人教版八年级上册数学解题技巧专题归纳合集

1、人教版八年级上册数学解题技巧专题归纳合集目 录1、类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算2、类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型3、解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧4、难点探究专题：动态变化中的三角形全等5、易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题6、解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法7、模型构建专题：共顶点的等腰三角形8、类比归纳专题：证明线段相等的基本思路9、解题技巧专题：乘法公式的灵活运用10、解题技巧专题：选择合适的方法因式分解11、易错专题：分式中常见的陷阱12、解题技巧专题：分式运算中的技巧1、类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算一全方位求角度

2、类型一 已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想1 .在ABC 中，NANB = 35° , NC=55° ,则NB 等于（）A. 50° B. 55° C. 45° D, 40°2 .在ABC 中，已知NA=2NB = 3NC,则48（：是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状无法确定3 .如图，在AABC中，NC=NABC = 2NA, BD是AC边上的高，求NDBC的度数.工4 .如图，AABC 中，ZB = 26° , ZC = 70° , AD 平分NBAC, AEJ_BC 于 E, E

3、F±AD 于F,求NDEF的度数.类型二综合内外角的性质5 .如图，BD、CD分别平分NABC和NACE, NA=60° ,则ND的度数是（）6 .如图，ZB = 20° , ZA=ZC = 40° ,则NCDE 的度数为7 .如图，AD 平分NBAC, ZEAD=ZEDA.求证：ZEAC=ZB：若NB = 50° , ZCAD ： ZE = 1 ： 3,求NE 的度数.类型三在三角板或直尺中求角度8 .将一副三角板按如图所示摆放，图中NQ的度数是（）A. 120° B. 105° C. 90° D. 75

4、6;9 .将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则的度数是（）A. 10° B. 15° C. 20° D, 25°10 . 一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的度数是11 .如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若Nl = 55° ,则N2的度 数为.类型四与平行线结合12 .如图，已知B、C、E在同一直线上，且CDAB,若NA=75° , ZB = 40° , 则NACE的度数为（）A. 35° B. 40° C. 115° D. 145°13 .如

5、图，ABCD,直线PQ分别交AB、CD于点F、E, EG是NDEF的平分线,交AB于点G.若NPFA=40° ,那么NEGB等于（）A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°p14 .如图，BD是aABC的角平分线，DEBC,交AB于点E, ZA=45° , ZBDC = 60° ,则 NBDE=15 .如图，在ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EGAD交 BC 于 G, EH_LBE 交 BC 于 H, NHEG=55° .求NBFD的度数;若NBAD=NEBC, ZC

6、= 44° ,求NBAC 的度数.类型五与截取或折叠相关16 .如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则NA 与N1和N2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发 现的规律是()A. ZA=Z1-Z2B. 2ZA=Z1-Z2C. 3ZA=2Z1-Z2D. 3ZA=2(Z1-Z2)17 .如图，RtZABC中，NACB = 90° , NA=52° ,将其折叠，使点A落在边CB上A'处，折痕为CD,则NA' DB=第17题图笫18题图18 .在AABC中，NB = 70° ,若沿图中虚线剪去NB,

7、则N1 + N2等于.19 .如图.（1）将ABC纸片沿DE折叠成图，此时点A落在四边形BCDE内部， 则NA与Nl、N2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理 由.若折成图或图，即点A落在BE或CD上时，分别写出NA与N2、NA与 N1之间的关系式（不必证明）；若折成图，写出NA与Nl、N2之间的关系式（不必证明）.参考答案与解析1. C 2.C3 .解：设NA=x，则NC=NABC = 2x.根据三角形内角和为180°知NC+NABC + ZA=180°，即 2x+2x+x=180° , Ax=36° , .*.ZC=2x = 72o

8、 .在 RtBDC 中，ZDBC = 90° -ZC = 90° -72° =18° .方法点拨：三角形中给出的条件含比例且不易直接求出时，一般需要设未知数, 根据三角形的内角和列方程求解.4 .解：ABC 中，ZB = 26° , ZC = 70° , AZBAC = 1800 -ZB-ZC = 180°-26° -70° =84° . YAD 平分NBAC, ZDAC=|zBAC=1x84° =42。.在 乙乙ACE 中，ZCAE = 90° - NC=90°

9、-70° =20° , A ZDAE= ZDAC- ZCAE = 42° 一20° =22° . VZDEF+ZAEF=ZAEF+ZDAE = 90° , A ZDEF=ZDAE = 22° .5. B 6.80°7. (1)证明：TAD 平分NBAC, A ZBAD= ZCAD. X V ZEAD= ZEDA, A ZEAC= ZEAD-ZCAD=ZEDA-NBAD= NB；(2)解：设NCAD=x° ，则 NE = 3x° .由(1)知NEAC= NB = 50° , AZEAD=

10、ZEDA = (x+50)° .在AEAD 中，V ZE+ ZEAD+ ZEDA= 180° , r.3x° +2(x+50)° = 180° ,解得 x=16.，NE=48° .8. B 9.B 10.75°11.35°12. C 13. C 14. 15°15.解：(1) VEH±BE, r.ZBEH=90° . VZHEG=55° , A ZBEG= ZBEH-ZHEG = 35° . XVEG/7AD,，NBFD= NBEG=35° ：(2) V

11、ZBFD= ZBAD+ ZABE, ZBAD=ZEBC, A ZBFD= ZEBC+ ZABE= ZABC. 由(1)可知NBFD=35° , A ZABC = 35° . VZC=44° , /. ZBAC=180° -ZABC -ZC = 180° -35° -44° =101° .16. B 17.14°18.250°19.解：(1)延长BE、CD,交于点P,则ABCP即为折叠前的三角形.由折叠的 性质知NDAE=NDPE.连接AP.由三角形的外角性质知N1 = NEAP+NEPA, Z2

12、 = ZDAP+ZDPA,则N1 + N2=NDAE+NDPE = 2NDAE,即N1 + N2 = 2NA； (2)图中，Z2 = 2ZA；图中，Z1 = 2ZA：(3)图中，Z2-Z1 = 2ZA.2、类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1 .如图,AD, AE分别是ABC的高和角平分线.(1)已知 NB = 40° , ZC = 60° ,求NDAE 的度数；(2)设NB= Q , ZC= B (q V B ),请用含a , P的代数式表示NDAE,并证明.模型2：求两内角平分线的夹角的度数2 .如图，ABC

13、中，NABC和NACB的平分线交于点0.若NB0C = 120° ,则NA3 .如图，ABC中，点P是NABC, NACB的平分线的交点.(1)若NA=80° ,求NBPC的度数.有位同学在解答(1)后得出NBPC = 90° +：NA的规律，你认为正确吗？请给 出理由.模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4 .如图,在ABC中，BA1平分NABC, CA1平分NACD, BA- CA1相交于点求证：ZAx=tZA；乙(2)如图，继续作NAIC和NASD的平分线交于点命,得NA工作NAFC和NASD 的平分线交于点心,得NA3依此得到NA.；,若NA=

14、a,则NAq =模型4：求两外角平分线的夹角的度数【方法5】5 . (1)如图,B0平分ABC的外角NCBD, CO平分ABC的外角NBCE,则NB0C 与NA的关系为；请就中的结论进行证明.参考答案与解析1 .解：(1) VZB=40° , ZC = 60° , r.ZBAC=180° -ZB-ZC=180° -40°-60° =80° .AE 是角平分线，NBAE = ；NBAC = ：X80° =40° . TAD 是高， 乙乙r.ZBAD=90° - NB = 90° -40&

15、#176; =50° ,Z D AE = Z BAD - Z BAE = 5 0 ° 一 40°= 10° . /口葩=)(。一。)，证明如下：/8=。，NC=F (a < p), .ZBAC = 180o一(a+B). TAE 是角平分线，NBAE=：NBAC=90° ：(。+6). TAD 是 乙乙高，A ZBAD = 90° -ZB=90° - Q, A ZDAE= ZBAD- ZBAE=900 - a -90。( a + P )a).乙乙2. 60°3 .解：(1) VBP, CP 为角平分线，NPB

16、C+NPCB=；(NABC+NACB)=；(180。 -ZA)=1x (180° -80° )=50° , AZBPC = 180° - (ZPBC+ZPCB) =180° -50° =130° .(2)正确，理由如下：TBP, CP为角平分线，NPBC+NPCB=：(NABC+NACB) =:(180° -ZA)=90° -1ZA, A ZBPC = 180° 一(NPBC+NPCB) =180° ( 1 1|90° -ZA =90° +-ZA.4 .证明：CA】

17、平分NACD, NA = ；NACD = 2(NA+NABC). X V ZAiCD 乙乙= ZA1+ZA1BC, r. ZAi + ZAxBC(ZA+ ZABC). YBAi平分NABC, Z. ZA：BC=ZABC, /.|ZABC+ ZAX = 1(ZA+ ZABC), A ZAt=iZA. a(2)T3ok 乙5 . (l)ZB0C = 90° -1ZA(2)证明：如图,BO, CO分另lj是ABC的夕卜角NDBC, NECB的平分线，NDBC= 2N1 = NACB+NA, ZECB = 2Z2= ZABC+ZA, A2Z1 + 2Z2 = 2ZA+ZABC+ ZACB=Z

18、A+180° , .Z1 + Z2=1ZA+9O° .又：Nl + N2+NB0C = 180° ,AZB0C = 180° -(Zl + Z2)=90° -1ZA.3、解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧明模型，先观察，再猜想，后证明类型一 全等三角形的基本模型1 .如图，AC=AD, BC=BD, ZA=50° , ZB = 90° ,则NC=.DIf DC第1题图第2题图2 .如图，锐角ABC的高AD, BE相交于F,若BF=AC, BC = 7, CD = 2,则AF 的长为.3 .如图，点 A, D, C,

19、E 在同一条直线上，ABEF, AB=EF, NB=NF, AE=10, AC = 6,则CD的长为 ()D. 34 .如图，在ABC, aADE 中，ZBAC=ZDAE=90° , AB=AC, AD=AE,点 C, D, E在同一直线上，连接BD交AC于点F.(1)求证：BADgACAE；猜想BD, CE有何特殊位置关系，并说明理由.E类型二证明线段间的等量关系 一、等线段代换5 .如图，RtAABCAB=AC, ZBAC = 90° ,直线1为经过点A的任一直线,BDJ_1 于 D, CEJ_1 于 E,若 BD>CE,试问：(1)AD与CE的大小关系如何？请说

20、明理由；线段BD, DE, CE之间的数量关系如何？请说明理由.二、截长补短法6 .如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，若AC平分NBAE, ZACE = 90° , 猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系，并证明.三、倍长中线法7 .在ABC中，AB=8, AC=6,则BC边上的中线AD的取值范围是()A. 6<AD<8B. 2<AD<14C. 1<AD<7D.无法确定参考答案与解析1. 11002. 3 3. A4 . (1)证明：NBAC=NDAE = 90° , ：, ZBAC+ ZCAD= ZDAE+ ZCAD,即

21、 NBAD = NCAE.在BAD 和ACAE 中，.AB=AC, ZBAD=ZCAE, AD=AE, /.BADACAE(SAS).(2)解：BD_LCE.理由如下：由(1)可知BADgZCAE, A ZABD= ZACE. V ZBAC = 90° , A ZABD+ZAFB=900 . X.V ZAFB=ZDFC, A ZACE+ZDFC = 90° , .ZBDC = 90° ,即 BDJ_CE.5 .解:(1)AD=CE.理由如下：，BDJ_1 于 D,CE_L)于 E,NBDA=NAEC=90° , .ZCAE+ZACE=90° .

22、 VZBAC=Z90° , A ZBAD+ZCAE = 90° , A ZBAD = ZACE. XVAB=AC, AAABDACAE (AAS), AAD=CE.(2)BD=DE+CE.理由如下：由(1)可知ABDgZkCAE, .BD=AE, AD=CE. XVAE =DE+AD, r.BD=DE+CE,6 .解：AE=AB+DE.证明如下：如图，在AE上截取AF=AB,并连接CF.AC平 分NBAE, NBAC=NCAF. XVAC=AC, A ABACAFAC(SAS), ABC=FC, ZACB =ZACF. ZACE=90° ,，ZACF+ ZFCE

23、= 90° , ZACB+ ZDCE = 90° , ZFCE = NDCE. 乂'C 为 BD 的中点，BC = DC, .DC=FC. XVCE=CE, .,.FCEADCE(SAS), ADE=FE, ；AE=AF+FE=AB+DE.7 . C4、难点探究专题：动态变化中的三角形全等以“静”制“动”，不离其宗类型一动点变化1 .如图，RtZXABC 中，ZC = 90° , AC = 6, BC = 3, PQ=AB,点 P 与点 Q 分别在 AC和AC的垂线AD上移动，则当AP=时，ABC和APQ全等.2 .如图，ABC 中，AB=AC=12cm,

24、 NB=NC, BC = 8cm,点 D 为 AB 的中点.如 果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为vcm/s,则当ABPD与4CQP全等时， v的值为【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相 等工3 . ABC 中，ZBAC=90° , AB=AC (Z ABC = Z ACB=4 5 ° ),点 D 为直线 BC 上 一动点(点D不与B, C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.【方 法111(1)观察猜想：如图，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为；线段B

25、C, CD, CF之间的数量关系为 (将结论直接写在横线上).数学思考：如图，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成 立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.类型二图形变换4 .如图甲，已知A, E, F, C在一条直线上，AE = CF,过E, F分别作DELAC, BF±AC,且 AB=CD,连接 BD.(1)试问OE=OF吗？请说明理由；若ADEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成 立？请说明理由.5 .如图，在 RtaABC 中，ZACB = 90° ,点 D, F 分别在 AB, AC 上，CF=CB,连 接

26、CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF.(1)求证：BCDFCE；(2)若EFCD,求NBDC的度数.A参考答案与解析1. 3 或 6 解析：:ABC 和全等，AB=PQ,有ABCgZQPA 或 ABCPQA.当ABCQPA 时，则有 AP=BC = 3；当ABCgZXPQA 时，则有 AP=AC = 6,当AP=3或6时，/XABC和aAPQ全等，故答案为3或6.2. 2或3解析：当BD=PC时，BPD与4CQP全等.,点D为AB的中点，BD =；AB=6cm, A PC = 6cm, ABP = 8-6 = 2 (cm). 二点 P 在线段 BC 上以 2

27、cm/s 的 乙速度由B点向C点运动，运动时间为Is.1DBPgZkPCQ, .CQ=BP = 2cin, .,.v = 24-l = 2(cm/s);当 BD=CQ 时，ABDPAQCP. APB=PQ, NB=NCQP.又 VZB=ZC, r.ZC=ZCQP, r.PQ=PC, APB=PC. VBD = 6cm, BC = 8cm, PB = PC, r.QC = 6cm, ABP=4cm,，运动时间为 4 + 2 = 2 (s), I. v=6+2 = 3 (cm/s), 故答案为2或3.3. 解：(1)垂直BC=CD+CFCF_LBC成立;BC=CD+CF不成立,正确结论：CD=CF

28、+BC.证明如下:正方形 ADEF 中，AD=AF, ZDAF= ZBAC=90° , A ZBAD= ZCAF.fAD=AF,在ADAB 与aFAC 中， ZBAD=ZCAF, /. ADABAFAC(SAS), A ZABD= ZACF, Lab=AC,DB=CF. V ZACB=ZABC=45° , ：. ZABD = 180° -45° =135° ,，NBCF=ZACF- ZACB= ZABD- ZACB = 90° , r.CF±BC. VCD=DB+BC, DB=CF, A CD =CF+BC.4. 解：(1)

29、OE = OF.理由如下：VDE±AC, BF±AC, A ZDEC= ZBFA=90° . VAEAB=CD, =CF, AE+EF=CF+EF,即 AF=CE.在 RtZABF 和 RtZCDE 中，AF=CE,ZBFO=ZDEO, ARtAABFRtACDE (HL),，BF=DE.在BFO 和中，S ZB0F=ZD0E,Ibf=de,r.ABFOADEO(AAS), AOE = OF.(2)结论依然成立.理由如下：.AE=CF, AE-EF=CF-EF,，AF=CE.同(1) 可得BFOgADEO,，FO=EO,即结论依然成立.5. (1)证明:5将线段C

30、D绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,CD=CE, NDCE = 90° . VZACB=90° , .ZBCD = 90° 一 NACD= NFCE.在4BCD 和4FCE 中， pB=CF,< NBCD=NFCE,CD=CE,r.ABCDAFCE(SAS).(2)解：由(1)可知 NDCE = 90° , ABCDAFCE, A ZBDC= ZE. VEF/7CD, A ZE = 180° 一 NDCE=90° , r.ZBDC = 90° .5、易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题易错归纳，各

31、个击破类型一求长度时忽略三边关系1. 一个等腰三角形的两边长分别是4, 8,则它的周长为（）A. 12 B. 16 C. 20 D. 16 或 202 .学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：”已知一 个等腰三角形的周长是12,其中一条边长为3,求另两条边的长”.同学们经过 片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3、6或4. 5、4.5. ”你 认为小明的回答是否正确：，理由是.3 .已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和10cm两部分, 求这个三角形的腰长和底边的长.类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论4.已知等腰三角形的一个内角为40

32、76; ,则这个等腰三角形的顶角为（）A. 100°B, 40°C. 40° 或 100°D. 60°5.等腰三角形的一个外角等于100° ,则与这个外角不相邻的两个内角的度数 分别为（）A. 40° , 40° B. 80° , 20°C. 80° , 80° D. 50° , 50° 或 80° , 20°6.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1 ： 4,则这个等腰三角形顶角的度 数为.类型三三角形的形状不明时没有分类讨论7.等腰

33、三角形的一个角是50° ,则它一腰上的高与底边的夹角是（）A. 25°B. 40°C. 25°或40° D.不能确定8 .在aABC中，AB=AC, AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为 50° ,则NB等于.9 .如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角 形称为一对合同三角形.已知一对合同三角形的底角分别为X。和y° ,则 （用含x的代数式表示）.10 .已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20° ,求顶角的度数.类型四 一边确定，另两边不确定，求等腰三角形个数时

34、漏解11 .平面直角坐标系中，已知A（2, 2）、B（4, 0）.若在坐标轴上取点C,使AABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 812.如图，在4X5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1,该 点阵图中已有两个阵点分别标为A, B,请在此点阵图中找一个阵点C,使得以点 A, B, C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有 个.R7-A / 参考答案与解析1 . C2 .不正确 没考虑三角形三边关系3.解：设腰长为XCID,腰长与腰长的一半是6cm时,解得x = 4,底边长= 10；X4 = 8(cm) . .4+4 = 8,，4c

35、m、4cm、8cm 不能组成三角形;1901 20腰长与腰长的一半是10cm时，x+-x = 10,解得x=»p 底边长=6- 乙O乙 Joonono=W（cm）, ；三角形的三边长为kcm、于cm、-cm,能组成三角形.综上所述，三 OoO0ono角形的腰长为Tcni，底边长为.cm. 0O4. C 5.D6. 120° 或 20°7.C 8. 70° 或 20°9 . x或90 x解析：.两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，腰上的高 相等.当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，y = x,当两个三角形一个 是锐角三角形，一个是钝角三角形时

36、，y=90-x.故答案为x或90x.10 .解:此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在其外部.如 图所示，得顶角NACB=ND+NDAC=90° +20° =110° ；当等腰三角形的顶 角是锐角时二 腰上的高在其内部，如图所示，故顶角NA=90° -ZABD = 90° -20° =70° .综上所述，顶角的度数为110°或70°.11. A 12.56、解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法形成精准思维模式，快速解题类型一 利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线

37、)1 .如图，在ABC 中，AB=AC, AEJ_BE 于点 E,且 BE=；BC,若NEAB = 20° , 则 NBAC=.2 .如图，在ABC中，AB=AC, D为BC边的中点，过点D作DE1.AB, DF±AC, 垂足分别为E, F.(1)求证:DE=DF：(2)若NA=90° ,图中与DE相等的有哪些线段(不说明理由)？D3 .如图，ABC中，AC = 2AB, AD平分NBAC交BC于D, E是AD上一点，且EA =EC,求证：EB±AB.8二、构造等腰三角形4 .如图，ZABC的面积为lcm, AP垂直NABC的平分线BP于P,则PBC的面

38、积为 （）A. 0. 4cm2 B. 0. 5cm25 .如图，已知aABC是等腰直角三角形，ZA=90° , BD平分NABC交AC于点D, CELBD.求证：BD = 2CE.类型二 巧用等腰直角三角形构造全等6.如图，在ABC 中，AC=BC, ZC=90° , D 是 AB 的中点，DE_LDF,点 E, F 分别在AC, BC±,求证：DE=DF.类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7 .如图，已知 AB=AC, ZA=108° , BD 平分NABC 交 AC 于 D,求证：BC=AB +CD.8 .如图，过等边aABC的边A

39、B上一点P,作PE1AC于E, Q为BC延长线上一点, 且PA=CQ,连PQ交AC边于D.(1)求证：PD=DQ；(2)若ABC的边长为1,求DE的长.参考答案与解析1. 40°2. (1)证明：如图，连接 AD. AB=AC, D 是 BC 的中点，NEAD= NFAD. 乂VDE1AB, DF±AC, ADE=DF.(2)解：若NBAC = 90" ,图中与DE相等的有线段DF, AE, AF, BE, CF.3. 证明：如图，作 EF_LAC 于 F.EA=EC, AAF=FC=1aC. VAC = 2AB, .AF=AB. ：AD 平分NBAC, A ZB

40、AD= ZCAD. XVAE=AE, A AABEAAFE(SAS), AZABE=ZAFE = 90° . AEB1AB.5 .证明：如图,延长BA和CE交于点日:CEBD, NBEC=NBEM=90°.BD 平分NABC, A ZMBE=ZCBE. XVBE=BE, A ABMEABCE(ASA),，EM=EC=； MC.ABC 是等腰直角三角形，.NBAC=NMAC=90。，BA=AC, A ZABD+ ZBDA=90° . V ZBEC = 90° , /. ZACM+ZCDE = 90° . VZBDA=ZEDC, A ZABE =N

41、ACM乂TAB=AC, A AABDAACM(ASA), ADB=MC, ABD = 2CE.6 .证明：如图，连接CD. .AC=BC, D是AB的中点，.CD平分NACB, CD±AB, AZCDB=90o . VZACB = 90° , A ZBCD= ZACD=45° , A ZB=180° -ZCDB -ZBCD=45° , A ZACD=ZB=ZBCD, .CD=BD. VED±DF, AZEDF=ZEDC + ZCDF=90° . XVZCDF+ZBDF=90° , A ZEDC= ZBDF,AECD

42、AFBD (ASA), ADE=DF.7 .证明：如图，在线段BC上截取BE = BA,连接DE. BD平分NABC, JNABD = NEBD. 乂'BD=BD, A AABDAEBD (SAS), A ZBED= ZA=108° , A ZDEC = 180° -ZDEB=72° .又;AB=AC, ZA=108° , A ZACB= ZABC=X (180° -108° )=36° , A ZCDE= ZDEB- ZACB = 180° -36° =72° , AZCDE = ZD

43、EC, ACD=CE, ABC=BE+EC=AB+CD.8 .证明：如图、过 P 作 PFBC 交 AC 于点 F,，NAFP=NACB, ZFPD=ZQ, NPFD=NQCD. :ABC 为等边三角形,J NA= NACB = 60° , ZAFP = 60° , .APF 是等边三角形，AP=PF. .AP=CQ,，PF=CQ, PFDgZQCD(ASA), ，PD=DQ.(2)解：:APF 是等边三角形，PE±AC, AAE=EF. VAPFDAQCD, ACD=DF,DE=EF+DF=,AC.又.AC=1, ADE=1.7、模型构建专题：共顶点的等腰三角形

44、明模型，悉结论类型一 共直角顶点的等腰直角三角形1 .如图，已知ABC和4DBE均为等腰直角三角形.(1)求证:AD=CE；猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结 论，不用写理由.类型二共顶点的等边三角形2 .如图，等边4ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边£口：, 连接AE.ADBC和aEAC会全等吗？请说明理由；试说明AEBC的理由;(3)如图，将中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请 问是否仍有AEBC?证明你的猜想.参考答案与解析1 . (1)证明：ABC和4DBE均为等腰直角三角形，AAB=BC, BD=BE,

45、 ZABC=ZDBE = 90° , A ZABC- ZDBC= ZDBE- ZDBC,即 NABD=NCBE, .,.ABDACBE(SAS), AAD=CE.解:垂直.理由如下:如图，延长AD分别交BC和CE于G和F. ABD且ACBE, A ZBAD= ZBCE. V ZBAD+ ZABC+ ZBGA= ZBCE+ ZAFC+ ZCGF= 180° ,ZBGA=ZCGF, A ZAFC =ZABC = 90° , AAD±CE.2 .解：(l)ADBC和AEAC全等.理由如下：;ABC和£!)为等边三角形，.'.BC =AC, D

46、C=EC, ZACB=ZDCE = 60° , A ZACB-ZACD= ZDCE-ZACD,即 NBCD =ZACE, ADBCAEAC (SAS).(2) VADBCAEAC, /. ZEAC= ZB=60° . XV ZACB=60° , A ZEAC= ZACB, AEBC.(3)仍有AEBC.证明如下：VAABC, ZkEDC为等边三角形，BC=AC, DC=CE, ZBCA=ZDCE = 60° , A ZBCA+ ZACD= ZDCE+ ZACD,即NBCD=NACE.在BC=AC, ZBCD=ZACE, .,.ADBCAEAC(SAS),

47、，NEAC=NB = CD=CE,60° . XV ZACB=60° , .ZEAC=ZACB, ：AEBC.8、类比归纳专题：证明线段相等的基本思路理条件、定思路，几何证明也容易类型一 已知“边的关系”或“边角关系”用全等1 .如图，已知 AB=AE, BC = ED, NB=NE, AFJ_CD, F 为垂足，求证: (1)AC=AD： CF=DF.2 .如图，ZC = 90° , BC=AC, D、E 分另lj在 BC 和 AC 上，且 BD = CE, M 是 AB 的 中点.求证：AMDE是等腰三角形.类型二 已知角度关系或线与线之间的位置关系用“等角对

48、等边”3 .如图，在ABC中，CE、CF分别平分NACB和4ACB的夕卜角NACG, EFBC交 AC于点D,求证：DE=DF.4 .如图，在aABC中，ZACB = 2ZB, ZBAC的平分线AD交BC于D,过C作CN±AD 交AD于H,交AB于N.(1)求证：AN=AC；试判断B与CD的数量关系，并说明理由.类型三 已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质5 .如图，ABC中，NCAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D,过点D作 DE±AB, DF±AC,求证：BE = CF.6 .如图，在ABC中，ZC = 90° , AD是/BAC的平分线，

49、DEJ_AB于E, F在AC 上，BD=DF.求证： (1)CF=EB： (2)AB=AF+2EB.参考答案与解析1 .证明：(1)在ABC 和AED 中，AB=AE, NB=NE, BC=ED, A AABCAAED, AAC=AD：(2)在 RtZXACF 和 RtZXADF 中,AC=AD, AF=AF, A AACFAADF, ACF=DF.2 .证明：连接 CM,则 BM=CM,且，NB= NMCE=45° ,，BM=AM=CM.在MBD 和中，BM=CM, ZB=ZMCE, BD = CE,ANIBDAMCE, ADM=EM, MDE是等腰三角形.3 .证明：VCE 是a

50、ABC 的角平分线，/. ZACE= ZBCE. VCF 为4ABC 外角 ZACG 的平分线，ZACF= ZGCF. VEF/7BC, NGCF= ZF, NBCE= ZCEF. A ZACE = NCEF, ZF=ZDCF, A CD=ED, CD=DF, ADE=DF.4 . (1)证明：VCN1AD, A ZAHN=ZAHC = 90° .乂TAD 平分NBAC, A ZNAH=NCAH. 乂 在4ANH 和ACH 中，ZAHN+ ZNAH+ ZANH= 180° , ZAHC+ZCAH+ ZACH=180° r. ZANH = ZACH, AAN=AC；

51、AN=AC,(2)解：BN=CD.理由如下：连接 ND.在42)和4ACD 中， NNAD = CAD, Lad=AD,A AANDAACD(SAS), ADN=DC, ZAND=ZACD. XV ZACB=2ZB, A ZAND= 2NB. 乂BND 中，ZAND=ZB+ZNDB, .ZB=ZNDB, ANB=ND, ABN=CD.5 .证明：连接 BD、CD. TAD 是NFAE 的平分线，DE±AB, DF±AC, /.DE=DF. VDG 是 BC 的垂直平分线，BD=CD.，RtZCDFgRtZiBDE.，BE=CF.6 .证明：(1),.,AD 是NBAC 的平

52、分线,DE±AB, DC±AC, ADE=DC. X VBD=DF,ARtACFDRtAEBD (HL). ACF=EB：(2)在 RtZXADC 和 RtZXADE 中，AD=AD, DC=DE, ARtAADCRtAADE, AAC =AE,.AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.9、解题技巧专题：乘法公式的灵活运用计算技巧多，先观察，再计算，事半功倍类型一利用乘法公式进行简便运算1 .计算102X98的结果是()A. 9995 B. 9896 C. 9996 D. 99972 .计算 2015,-2014X2016 的结果是()A. 12 B.

53、 11 C. 0 D. 13 .计算：(l)5f=：(2) 298 X 302 =.4 .运用公式简便计算:/、 12/、1000 1A. - B. - C. 1 D. 2 乙乙7.若 ab = l, ab = 2,则（a+b），的值为（）A. -9 B. 9 C. ±9 D. 38.已知x+'=5,那么的值为（）XXA. 10 B. 23 C. 25 D. 279.若m+n=l,则代数式n'+2n的值为1. 10.若 a+b = 3, ab = 2,则（ab）?=. 10-X39-： 氏）2522-248"5 .阅读下列材料:某同学在计算3(4 + 1)

54、(4?+1)时，把3写成4-1后，发现可以连续运用平方差 公式计算：3(4+1) (411.阅读：已知 a+b=-4, ab = 3,求 a-+b的值.解：*/a+b4, ab 3,+1) = (4-1)(4 + 1)(42+1) = (43-1)(42+1)=16:-1.请 借鉴该同学的经验，计算下面式子的值：类型二 利用乘法公式的变式求值6 .若 ab=,且 £b，=；,则 a+b 的值为（）乙Aa + b= (a+b)" 2ab= (4)' 2X3 = 10.请你根据上述解题思路解答下面问题：(1)已知 ab = - 3, ab = 2,求(a+b) (a，一

55、b")的值;(2)已知 a cb= 10, (ab)c = -12t 求(ab)+c”的值.参考答案与解析 1. C 2.D3 . (1)2601 (2)899964 .解：(D 原式Mko+mkojuM'_Eyuisgga原式=1000,(250 + 2)(250-2) 2lOOO_1000:_250:+2X250X2 + 2:- (250:-2X250X2 + 2:) 2000 °0°5 .解+即+如+3+呆2乂(1_41+蛆+3(1+款+2+6 . B 7.B 8.B 9. 1 10. 111.解：(1) Vab3, ab= - 2,(a+b) (a

56、-b') (a+b)"(ab) = (ab):+4ab (ab) = ( -3):+4X ( 2) X ( 3)=3.(2) Vacb= 10, (ab)c = 12,(ab):+c:= (ab) c:+2(ab)c= (-10)2+2X (-12)=76.10、解题技巧专题：选择合适的方法因式分解学会选择最优方法类型一 一步(提公因式或套公式)分解因式1 .下列分解因式正确的是()A. mam= _m(a-1)B. a (x2+1)2-4x2.1= (aI)3C. a" 6a+9= (a 3)-D. a' + 3a+9 (a+3)-2 .分解因式：(1)

57、3xVx:y3 + 2x y ；(2)2(x+y)2 (y+x)3.类型二 两步(先提后套或二次分解)分解因式3 .分解因式晟b-b:结果正确的是()A. b (a+b) (ab) B. b (ab)-C. b (a-b")D. b(a+b)-4 .分解因式:(1) 2a3+ 12a" - 18a;.类型三 特殊的因式分解法(分组分解法、十字相乘法、配方法)5 .阅读下列材料并解答问题：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解 法. 例如:am+an+bm+bn= (am+bm) + (an+bn) m(a+b) +n(a+b) (a+ b) (

58、m+n).试完成下面填空：x2-y:-2y-l=x2- (y:+2y+l)=试用上述方法分解因式：a22abac+be+b:.6 .阅读与思考：将式子f一x6分解因式.这个式子的常数项一6 二 2义(-3), 一次项系数一1=2+( 3),这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解 二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在 十字交叉线的右上角和右下角；然后交义相乘，求代数和，使其等于一次项系数， 如图所示，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”.；X；1 x(-3)+l x2=-l请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：(1)分解因式:(+7x18；【方法22】填空：若x'+px 8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是7.阅读：分解因式x'+2x3.解：原式=x'+2x+l-l-3= (x:+2x+l)-4= (x+l)3-4= (x+1 + 2) (x+1-2) (x+3) (x 1).上述因式分解的方法可以称之为配方法.请体会配方法的特点，然后用配方法分 解因式：(1) x:4x + 3;(2)4x2+12x 7.参考答案与解析1 . C2 .解：(1)原式uxkCxy?y' + Zx)；(2