给曲线赋予物理意义，然后得出直线的参数方程，进而根据其物理意义探究其几何意义。这样处理的好处有以下几点：形成对数学更高层次的认识，加深数学来源于生活而高于生活的体会，并体会出物理，代数，几何三者的融合，体会到三者之间的紧密联系；而由物理学知识来认识数学在数学选修21导数、定积分的学习中学生已经有

6、所经历，对学生而言，这种经历对他学习直线的参数方程是很有帮助的；在逐渐完善直线参数方程的过程中体会数学所追求的简洁与统一，并体会出认识事物的简单化原则；在求直线参数方程的过程中，体会到直线参数方程的不唯一性；学生能够更好地理解参数t的几何意义，参数t的物理意义时间得出其几何意义距离是比较容易想到的。二、 教学目标设置在教师的引导下能够完成直线参数方程的推导过程；记忆并识别直线的参数方程，能够写出同一条直线的不同参数方程形式，并能够将其化为标准形式；会求直线的参数方程；能够说出参数的几何意义（掌握参数几何意义的任务交给下一节课）；经历直线参数方程的探究过程，逐渐形成严谨的思考习惯，体会数学研究的

7、一般性原则，在对参数方程的认识过程中体会认识一个数学结论的重要性；教学重点：直线参数方程的推导与直线参数方程的认识难点：参数方程中参数几何意义的理解，直线参数方程标准形式的认识三、 学生学情分析高三学生知识体系初步完成，知道要完善知识体系，所以对研究直线的参数方程有迫切的需要。有一定的探究能力和操作能力，对匀速直线运动比较熟悉，能够在老师策略性和方法性的指导下自己动手写出直线的参数方程，知道应该探讨参数的取值范围及参数的意义，但对物理背景与数学符号还有几何意义的综合认识还达不到认知水平。有从运动轨迹入手探讨曲线参数方程的经验，但是能否用此经验解决问题需要教师引导。对于参数方程的应用有一定的了解

8、，知道学完参数方程后从能力上应该会求参数方程，知道参数方程在求最值问题中的应用，会将参数方程化作普通方程，并由普通方程得出直线的倾斜角及斜率，但可能由于三角函数问题的关系会将角求错。对直线参数方程的标准形式的形式认识上可能不够，应指导学生从哪些方面去认识。学生有一定的思辨能力，但是对于标准形式与非标准形式的区别上可能会出问题。其次再根据参数几何意义求距离时，可能不会区分动点是不是在直线上，距离是不是参数方程中定点到直线上定点的距离四、 教学策略分析1. 从运动的观点出发探究直线的参数方程，使得探究过程更加自然2. 由参数的物理背景出发探讨出参数的几何意义，可以突破其几何意义理解上的难点3. 选

9、取一些典型例子使得学生加深对参数方程标准形式的认识，并体会出非标准型化为标准型的必要性，且学会将非标准型化为标准型4. 运用变式教学加深学生利用几何意义求距离的理解5. 采用问题引学、评价诱学，自主探究，共同展示等方式手段提高学生探究的积极性五、 教学过程一、问题导学,导入新课问题1：前面已经研究了哪些曲线的参数方程？是怎样探究的？接下里你还想探讨什么样的曲线？问题2：我们该如何探讨直线的参数方程呢，用三角代换法还是动点轨迹法？问题3：直线可看作是质点做什么样的运动的运动轨迹？问题4：你想将直线看成点的哪种运动形式的轨迹？设计意图：三个问题可让学生得出探究直线参数方程的方法，及探究内容（参数方

10、程及应用），每个问题后都留有停顿，让学生思考，前两个问题采用集体回答，第三个问题，由学生思考，叫学生谈自己的想法，因为运动轨迹为直线的运动方式不仅是匀速直线运动，还可以为匀变速直线运动，非匀变速直线运动等，从而体会出匀速直线运动去探讨直线参数方程比较简单，在过程中体会数学研究的一般性原则：简单化原则。问题四学生应该可以集体回答出来。二探究展示，建构知识问题5：（PPT显示）现将直线放入平面直角坐标系，已知其上一定点及其倾斜角，假设一动点从定点出发沿直线以速度V（自设数值，速度方向沿直线向上为正，向下为负）做匀速直线运动，试求直线的参数方程设计意图：让学生自设数值，相信很多同学会选择速度为1，也

11、有同学会选择其他的速度，也有同学会选择负速度，老师在学生求解的过程中观察指导，选取有代表性的同学上黑板将其所写参数方程进行展示，并且提示学生注明参数的范围，此时由于参数的物理意义，学生们会注明问题6：这些同学所求出来的参数方程不一样，说明了什么？问题7：既然这么多参数方程都能表示直线（这里有点不严谨，但暂时只能这么说），那么选取最简单的作为我们公认的参数方程，来研究直线，大家来做选择涉及意图：通过展示与问题让学生体会到参数方程的不唯一性，然后体会到直线参数方程的标准形式的必要性。所得结果应该是：（板书）问题8：同学们求出来的是整条直线的参数方程吗？设计意图：通过问题引起思考，从曲线的参数方程的

12、定义进行判断得出此参数方程只是直线上的一条射线的参数方程，为了节省时间，师生共同以速度为-1来探究另一半直线的参数方程，得出结果：（板书）问题9：一条直线的两部分参数方程不一样，能否通过一定的处理使其统一成一种形式呢？设计意图：利用问题引起认知冲突，由学生讨论得出结果，只需改变t的范围限制即可，在此过程中也让学生认识到了参数符号的几何意义，得出了参数的范围，并且对统一形式的必要性和好处有了更深刻的认识，所得直线的参数方程为：（板书）问题10：（PPT显示）.参数的几何意义是什么？试从参数的符号和数值两个方面来说明参数的几何意义设计意图：参数符号的几何意义，学生应该马上能够反应出来，而参数的数值

13、的几何意义，应从其物理意义和符号的几何意义来加以引导，有时间t，速度1应该能够很自然的想到其几何意义为动点M到定点M0的距离三、认识方程，辨明真相问题11：要求出直线的参数方程，你需要知道哪些量呢？设计意图：让学生认识到要求直线的参数方程只需要知道直线上的一个定点和直线的倾斜角即可。练习1：(PPT演示)求直线y=x+1的一个参数方程设计意图：（1）让学生学会求直线的参数方程，（2）进一步认识直线参数方程的不唯一性。由于选点的不同，学生们求出的参数方程会不一样，（3）通过纠错指出x的表达式中t的系数为，y的表达式中t的系数为sin问题15：（ppt显示）参数方程能否表示直线y=x+1？此参数方

14、程与我们在练习1中所求出的参数方程的主要不同点在什么地方？根据所得直线的参数方程中t的系数一定为正吗？你认为中t的系数应满足什么条件？设计意图：（1）进一步练习参数方程与普通方程的互化，这也是高考考查的重点（2）通过比较让学生认识到中对t的系数的要求，从而得到其系数特征：x的表达式中t的系数，y的表达式中t的系数（3）将命名为直线参数方程的标准形式。并指出其特征练习2：的直线的倾斜角为 ，参数t=1所对应点到（0，1）点的距离为 ，到（1，1）点的距离为 。设计意图：（1）进一步加深对直线参数方程标准形式的认识（2）初步意识到利用参数的几何意义可求解两点间的距离，但必须是到参数方程中定点的距离，加深参数几何意义的理解（3）认识到求两点间的距离有两种方法：普通方程之下用两点间的距离公式，参数方程之下用参数的几何意义，但必须是已知参数的点到参数方程中的定点的距离四、总结收获与问题，谈感受设计意图：12.板书设计13.教学反思我的想法，是否可以回头看直线的参数方程，寻找得到参数方程的向量方法？能否进一步认识参数方程和普通方程的关系？附件二：第八届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动参评教师报名表姓 名性 别（贴照片处） 出生年月教 龄工作单位通讯地址邮 编 E-ma