线性代数：3-2矩阵的秩

1、2 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念定义：定义：在在 mn 矩阵矩阵 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在 A中所处中所处的位置次序而得的的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 A 的的 k 阶子式阶子式显然，显然，mn 矩阵矩阵 A 的的 k 阶子式共有阶子式共有 个个kkmnC C概念辨析：概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素与元素a12相对应的相对应的余子式余子式2123123

2、133aaMaa 相应的相应的代数余子式代数余子式矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子块阶子块12132223aaaa矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式12132223aaaa21231 212123133( 1)aaAMaa 111213212223313233aaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶

3、非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩阵矩阵 A 的一个的一个 3 阶子式阶子式111213212223313233aaaaaaaaa矩阵矩阵 A 的的 2 阶子式阶子式 如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 2 阶子式都等于零，那么这个阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也阶子式也等于零等于零 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个

4、不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)l根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表阶子式来表示示l如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零阶子式也都等

5、于零 l事实上，所有高于事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都阶的子式（如果存在的话）也都等于零等于零 因此矩阵因此矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零矩阵矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数 显然，显然，n若矩阵若矩阵 A 中有某个中有某个 s 阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则 R(A) s ；若矩阵若矩阵 A 中所有中所有 t 阶子式等于零，则阶子式等于零，则 R(A) t n若若 A 为为 n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A 的的 n 阶子式只有一个，即阶子

6、式只有一个，即|A| 当当|A|0 时，时， R(A) = n ;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵满秩矩阵当当|A| = 0 时，时， R(A) n ;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵降秩矩阵n若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) nR(AT) = R(A) 矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式TD 矩阵矩阵 AT 的一个的一个 2 阶子式阶子式111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 12132223aaaaD AT 的子式与的子式与 A 的子式对应相等，

7、从而的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) 112131122232132333142434TaaaaaaAaaaaaa 12221323aaaa例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A21032031250004300000B 解：解：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 12023 A 的的 3 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A|，而且，而且|A| = 0，因此，因此 R(A) = 2 例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A解（续）：解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，其非零

8、行有 3 行，因此行，因此其其 4 阶子式全为零阶子式全为零以非零行的第一个非零元为对角元的以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式阶子式 213032240004 ，因此，因此 R(B) = 3 还存在其还存在其它它3 阶非零阶非零子式吗？子式吗？21032031250004300000B 例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A解（续）：解（续）：B 还有其它还有其它 3 阶非零子式，例如阶非零子式，例如203012800421203518003 2020156003 结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数2

9、1032031250004300000B 二、矩阵的秩的计算二、矩阵的秩的计算例：例：求矩阵求矩阵 A 的秩，其中的秩，其中 32050323612015316414A 分析：分析：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 2012016A 的的 3 阶子式共有阶子式共有 (个个)，要从要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的334540C C 一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 . .行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数. .一个自然的想法是用初等变换将一般

10、的矩阵化为一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵. .两个等价的矩阵的秩是否相等？两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：定理：若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 证明思路：证明思路：1. 证明证明 A 经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为 B，则，则 R(A)R(B) 2. B 也可经由一次初等行变换变为也可经由一次初等行变换变为 A，则，则 R(B)R(A)，于，于是是 R(A) = R(B) 3. 经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变行变换的矩阵的秩仍然不变4. 设

11、设 A 经过经过初等列变换初等列变换变为变为 B，则则 AT 经过经过初等行变换初等行变换变为变为 BT ，从而，从而 R(AT) = R(BT) 又又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此，因此 R(A) = R(B) 第第 1 步：步： A 经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为 B，则，则R(A)R(B) 证明：证明：设设 R(A) = r ，且，且 A 的某个的某个 r 阶子式阶子式 D 0 n当当 或或 时，时，在在 B 中总能找到与中总能找到与 D 相对应的相对应的 r 阶子式阶子式 D1 由于由于D1 = D 或或 D1 = D 或或 D1 = kD，

12、因此，因此 D1 0 ，从而，从而 R(B) r n当当 时，只需考虑时，只需考虑 这一特殊情形这一特殊情形ijrrABirkAB ijrkrAB 12rkrAB 1irr2, jrr12, rkr ijrkr 1,irr2, jrr D 1D 34313233313234142434142111213111213212223212243323rraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAB12132223aaaa12132223aaaa424331233aaDaa 32334243aaaaD 323314243aaDaa 32334243aaDaa D 1D k返回返回 111121

13、3111213212223212223313233414243414243313233rkaaakakakaaaaaaaABaaaaaaaaaaaa 12132223aaaa12132223kakaaa12ppqqrrrrkrr第第 1 步：步： A 经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为 B，则，则R(A)R(B) 证明（续）：证明（续）：分两种情形讨论：分两种情形讨论：(1) D 中不包含中不包含 r1 中的元素中的元素 这时这时 D 也是也是 B 的的 r 阶非零子式，故阶非零子式，故 R(B) r (2) D 中包含中包含 r1 中的元素中的元素这时这时 B 中与中与 D 相对应

14、的相对应的 r 阶子式阶子式 D1 为为121pqrkrrDr 2DkD121212pppqqqrkrrrrrrDkDkDrrr 若若p = 2，则，则 D2 = 0，D = D1 0 ，从而，从而 R(B) r ；若若p2，则，则 D1kD2 = D 0 ，因为这个等式对任意非零常数因为这个等式对任意非零常数 k 都成立，都成立，所以所以 D1、D2 不同时等于零，不同时等于零，于是于是 B 中存在中存在 r 阶非零子式阶非零子式 D1 或或 D2，从而从而 R(B) r ，即即R(A)R(B) 定理：定理：若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 应用：应用：根据这一定理，为求矩阵的秩

15、，只要用初等行变换把根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩该矩阵的秩例：例：求矩阵求矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式32050323612015316414A 解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个

16、非零元所在的列的第一个非零元所在的列0161041004000B 0325326205161rA ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四列3205016414323610431120153000481641400000rA 00325161326041205004161000rAB R(A0) = 3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式3253256113266011216025205205 因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式分析：分析：对对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设作初等行变换变为行阶梯

17、形矩阵，设 B 的行阶梯的行阶梯形矩阵为形矩阵为 ，则，则 就是就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出中同时看出R(A)及及 R(B) 例：例：设设 ，求矩阵，求矩阵 A 及矩阵及矩阵B = (A, b) 的秩的秩1221124802, 2423336064Ab ( , )BA b A 解：解：1221112211248020021024233000013606400000rB R(A) = 2R(B) = 3矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质 若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若若 A B，则，则 R(A)

18、 = R(B) 若若 P、Q 可逆，则可逆，则 R(PAQ) = R(A) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当特别地，当 B = b 为非零列向量时，有为非零列向量时，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若若 Amn Bnl = O，则，则 R(A)R(B)n 例：例：设设 A 为为 n 阶矩阵，阶矩阵， 证明证明 R(AE)R(AE)n 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 附注：附注：n当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为当一个

19、矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩列满秩矩阵矩阵n特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵阵，也就是可逆矩阵n本题中，当本题中，当 C = O，这时结论为：，这时结论为：设设 AB = O，若，若 A 为列满秩矩阵，则为列满秩矩阵，则 B = O 例：例：设设 A 为为 n 阶矩阵，阶矩阵， 证明证明 R(AE)R(AE)n 证明：证明：因为因为 (AE) (EA) = 2E，由性质由性质“R(AB)R(A)R(B) ”有有R(AE)R(EA)R(2E) = n 又因为又因为R(EA) = R(AE)，所以

20、，所以R(AE)R(AE)n 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 解：解：因为因为 R(A) = n， 所以所以 A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，设设 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P ，满足，满足 于是于是因为因为 R(C) = R(PC)，而，而 ，故，故R(B) = R(C) nm nEO nm nEPAO nEPCPABBOBO ( )BR BRO 10104011030001300000 11214011100001300000 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：1. 可画出一条阶梯线，线的可画出一条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；2. 每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；3. 阶梯线的竖线后面是非零阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素行的第一个非零元素.行最简形矩阵行最简形