信号与系统卷积分析法

1、1信号与系统(Signal & system)教师：徐昌彪2005-3-1电路基础教学部2第二章 卷积分析法2.1 冲激函数和冲激响应2.2 任意波形信号的分解和卷积积分2.3 卷积的图解和卷积积分限的确定2.4 卷积的运算性质2.5 冲激响应的一般计算方法电路基础教学部2005年3月1日10时14分32.1 冲激函数与冲激响应2.1.1 冲激函数2.1.2 冲激函数的性质2.1.3 冲激响应电路基础教学部2005年3月1日10时14分 (t ) = 且42.1.1 冲激函数(1)工程定义 0 t 0 t = 0(1)(t)+ (t )dt = 1 0电路基础教学部t2005年3月1日

2、10时14分52.1.1 冲激函数(1)物理意义i(t)K(t=0)1VC=1Fuc i(t)=(t)uc(0-)=0电路基础教学部2005年3月1日10时14分62.1.2 冲激函数的性质(1)抽样性质? (t ) (t ) = ? (0) (t )一般 ? (t ) (t )dt = ? (0)? (t ) (t t0 ) = ? (t0 ) (t t0 ) ? (t ) (t t0 )dt = ? (t0 )电路基础教学部2005年3月1日10时14分072.1.2 冲激函数的性质(2)例：求以下各式的值e 2 t (t )(1 e 2 t ) (t )(t 2 1) (t 2)(t +

3、 2) (t + 1) (t )3 (t 2) (t + 1) 2 sin( 3 t ) (t + 1)dt32 0e t (t 1)dt0 50(t 2) (t + 2)dt 4电路基础教学部2005年3月1日10时14分 t082.1.2 冲激函数的性质(3)? (t ) (t t0 ) = ? (t0 ) (t t0 ) ? (t ) (t t0 )dt = ? (t0 )? (t ) (t t0 )dt = ? (t0 )U (t t0 )t 2t1 ? (t ) (t t)dt = ? (t0 )U (t 2 t0 ) U (t1 t0 )电路基础教学部2005年3月1日10时14分

4、92.1.2 冲激函数的性质(4) (t ) 与U (t ) 的关系 (t ) =dU (t )dt (t t0 ) =dU (t t0 )dttU (t ) = (t )dt例：如图所示信号，求 f(t)f(t)tU (t t0 ) = (t t0 )dtf(t)21-1 0 1 2t1-1 0(1)(3)12(1)t电路基础教学部2005年3月1日10时14分t0102.1.2 冲激函数的性质(5) (t ) 是偶函数 (t ) 的展缩性 (at ) =1| a | (t ) (at t0 ) =1| a | (t )a电路基础教学部2005年3月1日10时14分112.1.2 冲激函数的

5、性质(6)例：求以下各式的值e 2 t (t )(1 e 2 t ) (1 t )(2t 2 1) (2t 2)(t + 2) (2t + 1) (t )(1 e 2 ) (t 1)0.5 (t + 1)0.75 (t + 0.5) 2 sin( 3 t ) (2t + 1)dt34 0e t (2t 1)dt0.5e 0.5 50(t 2) (2t + 2)dt电路基础教学部02005年3月1日10时14分1 t0 t01 t0t1 t0 t0t 21 t0 t0 t0122.1.2 冲激函数的性质(7)? (t ) (at t0 ) =? ( ) (t )| a | a a ? (t )

6、(at t0 )dt = | a | ? ( a ) ? (t ) (at t0 )dt = | a | ? ( a )U (t a )t1 ? (t ) (at t0 )dt = | a | ? ( a )U (t 2 a ) U (t1 a )电路基础教学部2005年3月1日10时14分 t132.1.2 冲激函数的性质(8)冲激偶函数 (t) (t ) =d (t )dt (t ) 是奇函数? (t ) (t ) = ? (0) (t ) ? (0) (t )? (t ) (t t0 ) = ? (t0 ) (t t0 ) ? (t0 ) (t t0 ) ? (t ) (t )dt =

7、? (0)? (t ) (t t0 )dt = ? (t0 )? ( ) ( t0 )d = ? (t0 ) (t t0 ) ? (t0 )U (t t0 )电路基础教学部2005年3月1日10时14分3 tt142.1.2 冲激函数的性质(9)例：求以下各式的值e 2 t (t )(t 2 1) (t 2) (t ) 2 (t )3 (t 2) 4 (t 2) 2 sin( 3 t ) (t 1)dt? ( ) ( t0 )d? (t0 ) (t t0 ) ? (t0 )U (t t0 ) (at t0 )1a | a |电路基础教学部(t 0 )a2005年3月1日10时14分152.1.

8、3 冲激响应(1)单位冲激响应（Unit impulse response）含义单位冲激函数(t)激励下系统的零状态响应，简称冲激响应，用h(t)表示。 (t )x(t )h(t)的求解直接法间接法零状态系统h(t)电路基础教学部h(t )y(t )2005年3月1日10时14分44162.1.3 冲激响应(2)直接法求解h(t)举例RCduC (t )dt+ uC (t ) = usR=2RCdh(t )dt+ h(t ) = (t )usC=2Fucdh(t )dtt 0+ h(t ) = (t )dh(t )dt+ h(t ) = 0h(t ) = Ke t / 4电路基础教学部2005

9、年3月1日10时14分0 +1 t / 41 t / 4172.1.3 冲激响应(3)0+ dh(t ) 0+ 0+0 4 dt dt + 0 h(t )dt = 0 (t )dt0 +4h(t ) |0 + 0 h(t )dt = 1h(t)为有限值h(0+ ) = 1 / 44h(0+ ) h(0 ) = 1h(0 ) = 0h(t ) = e4t 0+h(t ) = e U (t )4电路基础教学部2005年3月1日10时14分1 t / 4 1 t / 4 t / 4182.1.3 冲激响应(4)间接求解h(t)举例（针对线性时不变系统）U (t )rU (t ) (t ) =对上例d

10、U (t )dth(t ) =drU (t )dtusR=2C=2FucrU (t ) = (1 e t / 4 )U (t )h(t ) =drU (t )dt= (1 e ) (t) + e U (t ) = e U (t )4 4电路基础教学部2005年3月1日10时14分192.2 任意波形信号的分解和卷积积分2.2.1 任意波形信号的分解2.2.2卷积积分（Convolution integral）电路基础教学部2005年3月1日10时14分202.2.1 任意波形信号的分解(1)如图示x(t)g (t )LLL1 / 0 23 4nt / 20 / 2 tx(t ) x(n ) g

11、n = (t n )x(t ) = lim 0 x(n ) gn = (t n ) d g (t ) (t )n g (t n ) (t )x(t ) = x( ) (t )d电路基础教学部2005年3月1日10时14分212.2.1 任意波形信号的分解(2)x(t ) = x( ) (t )d上式说明了任意波形信号 x(t ) 可以表示为具有强度为 x( )d 的冲激信号 x( )d (t ) 的积分，也就是说，任意波形信号可以分解为连续的冲激信号之和。电路基础教学部2005年3月1日10时14分222.2.2 卷积积分(1)对线性时不变系统：g (t ) h (t )x(t ) = lim

12、 0 x(n ) gn= (t n ) y(t ) = lim 0 x(n )h (t n )n= y(t ) = x( )h(t )dy(t ) = x(t ) * h(t ) 卷积积分x(t )h(t)y(t ) = x(t ) * h(t ) = x( )h(t )d电路基础教学部2005年3月1日10时14分232.2.2 卷积积分(2)例：如图示电路，求零状态响应uC(t)。解：(1)求h(t)R=1单位阶跃响应rU (t ) = (1 e t )U (t )x(t)=1VC=1FuC(t)h(t ) = rU (t ) = e t U (t )(2)求零状态响应uC (t ) =

13、x(t ) * h(t ) = 1 * e t U (t )= 1 e ( t )U (t )dt= e ( t ) d = 1电路基础教学部2005年3月1日10时14分242.3 卷积的图解和卷积积分限的确定2.3.1 卷积的图解2.3.2 卷积积分限的确定电路基础教学部2005年3月1日10时14分252.3.1 卷积的图解(1)y(t ) = x(t ) * h(t ) = x( )h(t )d按如下步骤进行：（1）改换变量：x(t)x()， h(t)h()（2）折叠： h() h(-)（3）时移： h(-) h(t-)（4）相乘： x() h(t-)（5）积分： x() h(t-)曲

14、线下的面积电路基础教学部2005年3月1日10时14分x(t)x()262.3.1 卷积的图解(2)例：求y(t)=x(t)*h(t)2 h(t)（1）x(t)x()， h(t)h()2 h()-0.5 0 0.5t0.5012t-0.5 0 0.50.5012（2）h() h(-)h(-)（3）h(-) h(t-)h(t-)（4）x()h(t-)x() h(t-)-2 -1 00.50.5t-2 t-1 0 t-2 t-1-0.5 0 0.5 t-1-0.5电路基础教学部2005年3月1日10时14分1t272.3.1 卷积的图解(3)x() h(t-)-0.5 0 0.5 -0.5t-10

15、.5x() h(t-)-0.5 0 0.50.5t-10.5（5） x() h(t-)曲线下的面积y(t)t-10.5 y(t)=0-0.5t-10.5y(t)= t-0.50.5t-11.5y(t)= 2.5-t电路基础教学部0 0.5 1.5 2.52005年3月1日10时14分282.3.1 卷积的图解(4)结论等宽方波卷积的结果是三角波三角波的宽度是方波宽度的2倍三角波的高度是两方波完全重叠时两方波相乘波形与坐标轴围成的面积不等宽方波卷积的结果是梯形波梯形波上边的宽度是两方波宽度之差梯形波的高度是宽度较小的方波完全包含于宽度较大的方波时两方波相乘波形与坐标轴围成的面积y(t)=x(t)

16、*h(t)的最小截止横坐标等于x(t)和h(t)的最小截止横坐标相加， y(t)的最大截止横坐标等于x(t)和h(t)的最大截止横坐标相加电路基础教学部2005年3月1日10时14分292.3.1 卷积的图解(5)例： 若y(t)=x(t)*h(t)，求y(1)2x(t)2h(t)02t04t解：依题意作右图示：y(1) =0.52x()h(1- )-301 2t电路基础教学部2005年3月1日10时14分302.3.1 卷积的图解(6)对上例，请完成y(t)=x(t)*h(t)。x() h(t- )202t60t22t44t6y(t)=0y(t)= 0.5t2y(t)= 2t-2y(t)=

17、2t- 0.5t2 +6电路基础教学部2005年3月1日10时14分312.3.2 卷积积分限的确定(1)法（一）：通过作图确定积分限，如上面的图解法法（二）：利用阶跃信号确定积分限对上例： x(t ) = 2U (t ) U (t 2) h(t ) = 0.5tU (t ) U (t 4)y(t ) = x(t ) * h(t ) = x( )h(t )d= 2U ( ) U ( 2) 0.5(t )U (t ) U (t 4)d = U ( )(t )U (t )d U ( )(t )U (t 4)d U ( 2)(t )U (t )d + U ( 2)(t )U (t 4)d电路基础教学

18、部2005年3月1日10时14分 322.3.2 卷积积分限的确定(2)等式右端第一项t 的定义域(上限大于下限)tU ( )(t )U (t )d = 0 (t )d U (t ) = 0.5t 2U (t )等式右端第二项为 U ( )(t )U (t 4)d= 0t 4(t )d U (t 4) = (0.5t 2 + 8)U (t 4)等式右端第三项为 U ( 2)(t )U (t )dt= 2 (t )d U (t 2) = (0.5t 2 + 2t 2)U (t 2)电路基础教学部2005年3月1日10时14分 332.3.2 卷积积分限的确定(3)等式右端第四项为U ( 2)(t

19、 )U (t 4)d= 2t 4(t )d U (t 6) = (0.5t 2 2t 6)U (t 6)从而y(t ) = 0.5t 2U (t ) + (0.5t 2 + 8)U (t 4)+ (0.5t 2 + 2t 2)U (t 2) + (0.5t 2 2t 6)U (t 6)注意：定义域的确定。电路基础教学部2005年3月1日10时14分342.4 卷积的运算性质(3)2.4.1 含有冲激函数的卷积2.4.2 卷积的运算性质电路基础教学部2005年3月1日10时14分352.4.1 含有冲激函数的卷积x(t ) * (t ) = x(t )x(t ) * (t t0 ) = x(t

20、t0 )x(t ) * (t ) = x(t )x(t ) * (t t0 ) = x(t t0 )电路基础教学部2005年3月1日10时14分362.4.2 卷积的运算性质(1)卷积代数交换律x(t ) * h(t ) = h(t ) * x(t )分配律x(t ) * h1 (t ) + h2 (t ) = x(t ) * h1 (t ) + x(t ) * h2 (t )结合律x(t ) * h1 (t ) * h2 (t ) = x(t ) * h1 (t )* h2 (t )电路基础教学部2005年3月1日10时14分372.4.2 卷积的运算性质(2)卷积微积分设 y(t ) =

21、x(t ) * h(t )则 y(t ) = x(t ) * h(t ) = x(t ) * h(t )y ( 1) (t ) = x ( 1) (t ) * h(t ) = x(t ) * h( 1) (t )y(t ) = x(t ) * h(t )= x(t ) * h( 1) (t ) = x ( 1) (t ) * h(t )= x(t ) * h( 2 ) (t ) = x ( 2 ) (t ) * h(t )My ( i + j ) (t ) = x ( i ) (t ) * h( j ) (t )注意：上述性质成立的条件是：x(t)和h(t)为可积函数。电路基础教学部2005年

22、3月1日10时14分t382.4.2 卷积的运算性质(3)例：求y(t)=x(t)*h(t)2x(t)0.5h(t)y(t)-0.5 0 0.5t012t1(2)x(t)0.5h(-1)(t)0 0.5 1.5-12.5-0.5 0 0.5 t(2)012t电路基础教学部2005年3月1日10时14分392.5 冲激响应的一般计算方法(1)时域卷积法将激励信号分解为 (t ) 信号之和；x(t ) = x( )d (t ) = x(t ) * (t )每一 (t ) 的响应 (t ) h(t ) (t ) h(t )系统的零状态响应：y(t ) = x(t ) * h(t )x(t )h(t)

23、y(t ) = x(t ) * h(t ) = x( )h(t )d电路基础教学部2005年3月1日10时14分bc a tc a t402.5 冲激响应的一般计算方法(2)(1) ay(t ) + by(t ) = cx(t )ah(t ) + bh(t ) = c (t )t 0+ ah(t ) + bh(t ) = 0 特征根 s = b / a从而 h(t ) = Keh(0 ) = 0 tah(0+ ) = K又0 0 +0 +ah(t )dt + 0 bh(t )dt = c 知 h(0+ ) = c / a所以h(t ) = eabb(t 0+ ) = e U (t )a电路基础

24、教学部2005年3月1日10时14分(*)412.5 冲激响应的一般计算方法(3)(2) a2 y(t ) + a1 y(t ) + a0 y(t ) = x(t )a2 h(t ) + a1 h(t ) + a0 h(t ) = (t )t 0+ a2 h(t ) + a1 h(t ) + a0 h(t ) = 0 特征根 s1 , s2从而 h(t ) = K 1e s1 t + K 2 e s2 t又0 0 +0 + 0 +a2 h(t )dt + 0 a1 h(t )dt + 0 a0 h(t )dt = 1且 h(t ), h(t ) 不含冲激，为有限值知h(0+ ) = h(0 ) = 0h(0+ ) = 1 / a2(*)根据式(*) 和式(*)即可确定待定系数1，电路基础教学部2005年3月1日10时14分设则 422.5 冲激响应的一般计算方法(4)(3) a2 y(t ) + a1 y(t ) + a0 y(t ) = b1 x(t ) + b0 x(t )a2 h(t ) +