一元二次不等式恒成立中求参数范围的优化策略

1、元二次不等式包成立中求参数范围的优化策略1程序化思维过程1.1解题案例：一道高考题的四种解法32例1 (20XX年全国I理科题)已知函数f(x) = x +ax +x+1 , aw R .设函数f(x)在区间2,_1 i内是减函数，求a的取值范围.解法1 (直接求最值)题意等价于导函数f '(x )= 3x2 +2ax +1 W 0对x w ' -2 ,i恒成立，即fmax x - 01、因为二次函数f '(x )开口向上，展*於)只可能是 2 或一/ 2 1 一 . / 1 1一 r由f 一一 IW0和f 一一1£0,解得a22 < 3J 、 3)解法

2、2 (分离参数法). c21、' _1 ''1、'f (x )=3x +2ax+1M0,xW -,- 1,解出 a 之一一 3x + i < 3 3j2 <xj12'3 3x 1 '而g(x )=3x +-在x w -,-时递增，xW1,时递减x l 33 j、33 j 2 '7-,1''1、'1g - | = , g(1 )= 4 所以 3x + I = g( 1 )=2< 3 J 22< xJmax 2a -2解法3 (分类讨论求二次函数f'(x)的最大值)二次函数f '

3、(x )开口向上，对称轴是x =-a2.21、1、当aw2,a22时，f'(x近xw -2上递增，故抽仅=f''W0,33<33；<3)a -2,2 a 1r .,、,/2、'/ 1 '当 W - - M -,1 M a W 2 时，fmax(x )只可能是 f - - |或 f - I3331 3)1 3),，2、 一一 ，1、 一 一 一一由f，七0和f， *0,解得a至2,而aw 1,2,故取a = 2< 3J< 3/a 1 一一 ，2 21 f 2、当-a- - ,a<1 时，f (xx w ,上递减,f K (x)

4、= fr 0, a 曰 331 33Ji 3J综上所述a .2解法4 (转换为一元二次方程根的分布)导函数f<X )=3x2 +2ax +1 E 0对x w ' -工,-i恒成立，即对应方程1 3 3J一一一 ，一1 .，一.2 , / 2、 一f (x )= 0的两根一根比- -大，一根比-小，由根的分布f - - IW 0和33< 3；f 1、f' -1 <0>#a>2< 3J1.2案例分析：程序化的解答策略追求解题过程的简单，追求思维过程的经济，是解题研究的一项基本任务，通过 对解答充分地探讨总结，明确优化的解题途径，以利于解同类问题时

5、能节省解题能 量,缩短解题时间，提高解题效率.解法1和解法3都是把求出f '(x)的最大值作为解题目标.但解法1抓住二次 函数开口向上最大值只能在端点处取到的特点，节省了解题时间；而解法3则拘泥 于依对称轴与区间的不同位置关系，按部就班来分类探求最大值，解法相又t冗长.解法2则采用“分离参数”转换为求g(x)的最值手段，这是解包成立问题中最常用的方法，但不如解法1快捷.解法4则利用二次函数图象过渡，将不等式包成立转换为方程根的分布，充分 体现了三个二次之间的联系因此，处理一元二次不等式包成立问题，其程序化的思维过程应当是：首先考虑 能否直接求最值(譬如二次函数开口向上时只考虑最大值；而

6、开口向下时只考虑最小值，这两种情形的最值只可能出现在端点处)；再考虑用分离参数转换或者用分类讨论直接求函数的最值显然，言必谈分离不是解法排行榜上的首选，至少不是思维过程的第一步所想2合理化的转换：三类函数的最值探求是求解的终点例2 (20XX年全国I改编)已知f(x) = ax3 +3x2 x + 1(I )在R上是减函数，求a的取值范围.(II)在x 口,+«】上是减函数,求a的取值范围.2解：函数 f(x)的导数:f (x) = 3ax2 6x -1.(I)当 f (x) <0 (xwR)时，f(x)是减函数.3ax +6x1M0(x=R) u a < 0且 = 36

7、+12a M 0u a < -3.所以，当a <-3Bt,由f (x) E0,知f(x)(xw R)是减函数;(II) f'(x) =3ax2+6x-1 E0在xjl* 恒成立，分离参数得2,1 1* 3 x2令 g(x)=1(4-。口1 往-3)-3,Bx-二,-),底(0,2)3 x2x 3 x2 x故1 =2 时,g(xMn =-8 - aw-8x33例 3(20XX 年湖北省高考题)已知向量a=(x2,x+1),b=(1 -x,t),若函数 f (x)=a b 在区间(一11)上是增函数， 求t的取值范围.解：依定义 f (x) = x2 (1 -x) t(x 1)

8、 = -x3 x2 tx t,贝叶(x) = -3x2 2x t.若f (x)在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上f '(x)之0.二 f (x) >0 t >3x2 2x,在区间(1,1)上恒成立，考虑函数 g(x) = 3x2 -2x,由于g(x)的图象是对称轴为x =1,开口向上的抛物线，故要使t之3x2 -2x在区间(1, 1 )上包成立u t >g(-1),1Pt >5.故t的取 值范 Bit是5.结合前面例题，可以看到解答ax2 +bx + c>0时通常转换为三类常见的函数的最值若不等式在x w R上包成立，只要a=b = 0,c>

9、;0或a>0, <0 (见例2)若a,b,c三个字母中只有一个是参数，另两个是常数时，常转换为三类常见的函数当a为参数时，分离参数为ax'l ； -小1；问题转换为二次函数 lx)W1g(t)=ct bt的取值问题，t=-xc=-ax+且，即为常见x当b为参数时，则转换为b > -ax -c (x > 0),或者b < -ax - (x < 0)(见例1) xx而其中ac>0 (a c同号)时，对应函数g(x)=-ax-f x的”对勾函数”，其单调区间分别是(因其为奇函数，只考虑了也是奇函数，其在(0,珀情形)若ac <0 (a c异号)

10、时，对应函数g(x )= -ax - = -a x(0, +oO前(0,+°O止都单调.当c为参数时，则转换为c> -ax2 -bx，还是求二次函数y = -ax2 -bx的最值问题因此，对三类函数：二次函数，对勾函数y = x + m(m>0)及函数 xy=x-m(m>0)的单调性如能了如指掌，会大大提高解题速度.x3解一元二次不等式包成立要注意的两个问题3.1 分清主元和参数，主元的一次函数可直接求最值例4 (20XX年四川高考文科题)已知函数f (x )= x3 + 3ax 1, g(x )= fx)ax5其中(x )是的f(x)的导函数。对满足iwawl的一

11、切a的值，都有g(x)<0求 实数x的取值范围；解：由题意 g x =3x2 -ax - 3a 5令出a )=(3 xp+3x2 5, (a 斑 a 的一次函数，-1 < a < 1对一1 «a41 ,何有 g(x)<0,即中(a)<0.尸 6<0即户x2-x-2<。:-1 ：03x2 x-8 :： 0 2解得-:二 x ：二 1一 2故 x - ,133|时，对满足-1 Ma W1的一切a的值，都有g(x)c0可见在程序化思维中还要加在直接求最值中加上是否为主元的一次函数这种情形3.2 若参数不能直接分离例5 (20XX年全国卷I文史类)设a为实数，函数f x = x3 - ax2 a2 -1 x在(-°0,0 )和(1,y)都是增函数，求a的取值范围解 f Kx )=3x2 -2ax +(a2 -1),题意等价于 f '(x 心 0 在(-°°,0 )和(1,+°° )上恒成立.其中 =12 -8a2f V >0,f(x依R上递增，满足条件当 A 0时，转换为方程f '(x )= 0的两根在(0,1 )内，则f-A>0,0<a<1,f *(0)>0,