专题01动点问题中的最值最短路径问题解析版

1、专题01动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想(转化思想)，本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法 .一、基础知识点综述1 .两点之间，线段最短；2 .垂线段最短；3 .若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时， PA PB最大，最大值为线段 AB的长(如下图所示)；

2、P'4 .最短路径模型(1)单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置.如下图所示，P是x轴上一动点，求 PA+PB的最小值的作图.(2)双动点模型P是/AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作 PMN周长最小值作图方法：作已知点P关于动点所在直线 OA、OB的对称点P'、P','连接P'P'与动点所在直线的交点M、N即为所求.5.二次函数的最大（小）值2y a x h k,当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、

3、相似性质等转化为以上基本图形解答.（详见精品例题解析）三、精品例题解析例1. （2019 凉山州）如图，正方形 ABCD中，AB=12, AE=3,点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQLEP,交CD于点Q,则CQ的最大值为DP【答案】4.【解析】解：: PQXEP,，/EPQ=90° ,即/ EPB+Z QPC=90 四边形ABCD是正方形，/B=/C=90° , / EPB + /BEP=90° ./ BEP=Z QPC,BEPA CPQ,BE BPCP CQ AB=12, AE=3,BE=9,设 CQ=y, BP=x, CP=12-x, (0<

4、;x<12)9 x. -,12 x yx 12 x当x=6时，y有最大值为4,即CQ的最大值为4.【点睛】此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解 最值问题.例2. (2019 自贡)如图，已知 A、B两点的坐标分别为(8,0), (0,8).点C、F分别是直线x= - 5 和x轴上的动点，CF=10,点D是线段CF的中点，连接 AD交y轴于点E,当 ABE面积取最小值时，tan / BAD=()A. B. C. 4D.-171799【答案】B.1 【解析】解：&abe= BE OA 4BE,2 ,当BE取最小值时， ABE面积为最小值.

5、设x=5与x轴交于点 G,连接DG,因为D为CF中点， CFG为直角三角形，一,1 -_所以 DG = 一 CD 52，.D点的运动轨迹为以 G为圆心，以5半径的圆上，如图所示x=- 5由图可知：当AD与圆G相切时，BE的长度最小，如下图,x= - 5过点E作EH，AB于H,OG=5 , OA=8, DG=5,在RtAADG中，由勾股定理得:AD=12, AOEA ADG,AO ADOE DG '110求得：OE=",3由 OB=OA=8,得:14BE=, /3B=45° , AB=872.-.EH = BH = be217 23 ,AH=AB-BH =, .tan

6、 / BAD =-EHAH7.223L117 217,3故答案为B.【点睛】此题解题的关键是找到 ABE面积最小时即是 AD与D的远动轨迹圆相切的时刻.进而构造以/BAD为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解例3. （2019 南充）如图，矩形硬纸片 ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出结论：点A从点O出发，到点O为止，点E经过的路径长为 12天 OOAB的面积的最大值为 144;当OD最大时，点B在x轴B运动至点D的坐标为25 26 125.26（填写序号）(,-),其中正确的结论是【答案】

7、.2626【解析】解：根据题意可知：OE=1AB=12,2即E的轨迹为以O为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分）根据弧长公式，得点 E的路径长为： 里 12=6式，故错误； 180因为AB=24,当斜边AB上的高取最大值时， OAB的面积取最大值，点O在以AB为直径的圆上（圆心为 E）,当OELAB时，斜边 AB上的高最大, 所以OAB的面积取最大值为： 1 24 12=144,故正确；连接OE、DE,得：ODWOE+DE,当O、E、D三点共线时取等号，即OD的最大值为25,如图，过点 D作DFy轴于F,过点E作EGy轴于G,即:-12EG DF,25AF AD 5EG AE即：AF

8、12'- EG 125df设 DF=x,在 RtA ADF 中,由勾股定理得:25 26x=,26即点D的坐标为(25 26 125 262626221x2-x 25,解得:5在RtAODF中，由勾股定理得：OF=26综上所述，答案为：例4. (2019 天津)已知抛物线2，x bx c (b、c 为常数，b>0)经过点 A(- 1,0),x轴正半轴上的动点若点33、. 2 一在抛物线上，当J2AM 2QM的最小值为时,4M(m,0)是求b的值.【答案】见解析【解析】解：.一2.x bxC经过点A(-1,0),1+b+c=0,2.x bx.点 Q ( bx2 bx c 上,1 一

9、,yQ)在抛物线y234，.b>0,，Q点在第四象限,% 2AM 2QM 2 -2 AM QM2 2所以只要构造出三AM QM即可得到J2AM 2QM的最小值取N (1,0),连接AN,过M作MG ±AN于G,连接QM ,如图所示， AGM为等腰直角三角形,GM=§AM ,即当G、M、Q三点共线时,GM + MQ取最小值，即,2 AM 2QM取最小值,此时 MQH为等腰直角三角形,- bQM= .'/2QH = 22G ，GM= AM.2am2QM区 AM QM =2 233、24 QH=MH ,联立得:27m=4bm ,解得：m=2,b=4.即当,2AM2Q

10、M的最小值为更，2时，b=4.4【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将J2am2QM转化为2AM QM,进而根据两点之间线段最短及等腰三角形性质求解例5. （2019 舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板 ABC和EDF拼合在个平面上， 边AC与EF 重合，AC 12cm .当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当 点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm ；连接BD,则 ABD的面积最大值为2【答案】24-12、, 2; 36.2 24,3 12,6【解析】解：如图1所示，当E运动至E', F滑动到F'时,过D

11、'作D'GAC于G, D'H，BC交BC延长线于点 H,可得/ E'D'G=/F'D'H , D'E' D'F',E'D'GZRtAF'D'H ,D'G = G'H,D'在/ ACH的角平分线上，即C, D, D'三点共线.通过分析可知，当 D'EAC时，DD'的长度最大，随后返回初始 D点，如图2所示，D点的运动路径 为D-D'f D,行走路线长度为 2DD'A(E)图2. /BAC=30° , AC

12、=12, DE=CDBC=43 , CD=DE=6 ,2 ,由图知：四边形 E'CF'D'为正方形，CD' EF=12, .DD' CD'-CD=12-6T2d 点运动路程为 2DD ' =2412无; ABD'的面积最大，最大面积为:SAABCS正方形 E'CF'D'SA AE'D'SA BD'F=1 4 3 8.36.5 2 1 6 212 6>216、2 4,3 6 2222=36 .2 24 . 3 12 .6【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D点的运动轨迹是关键，

13、利用三角函数及勾股定理求解，计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不失难度.例6. (2019 巴中)如图，在菱形 ABCD中，连接BD、AC交于点O,过点O作OH，BC于点H,以O 为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.(1)求证：DC是圆O的切线；(2)若AC=4MC,且AC=8,求图中阴影部分面积；(3)在(2)的前提下，P是线段BD上的一动点，当 PD为何值时，PH + PM的值最小，并求出最小值.【答案】见解析.【解析】(1)证明：过点O作ON，CD于N,AC是菱形ABCD的对角线， AC 平分/ BCD,OH± BC, ONXCD,.OH=ON,又OH为圆O的半径，.ON为圆O的半径，即CD是圆O的切线.(2)由题意知：OC=2MC=4, MC=OM=2,即 OH=2,在 RtAOHC 中，OC=2OH,可得：/ OCH=30° , / COH=60° ,由勾股定理得：CH=2 .3Sh影二 SzOCH S扇形 OMH2.3 J3(3)作点M关于直线BD的对称点M',连接M'H交BD于点P,可知：PM=PM