大学物理：第3章 运动的守恒定律

1、56,55,46,45,43,42,35,33,28,22,21,2081P 一一 理解理解动量、冲量概念动量、冲量概念, 掌握掌握动量定理和动量动量定理和动量守恒定律守恒定律 . 三三 掌握掌握功的概念功的概念, 能计算变力的功能计算变力的功, 理解保守理解保守力作功的特点及势能的概念力作功的特点及势能的概念, 会计算万有引力、重力会计算万有引力、重力和弹性力的势能和弹性力的势能 . 四四 掌握掌握动能定理动能定理 、功能原理和机械能守恒定、功能原理和机械能守恒定律律, 掌握掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法运用守恒定律分析问题的思想和方法 . 五五 了解了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的

2、特点完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特点 . 二二 理解理解角动量、冲量矩概念角动量、冲量矩概念, 掌握掌握角动量定理角动量定理和角动量守恒定律和角动量守恒定律 .质点动量定理质点动量定理的微分形式的微分形式212121dttF tppmmvv3.1.1 冲量冲量 动量动量 质点动量定理质点动量定理 动量动量pmvdd(ddpmFttv)ddd ()F tpmv 冲量冲量 力对时间的积分（矢量）力对时间的积分（矢量）21dttIF t3.1 动量动量 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律质点动量定理质点动量定理的积分形式的积分形式 动量定理动量定理 在给定的时间内，外力作用在质点在给定的时

3、间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量 .212121dttF tppmmvvxyzII iI jI k 分量形式分量形式212121212121dddtxxxxttyyyyttzzzztIF tmmIF tmmIF tmmvvvvvv 例例 1 一质量为一质量为0.05kg、速率为、速率为10ms-1的刚球的刚球,以与以与钢板法线呈钢板法线呈45角的方向撞击在钢板上角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率并以相同的速率和角度弹回来和角度弹回来 .设碰撞时间为设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所求在此时间内钢板所受到的平均冲力受到的平

4、均冲力 .1vm2vmxy解解 建立如图坐标系建立如图坐标系, 由动量定理得由动量定理得cos2 vm0sinsinvvmmFN1 .14cos2tmFFxv方向沿方向沿 轴反向轴反向xxxxmmtF12vv)cos(cosvvmmyyymmtF12vv 例例 如图所示，一圆锥摆摆球质量为如图所示，一圆锥摆摆球质量为m，以匀速，以匀速v在在水平面内作圆周水平面内作圆周运动运动,圆半径为圆半径为R。求摆球绕行一周过程中绳张。求摆球绕行一周过程中绳张力的冲量力的冲量解解 以摆球为研究对象，其受力情况如图以摆球为研究对象，其受力情况如图所示。其中所示。其中G为重力，为重力，T为绳的张力。对为绳的张力

5、。对摆球应用动量定理有：摆球应用动量定理有： GTIIP 0P TGII 摆球绕行一周时，有摆球绕行一周时，有,故有故有即摆球绕行一周时，张力的总冲量与重力的总冲即摆球绕行一周时，张力的总冲量与重力的总冲量大小相等，方向相反。量大小相等，方向相反。取如图所示坐标系，重力的冲量的方向沿取如图所示坐标系，重力的冲量的方向沿y轴负方向，张力的轴负方向，张力的冲量大小可以通过计算重力的冲量求得。摆球绕行一周所需时冲量大小可以通过计算重力的冲量求得。摆球绕行一周所需时间为间为2 RTv022tGRmRgImgdtmgvv2TmRgIv摆球绕行一周重力的冲量大小为摆球绕行一周重力的冲量大小为 故绳中张力的

6、冲量大小为故绳中张力的冲量大小为其方向沿其方向沿y轴正向轴正向.质点系质点系3.1.2 质点系的动量定理质点系的动量定理1m2m12f21f1F2F 质点系动量定理质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量系统动量的增量.21011dnntiiiitiiF tmmvv21121 1221 10220()d()()ttFFtmmmmvvvv2122122220()dttFftmmvv211121 11 10()dttFftmmvv因为内力因为内力 ，故，故12210ff0Ipp注意注意内力不改变质点系的动量内力不改变质点系的动量gbm2m000bgvv

7、初始速度初始速度则则00pbgvv20p推开后速度推开后速度 且方向相反且方向相反 则则推开前后系统动量不变推开前后系统动量不变0pp 例例 一柔软链条长为一柔软链条长为l,单位长度的质量为单位长度的质量为 .链条放链条放在桌上在桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下链条一端由小孔稍伸下,其余部分其余部分堆在小孔周围堆在小孔周围.由于某种扰动由于某种扰动,链条因自身重量开始落下链条因自身重量开始落下 .求链条下落速度与落下距离之间的关系求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的设链与各处的摩擦均略去不计摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开且认为链条软得可以自由伸开

8、 . 解解 以竖直悬挂的链条以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统和桌面上的链条为一系统,建立如图坐标建立如图坐标由质点系动量定理得由质点系动量定理得ddF tpm1m2Oyy1Fm gyg则则则则tddvyyg 两边同乘以两边同乘以 则则 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ddF tp 若质点系所受的合外力为零若质点系所受的合外力为零 则系统的总动量守恒，即则系统的总动量守恒，即 保持不变保持不变 .0iiFFiipp3.1.3 动量守恒定律动量守恒定律 1）系统

9、的动量守恒是指系统的总动量不变，系）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的统内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相各物体的动量必相 对于同一惯性参考系对于同一惯性参考系 . 2）守恒条件）守恒条件 合外力为零合外力为零 当当 时，可时，可 略去外力的作用略去外力的作用, 近似地近似地认为系统动量守恒认为系统动量守恒 . 例如在碰撞例如在碰撞, 打击打击, 爆炸等问题中爆炸等问题中. 0iiFFFf3）若某一方向合外力为零）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒则此方向动量守恒 . 4） 动量守恒定律只在惯性参考系中成立动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 是自是

10、自然界最普遍，最基本的定律之一然界最普遍，最基本的定律之一 .0,0,0,xxiixxyyiiyyzziizzFpmCFpmCFpmCvvv守恒例二续例二例例: 光滑水平面上放有一质量为光滑水平面上放有一质量为M的三棱柱体，其上又放一质量的三棱柱体，其上又放一质量为为m的小三棱柱体它们的横截面都是直角三角形，的小三棱柱体它们的横截面都是直角三角形，M的水平直的水平直角边的边长为角边的边长为a。m的水平直角边的边长为的水平直角边的边长为b，两者的接触面，两者的接触面(倾倾角为角为)亦光滑。设它们由静止开始滑动，求当亦光滑。设它们由静止开始滑动，求当m的下边缘滑到水的下边缘滑到水平面时，平面时，M

11、在水平面上移动的距离在水平面上移动的距离.0 xxmvMVxxxvvVxVxv 解解 由于水平方向所受外力为零，故由于水平方向所受外力为零，故M与与m组成的系统在水平方向动量守恒。设组成的系统在水平方向动量守恒。设m和和M沿水平方向的速度分别为沿水平方向的速度分别为和和则则由相对运动的关系有由相对运动的关系有xv都是相对地面的。设都是相对地面的。设m相对斜面下滑的速度为相对斜面下滑的速度为xV由于动量守恒定律只适用于惯性系，所以这里的速度由于动量守恒定律只适用于惯性系，所以这里的速度和和xv()0 xxmvMm V00()0ttxxm v dtMmV dt0txv dtab可得可得设小三棱柱设

12、小三棱柱m从顶端到地面的时间为从顶端到地面的时间为t，上式两边乘以，上式两边乘以dt并积分有并积分有 0txV dtx 显然，显然，即为，即为M在时间在时间t内在水平面上移动的距离。而内在水平面上移动的距离。而()()0m abMmx 则有则有 ()()m abxMm 所以所以 负号表示负号表示M的移动方向与的移动方向与x轴正方向相反。轴正方向相反。3.2 质心质心 质心运动定理质心运动定理N个质点的系统（质点系）的质心位置个质点的系统（质点系）的质心位置3.2.1 质心质心xyzmiOm212,.inm mmm12,.inrrrrcr 1limdNiiNicr mr mrMM质量连续分布的系

13、统的质心位置质量连续分布的系统的质心位置m1111NNi ii iiiNiim rm rMmir1rCr例例 已知一半圆环半径为已知一半圆环半径为 R，质量为，质量为M解解 建坐标系如图建坐标系如图yxO dmd ddlRddMmRRcos sinx RyR0cx0sindd2cMRRy mRRyMM取取 dldm = dl几何对称性几何对称性(1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上弯曲铁丝的质心并不在铁丝上(2) 质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与其它因素无关其它因素无关说明说明求求 它的质心位置它的质心位置3.2.2 3.2.2 质心运动

14、定理质心运动定理质心的速度质心的速度ddddiiccrmrtvtM 一个质点的运动，该质点集中整个系统一个质点的运动，该质点集中整个系统质量，质量，并集中系统受的外力并集中系统受的外力（2）质心运动状态取决系统所受外力，内力不能使质心产质心运动状态取决系统所受外力，内力不能使质心产生加速度生加速度（1）质心的运动：质心的运动：说明说明两边再对时间求导数两边再对时间求导数,有有22ciciidvd rMMamdtdt由牛顿第二定律由牛顿第二定律,对第对第i个质点个质点,有有22iiiid rFFmdt外内对对i求和求和,并由牛顿第三定律可得并由牛顿第三定律可得ciiFFMa外0ddtacxcxv

15、MmMxmxxc21MmxMxmxc21MmmlSMmMlSls例例 如图所示，人与船构成质点系，当人从船头走到船尾如图所示，人与船构成质点系，当人从船头走到船尾 解解 在水平方向上，外力为零，则在水平方向上，外力为零，则开始时，系统质心位置开始时，系统质心位置 终了时，系统质心位置终了时，系统质心位置 )() (1122xxmxxMx2x1xx1x2O求求 人和船各移动的距离人和船各移动的距离ccxx解得解得SSl v3.3.1 质点的角动量质点的角动量LrprmvvrLLrpmo 质点以角速度质点以角速度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量r2LmrLr

16、xyzom 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的角动量点的角动量mrvsinLrmv大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.L3.3 角动量角动量 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 质点的角动量与质点对固定点的位矢有关质点的角动量与质点对固定点的位矢有关.同一质同一质点对不同的固定点的位矢不同点对不同的固定点的位矢不同,因而角动量也不同因而角动量也不同.(在在讲角动量时讲角动量时,必须指明是对那一给定点而言的必须指明是对那一给定点而言的)说明说明例例 一质点

17、一质点m，速度为，速度为v，如图，如图所示，所示，A、B、C 分别为三分别为三个参考点个参考点,此时此时m 相对三个相对三个点的距离分别为点的距离分别为d1 、d2 、 d3求求 此时刻质点对三个参考点的角动量此时刻质点对三个参考点的角动量(动量矩动量矩)1ALdmv1BLd mv0CL解解md1d2 d3ABCv在直角坐标系中在直角坐标系中,角动量在各坐标轴上的分量为角动量在各坐标轴上的分量为xzyyxzzyxLyPzPLzPxPLxPyP角动量的单位角动量的单位: 千克二次方米每秒千克二次方米每秒21kg ms?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd 作用

18、于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩 ，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.FrtprtLdddd0,ddptrvv3.3.2 质点角动量定理及角动量守恒定律质点角动量定理及角动量守恒定律prL力矩力矩续4是力矩的矢量表达：而即力矩大小方向垂直于所决定的平面，由右螺旋法则定指向。得质点 对给定参考点 的角动量的时间变化率所受的合外力矩称为质点的 角动量定理 的微分形式 如果各分力与如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。顺时针为正向，用代数法求合

19、力矩。 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该的合力矩为零时，质点对该参考点参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量. LM,0 恒矢量恒矢量 冲量矩冲量矩tMttd21 质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O ，质点所受，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量的冲量矩等于质点角动量的增量.12d21LLtMtt 质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律:tLMdd说明说明(1) 冲量矩是质点动量矩冲量矩是质点动量矩(角动量角动量)变化的原因变化的原因(2) 质点动量矩质点动量矩(角动量角动量)的变化是力矩对时间的积累结果的变化是力矩对时间的

20、积累结果 例例1 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质一质量为量为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动. 小球开始小球开始时静止于圆环上的点时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上),然后从然后从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求求小球滑到点小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速度的角动量和角速度. 解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用, 支持力的力矩为零支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里重力矩

21、垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理cosmgRM tLmgRddcostLmgRddcostmgRLdcosd考虑到考虑到2,ddmRmRLtvdcosd32gRmLL得得由题设条件积分上式由题设条件积分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 质点系的角动量惯性系中某给定参考点质点系的角动量定理将对时间求导 内力矩在求矢量和时成对相消内内外外某给定参考点内外外内外得外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和称为微分形式续12将对时间求导 内力矩在求矢量和时成对相消内内外外某给定参考点内外外内外得外质点系的角动量的时间变化

22、率质点受外力矩的矢量和称为微分形式外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和的微分形式质点系所受的质点系的冲量矩角动量增量的积分形式 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。质点系的角动量守恒定律外由若则或恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系若系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量得不论体力强弱，两人等速上升。若系统受合外力

23、矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。3.4 功功 质点动能定理质点动能定理3.4.1 3.4.1 功功 cosWF r变力的功变力的功dWd cosF r空间积累：功空间积累：功时间积累：冲量时间积累：冲量F研究力在空间的积累效应研究力在空间的积累效应 功、动能、功、动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。势能、动能定理、机械能守恒定律。 W Fr xyzOab求质点求质点M 在变力作用下，沿曲线在变力作用下，沿曲线轨迹由轨迹由a 运动到运动到b，变力作的功，变力作的功dWdF r 一段上的功：一段上的功：FMFrdrrdr 在在drMF Mabr恒力的功恒力的功在直

24、角坐标系中在直角坐标系中 dddbxyza LWF xFyF z（）说明说明(1) 功是标量，且有正负功是标量，且有正负(2) 合力的功等于各分力的功的代数和合力的功等于各分力的功的代数和 cos dba LWFsdbaLWFr 12dddbbbna La La LFrFrFr在在ab一段上的功一段上的功F在自然坐标系中在自然坐标系中ddrs12nW WW 1d() dbbaLaLWF rF FFr 2n(3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关一般来说，功的值与质点运动的路径有关 力的功率功算例动能定理续定理功能例一保守力 保守力做功的大小，只与运动物体的始 末位置有关，与路径无关。 非保

25、守力做功的大小，不仅与物体的始 末位置有关，而且还与物体的运动路径有关。保守力3.3.1 3.5.1 保守力与非保守力保守力与非保守力 势势能能势能定义初态初态势能势能末态末态势能势能保守力做正功，物体系的势能减少；保守力做正功，物体系的势能减少；保守力做负功，物体系的势能增加。保守力做负功，物体系的势能增加。通常写成通常写成初态初态势能势能末态末态势能势能势能性质3.5.2 常见保守力的功及其势能形式常见保守力的功及其势能形式引力的功续引力功弹力的功弹弹弹小结势能曲线为势能零点为势能零点选地面选地面：离地面高度离地面高度为势能零点为势能零点选选为势能零点为势能零点选无形变处选无形变处 成对力

26、的功成对力的功 系统内力总是成对出现系统内力总是成对出现1122221221()dWfdrfdrfd rrfdr一对力所做的功，等于一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的沿两个物体相对移动的路径所做的功。路径所做的功。OA1A2B1B2r1r2r21f1f21dr2dr221BABAWf dr3.6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律设质点系由设质点系由n个质点组成，各质个质点组成，各质点的质量分别为点的质量分别为12,nm mm对各质点应用动能定理，有对各质点应用动能定理，有机械能.功能原理功能原理 若某一过程中外力和非保守内力都不对若某

27、一过程中外力和非保守内力都不对系统做功，或这两种力对系统做功的代数和系统做功，或这两种力对系统做功的代数和为零，则系统的机械能在该过程中保持不变。为零，则系统的机械能在该过程中保持不变。 例例2 一质量一质量 的登月飞船的登月飞船, 在离在离月球表面高度月球表面高度 处绕月球作圆周运动处绕月球作圆周运动.飞船飞船采用如下登月方式采用如下登月方式 : 当飞船位于点当飞船位于点 A 时时,它向外侧短它向外侧短时间喷气时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点使飞船与月球相切地到达点 B , 且且OA 与与 OB 垂直垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为飞船所喷气体相对飞船的速度为 . 已知已知月球半

28、径月球半径 ; 在飞船登月过程中在飞船登月过程中,月球的月球的重力加速度视为常量重力加速度视为常量 .试问登月飞船在登月过程试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量中所需消耗燃料的质量 是多少是多少?m0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g 解解 设飞船在点设飞船在点 A 的的速度速度 , 月球质量月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律由万有引力和牛顿定律0vhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1

29、g已知已知求求 所需消耗燃料的质量所需消耗燃料的质量 .m得得12120sm1612)(hRgRv21)(220vvvARmhRmBvv)(01sm1709)(RhR0Bvv得得 当飞船在当飞船在A点以相对速度点以相对速度 向外喷气的短时间里向外喷气的短时间里 , 飞船的飞船的质量减少了质量减少了m 而为而为 , 并获得并获得速度的增量速度的增量 , 使飞船的速度使飞船的速度变为变为 , 其值为其值为vAvmu质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用点只受有心力作用 , 角动量守恒角动量守恒m0vAvBBvuvhORA飞船在飞船在 A点喷出气体后点喷出气体后, 在到在到达月球的过程中

30、达月球的过程中, 机械能守恒机械能守恒21)(220vvvA1sm1709BvRmmGhRmmGMM2B2Avmvm2121RmGhRmGMM222B2Avv即即1sm1615Av于是于是121sm100)(202Avvv而而vmum)(kg120ummv0vAvBBvuvhORA功能例二力势关系 势能是标量，保守势能是标量，保守力是矢量。两者之间力是矢量。两者之间是否存在某种普遍的是否存在某种普遍的空间关系？空间关系？ 普遍关系三维空间中某质点在保守力三维空间中某质点在保守力 作用下势能发生微变作用下势能发生微变碰撞系统动量弹性碰撞完全非弹碰非弹碰恢复系数正碰例题斜碰例题斜碰：两粒子不是沿它

31、们的中心连线发生碰撞。 若斜碰为弹性碰撞，且粒子系统所受外力若斜碰为弹性碰撞，且粒子系统所受外力可以忽略，则系统动量守恒、动能守恒。可以忽略，则系统动量守恒、动能守恒。续373.8 能量守恒定律能量守恒定律 能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。结论称为能量转换和守恒定律。 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现内的体现 1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程能量守恒定律可以适用于任何变化过程 2. 功是能量交换或转换的一种度量功是能量交换或转换的一种度量例如