不等式知识点归纳大全

1、不等式知识点归纳.（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值解分式不等式工上aa 0的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，X g x的系数变为正值,标根及奇穿过偶弹回）；（3）含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是分类讨论、平方转化或换元转化）；（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集、利用重要不等式a b 2痴以及变式ab （贷）2等求函数的最值时，务必注意 a, b R （或a, b非负），且 等号

2、成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值（一正二定三 等四同时）.-2 TT、.常用不等式有：，a/ 巳上 疝 皆不（根据目标不等式左右的运算结构选用）a、b、 a bc R, a2 b2 c2 ab bc ca (当且仅当a b c时，取等号)四、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：a3 b3 c 3> 3abc （ a b c 0等式即可成立，a b c<a b c 0寸取等）；五、最值定理（积定和最小）x,y 0,由x 丫>267,若积xy P（定值），则当x y时和x y有最小值2 p ；（和定积最大）x, y 0,由x 丫>2历若和x y S（

3、定值），则当x y是积xy有最大值Ts2.11.【推厂】：已知a, b, x, y R ,若ax by 1 ,则有则一 一的最小值为：x yby axb > ax yb 2、ab ( a b)211(ax by)(- -)ax y等式到不等式的转化：已知x>0, y>0, x+ 2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是即(x 2y)(x 2y) 8 0(x 2y 8)(x 2y 4) 04解得x 2y8(舍)或x 2y 4故x+2y的最小值是4如果求 xy 的最大值，则 2xy 8 (x 2y) x 2y 8 2xy 2j2xy ,然后解关于 寸讨的一元二次不等式，求 xy

4、的范围，进而得到 xy的最大值六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意：对整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径，配方、函数单调性等”， J ana一- ,» 一 一 uaa一. ."I- > I - - - - - 1-" ="-1 WWWWhWHrWWWWWWUWMVWWbWVWWWWWWW对放缩的影响).七、含绝对值不等式的性质：a、b 同号或有 0|a b | |a| |b| |a | |b| |a b|;a、b异号或有 0|a b| |a| |b| |a| |b| |a b|.

5、八、不等式中的函数思想不等式恒成立问题含参不等式包成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，具以覆盖 知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这 类问题的过程中涉及的 函数与方程”、化归与转化”、数形结合”、分类讨论”等数学思想对锻 炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈 谈这类问题的一般求解策略一、函数法(1) 一次函数 f(x) kx b,x m,n有:(2) 一元二次函数f (x) ax2bx0(a 0,x R)有:D f (x)0对x R包成立00;2) f(x)0对x R包成立(3)不

6、等式中x的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。例D设f (x)x2 2mx 2 ,当 x1,)时，f (x) m包成立，求实数m的取值范围。解：设 F(x) x2 2mx 2 m ,则当 x 1,)时,F(x)0包成立当 4(m 1)(m 2) 0即 2 m 1时，F (x) 0显然成立；当 0时，如图，F(x) 0包成立的充要条件为：0F( 1) 0 解得 3 m 2。综上可得实数 m的取值范围为3,1)。三1 2二、最值法：将不等式包成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：(1) f (x) a 恒成立a f (x)min(2) f (x) a 恒成立a f(x)m

7、ax例2.已知两个函数f(x) 8x2 16x k, g(x) 2x3 5x2 4x,其中k为实数.(1)若对任意的x3,3,都有f (x) g(x)成立，求k的取值范围；(2)若对任意的X、x23,3 ,都有f(x1)g(x2),求k的取值范围.(3)若对于任意Xi3,3，总存在Xo3,3使得g(x0) f(x1)成立，求k的取值范围.解：令 F(x) g(x) f (x) 2x3 3x2 12x k , 问题转化为F(x) 0在x 3,3上恒成立，即F(x)min0即可(2)由题意可知当x3,3时，都有f(x)max g(x)min.(3)于任意Xi3,3，总存在Xo3,3使得g(Xo)

8、f(x1)成立，等价于f x的值域是g X的值域的子集，三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。 一般地有：1) f (x) g(a)(a为参数)包成立g(a) f(x)max2) f (x) g(a)(a为参数)包成立g(a) f (x)max例3:已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且f(1)=1若m,n 1,1, m n 0时f(m) f(n) 0,若 m n解：题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义

9、在卜1,1上的增函数，故f(x)在卜1,1上的最大值为f(l)=l，则f(x) t2 2at 1对于所有的x 1,1,a 1,1恒成立 1 122at 1对于所有的a 1,1恒成立，即2ta t20对于所有的a 1,1恒成立，令g(a) 2ta t2 ,只要g(1) 0 ,g(1)0t2或 t2或t 0 .四、变换主元法理含参不等式包成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行换位”思考，往往会使问题降次、简化。例4:,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0包成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x 2)a x2

10、4x 4 0在a 1,1上包成立的问题。解：令f(a) (x 2)a x2 4x 4 ,则原问题转化为f (a) 0恒成立(a 1,1)。当x 2时，可得f(a) 0,不合题意。当x 2时，应有f(1) 0解之得x 1或x 3。 f( 1) 0故x的取值范围为(,1) (3,)。五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式包成立问题中它同样起着重要作用。函数图象和不等式有着密切的联系：1) f (x) g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；2) f (x) g(x)函数f (x)图象恒在函数g(x)图象下上方.例5.设

11、函数f (x)a J x24x,g(x) ax a ,若恒有f (x) g(x)成立，试求实数a的取值范围.解：由题意得 f(x)g(x) 、.x24x ax 2a,令 y1 / x2 4x ，y2ax 2a .可化为(x 2)2 y2 4(0 x 4,y1 0),它表示以(2,0)为圆心，2J 为半径的上半圆；表示经过定点(-2,0),以a为斜率的直线，要 使f(x) g(x)包成立，只需所表示的半圆在所表示的直线下方就可以了(如图所示).当直线与半圆相切时就有12a 2：1 2,即a 已 由图可知，要使f(x) g(x)包成立，实数a的取值 ,1a23范围是a二.3六、分类讨论在给出的不等

12、式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例6: x 2,2时，不等式x2 ax 3 a恒成立，求a的取值范围。解：设f x x2 ax 3 a,则问题转化为当x 2,2时，f x的最小值非负。一 a .7(1)当2即：a 4时，f x min f 27 3a 0 a 又a 4所以a不存在；2rnin3aaa2(2)当 2 a 2 即：4 a 4时，f x mirl f 3 a 06 a 2又2min 244 a 44 a 2a(3)当2即：a4时，f x f 2 7 a 0 a 7又a 47 a 42min综上所得：7 a 2例7:已知a是实数，函数f (x) 2ax2 2x 3 a ,如果函数y f(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围.解析：由函数f(x)的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就a 0和a 0两类情况进行讨论。 2解：函数y f(x)在区间卜1, 1上有零点，即万程f (x) 2ax 2x 3 a =0在-1, 1上有解，a=0时，