信号与系统课件第四章

1、第四章：连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析本章目录本章目录FFFFFFFFFFFFFFFFFF 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析系统函数系统函数系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换连续时间系统的连续时间系统的s s域模拟域模拟 系统的稳定性系统的稳定性 引言引言)()()()()()()(trjRjHjEtejRte 1FF系统的零状态响应时间系统的频域分析为由第四章学习，知连续的过程比较繁琐。

2、、付里叶分析求逆变换的付里叶变换不存在。、有些频域分析法缺点：21)(te4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换的的付付里里叶叶变变换换存存在在。我我们们说说信信号号收收敛敛。其其付付里里叶叶变变换换积积分分式式)()()(tfdtetfjFtj时，满足绝对可积条件当函数边拉普拉斯变换一、从付里叶积分到双dttftf)()(收收敛敛。为为实实数数但但若若不不存存在在付付里里叶叶变变换换时时，当当或或或或)()(lim)(0)(lim tttttetftftf laplace transform称称为为收收敛敛因因子子即即ttedtetf)()()()()()()(jFdtetfdteetfetfFe

3、tftjtjttt的的付付里里叶叶变变换换为为：满满足足绝绝对对可可积积条条件件，它它则则dtetfsFjsstb)()(, 则上式为令也称象函数。的双边拉普拉斯变换，为信号轴的左右两边，故称因积分区间包含着时间)()(tfsFb振振荡荡因因子子衰衰减减因因子子 的逆变换由)()(21)(.)(21)()(21)(sFdsesFjtfjddsjsdesFtfdesFetfbjjstbstbtjbt 间，用来展开信号。间，用来展开信号。为基底构成函数空为基底构成函数空衰减振荡函数集衰减振荡函数集的基底，以的基底，以变换重新选取函数空间变换重新选取函数空间tjeLaplace)( 函数。而电信号中

4、大都为有始为有始信号。则称时，若)(, 0)(0tftft01( )( )stFsft edt、 定 义单 边 拉 氏 正 变 换二、单边拉普拉斯变换the unilateral Laplace transform为自变量的复变函数为自变量的复变函数是以是以是复参量，是复参量，说明：说明：ssFjss)( 。，是为了包括积分下线定为)(0t通常在电路分析通常在电路分析中所遇到的时间中所遇到的时间函数都满足上述函数都满足上述条件条件)()()()()()()()(1tfsFsFLtfsFtftfLsF或或形式拉氏正反变换的简记 dtetfttftft0)(0)()( 分分段段连连续续，且且满满足

5、足下下式式时时在在件件：拉拉氏氏变变换换存存在在的的充充分分条条是有始函数。)(tfsesdtedtettLtLststst11)()()(1000解：、求例1)()()(20dtettLtLst解：、求例lim11)(1)()()()(0)(00tsttstsstttesesdtedteteteL解解：tjtttsteee )()(limlim0收敛轴 j右半平面收敛坐标的0 j右半平面收敛坐标的Re1)()()(, 0lim0)(sssFdtetfsFesttst收敛域收敛域积分收敛积分收敛则此时则此时时，时，当当，并并讨讨论论收收敛敛域域。、求求例例)(3teLt 拉普拉氏变换的收敛区拉

6、普拉氏变换的收敛区换换存存在在。，其其拉拉斯斯变变分分段段连连续续性性质质的的通通常常指指数数阶阶函函数数且且具具有有)(tf00( )lim( )0,( )( ) ( )ttf tf t ef tf tL f t若满足那么的拉氏变换存在。与的性质有关，为收敛条件。)(0 ROC(region of convergence) of the Laplace transform划分为两个区域：划分为两个区域：平面平面的数值可将的数值可将由以上分析可知，由由以上分析可知，由s0 0收敛轴j0 收敛区不不存存在在。拉拉氏氏变变换换区区外外，拉拉氏氏变变换换存存在在，在在收收敛敛在在收收敛敛区区内内，值

7、值的的范范围围称称为为收收敛敛区区，满满足足绝绝对对可可积积条条件件的的收收敛敛区区：使使)()()(tftfetft 平平面面。，收收敛敛区区为为全全部部其其收收敛敛坐坐标标为为满满足足在在信信号号的的拉拉氏氏变变换换一一定定存存讨讨论论：有有界界的的非非周周期期对对于于单单边边拉拉氏氏变变换换sdtetft 0)( 平平面面的的右右半半平平面面。收收敛敛区区为为单单位位阶阶跃跃信信号号s00)(limt tet收敛的问题。存在，故不再讨论是否变换，其收敛区必定本书主要讨论单边拉氏微分方程的)(tf的代数方程)()(tfLsF)0(f起始条件)(tf)(sF时域法逆变换查表拉氏变换代数求解s

8、etstt11)(1)(记三对关系4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质为实常数、其中则，若一、线性性质BAsBFsAFtBftAfLsFtfLsFtfL)()()()()()()()(21212211221211212121)(21coscos1ssjsjseLeLeeLtLtLtjtjtjtj解解：、求求例例properties of laplace transform 00Re,0)(1)(Re2asaasFaatfLssFtfL则若、尺度变换)()()()()(3000sFettttfLsFtfLst则若、时移性质)()()()(000ttttftttf注意周期信号的(单边)拉斯

9、变换f(t)=f1(t)+ f2(t)+ f3(t)+f(t)= f1(t)+ f1(t-T)(t-T)+ f1(t-2T)(t-2T)+ f1(t) F1(s) f (t) F (s)F (s)= F1(s) (1+e-sT+e-2sT+) = F1(s) /(1-e-sT)换、求图示波形的拉氏变例2TE0t)(tf)()()()()()(:TttLTEttLTEtfLTtttTEtf解)1(1 111)()()(1)(2222sTsTsTeTsTsEesEseTEsTETtTTtTtLTEsTEtfL )()()()(000ttttftttf注意 )()()( sFtfeLsFtfLt则若

10、、频域平移性质4 222222sinsincos steLstssteLtt得同理由解cos3teLt 、求例)()()()()()()()()()(00005121nnnnnffsfssFstfLfssfdttdfLsFtfL则若、时域微分性质2222)1(1)(cos1sin: sssstLtL解sin4tL 、求例串联电路的电流响应。、求图示例RL5)(tiH2Vt)(344Ai5)0(sssssIssIissItidtdi103103)42)(3)(4)0()( 2)(342整理方程两边取拉氏变换解：列回路方程225. 475. 025275. 075. 025)2(5 . 1)2(2

11、103)(ssssssssssssI)(25. 4)(75. 0)()(21tetsILtit故nnstststt )()()(1)(2tssFdttfLsFtfL06)()()()(则若、时域积分性质201)()(1)()(6sdttLttLstttLt解：、求例)()()()()()(),()(721212211sFsFtftfLsFtfLsFtfL则若、时域卷积定理)()()()()()()()()(7sEsRsHsHsEsRthtetr态响应、线性时不变系统零状例)()(21)()()()(),()(821212211sFsFjtftfLsFtfLsFtfL则若、复卷积定理)(lim)

12、(lim)0()()()(90ssFtfftftftfst 的初值为则存在，存在，并有及其导数设函数、初值定理LT为真分式)(sF)(lim)(lim)()()()(100ssFtffssFtftfst 则处的单极点）左半平面内（包括原点位于的所有极点都，且存在，并有及设、终值定理LT能用此定理。存在，只有终值存在才保证极点的限制主要是为了注意：对)()(tfsFtlim的初值和终值。所对应的、试求下列例)()(8tfsF)(1(32)()3()3)(2)(1(12)()2()3)(2)(1(12)()1(2022232 sssssFsssssssFssssssF终值不存在，故平面有极点在右半

13、由于解)(1)(1)3)(2)(1(12lim)0() 1 ( :2tfsssFssssssfs322232300232611615956116595)()(161165951)()2(sssssssssssssFsFssssssF先化为真分式不为真分式，)(sF终值不存在故轴上有一对共轭极点在由于，)()(1)(lim)0()3(0tfjsjsFssFfs0)3)(2)(1(12lim)(5)(lim)0(2300sssssssfssFfss存在的和条件是：，或则若域微分与积分、LT11ttfttfdssFdtftLdssFttfLdssdFttfLdssdFttfLsFtfLsnnsn)(

14、)()()()()()()()()()()()( 2121),(),(,),(),(12aaaadaasFdaatfLaFafLasFatfL则则若若、时时参参量量微微分分积积分分4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换01110111.)()()(sbsbsbsbasasasasDsNsFnnnnmmmm的有理函数拉氏变换一般是在线性电路中，响应的)( )ttttef teee1i12nnii=112ni112n11is=ss=sisiiisss12n部分分式法：将F(S)表示为许多简单分式之和的形式，kk1k2knF(S)=s-ss-ss-ss-sk2kn(s-s )F(S)=k1+(s-s

15、)(s-ss-s令s=s ,k1= (s-s )F(S);同理可得，ki= (s-s )F(S)k因ks-skkkinverse laplace transform4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换23, 10)23)(1(2352)(3524121221sssssssDsssL有两个单实根解：由、求例31544)()(31)23)(1( 24) 1(2313524111212ssssssDsNksssssksksksss或inverse laplace transform0253352425544)()(lim23212322teesssLsssDsNkttsss21052)(522212

16、221jSsssDssseLs、解：令、求例jjsejjsssssDsNksskssksss452422122)()(52211122112jekktg4521121可以证明)2()2(2cos2552)cos(2)2cos(45252)2(221121ttessseLtektesssLtstt)cos(22121)()(1112121tekeeekeekeekjsjsttjtjttsjtsj由时域平移性质（重根）得解：、求例、, 1, 3, 0, 0)()3() 1(23432121ssssDssssL121)1(232)3()1(2)1()1(3)3()1(232202132231212s

17、sssskssskskskskskssss0121232132)3() 1(243)3(221) 1()3() 1(232113212231teetssssLsssdsdkssssskttss3723165541)()(:6511156422231ssssssssFsFmnsssssL项式相除，得中分子多项式与分母多将。不能直接用部分分式法解、求例提出整式真分式037)()()(231teettsFLtt故的展开时，当)()()(sDsNsFmntsntstsnnssssnnnnkknnnekekektfsDsNsDsNsssDsNkssksskssksFsD212111)()()()()(l

18、im)()()(.)(, 0)(1有单实根，、)cos(2)()()()(,0)(212211111211211tektfsskssksFsDsNkekkekkjsjssDtjj有一对共轭复根、11111211111111112111213( ) 0( ).()()1 ( )() (1)!11( ) (1)!(2)!mmmmmmmstmmmDsmkkkF ss ss ss sdkF s s smdss sf tktktkemm 、有 重根4.4 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析式类约束关系的复频域形一、线性定常电路中两mkkmkkmkkmkksUsItuti11110)(0)(

19、0)(0)(1两边取拉氏变换得由域形式（运算形式）、基尔霍夫定律的复频域模型元件的、sCLR2iRu时域关系Riu R)(sI)(sU复频域关系RsIsU)()(iCu)(sU)(sICS1)0(cusu)0()(sICS1)(sU)0()()()0()( cuscsUsIcuscsUiLdtduci复频域阻抗CS1)(tiL)(tu)0()()()( LisLsIsUdttdiLtuLS)(sI)(sU)0(Li)(sULS)(sIsi)0(抗电感元件的复频域阻SL。和全响应，零状态响应的零输入响应试求输出电压”，”到“由“时开关，：如图示电路已处稳态例)()()()(21010000tut

20、ututuktzsziK 1 2V9V6F2H12Li)(0tu1VuAiL69212)0(3219)0() 1 (0据题意求电路初始状态解：stL6)(6)2(求输入信号象函数域模型电路画s)3()(0sU)(b)(0sUzs)(cs6s6V32Ss211)(as6V32Ss211)(0sUzis62Ss21123319)32)(1(2112)(2312)()21211()()4(00ssssssUssUssbzizi解得：列节点方程图求响应象函数232164)32)(1()2(6)(6)()2121 ()(00ssssssssUssUssczszs解得：列节点方程图231134)32)(1

21、(122712)(23126)()2121 ()(200sssssssssUsssUssa解得：列节点方程图)(34)()()()(264)()()(39)()()5(5 . 10005 . 10105 . 1010teetutututeesULtuteesULtuttzszittzszsttzizi全响应求拉氏逆变换，得)()()(1sEsRsH输入的象函数零状态响应的象函数、定义数）一、系统函数（网络函系统的固有特性反映了线性定常网络函数全面地在同一端口。和响应对于一端口网络，激励的分类、)()()(trtesH2)(sH)(sI)(sU策动点导纳函数策动点阻抗函数)()()()()()(

22、sUsIsHsIsUsH4.5 系统函数)(sH)(1sI)(1sU)(2sU)(2sI转移电流比转移电压比转移导纳转移阻抗不在同一端口。与对双口网络，当)()()()()()()()()()()()()()(12121212sIsIsHsUsUsHsUsIsHsIsUsHtrte始条件为零。始条件为零。电路为单电源作用，初电路为单电源作用，初为响应象函数，为响应象函数，设，设函数函数：试求图示电路的网络：试求图示电路的网络例例)()(22sIsH)(sUs12SL)(1sI)(2sI2R1R)2(0)()()(2) 1 ()()()()1(1221112111sISLRRsIRsUsIRsI

23、Rscs：回路回路：回路回路解：列回路方程解：列回路方程2121211221212112)()()()()()()(RRSLCRRLCSRCSRsUsIsHRRSLCRRLCSRsCSURsIss联立求解得联立求解得转移导纳函数由网络结构和参数决定由网络结构和参数决定无关，无关，与与)()(sUsHssc1)()()()()(),()(1)()()()(:)()()1()(311sHLthtrsHsRttesEsEsRsHsHLthsH 故此时时当证的一般性质。、 。响应、试求图示电路的冲激例)(31tu)(tis)(1tuF1C21R2R2H2L)(sIs)(1sUCS11R2RSL2112

24、11)()()()()()()(22211SSSCSRLSCSRLSRsHsIsUsEsRsHs策动点阻抗解：0)4521cos()(2)()(4521121)(12)(2121, 021)(21111221121211ttetsHLtuSSsDSkSSkSSksHjSSSsDotoSSSS冲激响应令、。求该系统的冲激响应统的输入输出方程为、描述某线性时不变系例)()(6)(6)(2)(6)(11)(6)(4thtetetetrtrtrtr )(6)(6)(2)(6)(11)(6)(0)0()0()0(223sEsSEsESsRsSRsRSsRSrrr ，得对方程两边取拉氏变换即解：假设零状态

25、条件，)()32()()(332211) 3)(2)(1(6626116662)()()()()(6116662)(3212232232teeesHLthSSSSSSSSSSSSSsEsRsHsHsESSSSSsRttt故定义，得由解得。或或固固有有频频率率频频率率征征根根也也称称为为系系统统的的自自然然微微分分方方程程的的特特征征根根。特特出出点点就就是是对对应应系系统统输输入入输输称称为为系系统统的的极极点点，且且极极的的根根称称为为系系统统的的零零点点，的的根根的的有有理理分分式式，为为)(0)(0)()()()()2(jipsDzsNssDsNsH) 1 ()()(LTI0)(0)(n

26、jjjniiitebtra程程的的一一般般形形式式为为系系统统的的输输入入输输出出微微分分方方证证：描描述述)1 , 0(0)0(0)(0)0()0()0()()2()1(mjetterrrjnn时接入，在若系统处于零状态0110110000)()()()()()1(asasabsbsbsasbsEsRsHsEsbsRsannnnmmmmniiimjjjmjjjniii式式取取拉拉氏氏变变换换得得：对对分分方方程程的的特特征征根根。的的极极点点就就是是对对应应系系统统微微故故的的特特征征方方程程为为微微分分方方程程极极点点满满足足方方程程令令)(0)1 (0, 0)(00sHapasDniin

27、iiii求网络的全响应。分别为应及其一阶导数的初值点如图所示。零输入响输入信号、系统的零极，为常数、，移函数、某线性定常网络的转例. 8)0(, 4)0()()(50100120zizirraabasasbssHj104812)(a24)3()2()1(4)( tttte 240123)(st)(b(4)()(5 . 0)()()12)(4(8)(1241teesHLthssssHtt知解：由零、极点分布可)(2418161)12)(4(81)()(1)()()()(12411teessssLssHLtrssHsEsHsRtt单位阶跃响应为)3(824624)2(824624) 1(2)()3

28、(12)3(4)2(12)2(4)1(12)1(4teeteeteetrttttttzs零零状状态态响响应应)()()()()5()(1, 58)0(4)0()(124124trtrtrteetrBArrBeAetrzszittzizizittzi全响应全响应，求得，求得，由由零输入响应零输入响应具有相同的形式。子与时域分析中的转移算)()()3(pHsH阶跃信号作用于RLC串联电路的响应（自学）R)(tL0)0(i)(tiC0)0(cuRs1SL)(sISC121222122142, 0111)(11)(、令SLCLRLRSCLSLRSCLSLRSLsISSCSLRsICLRCLRCLR22

29、)(2共轭极点二阶极点重根不等实根 4.6 4.6 系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性 的求解方法学习了函数第五节我们定义了系统)()()()(sHsEsRsH)()()(sHsHsH、已知网络的方框图求、已知网络的方框图求求求、已知网络的微分方程、已知网络的微分方程、已知网络结构参数求、已知网络结构参数求321)()(sHsH由：来分析线性系统的性质本节我们将学习如何由确确定定系系统统的的稳稳定定性性确确定定系系统统的的频频率率响响应应容系统分析理论的主要内综合打下基础。本节的学习是为了系统适当的元件加以实现。究如何用统函数的性质出发来研系统综合理论则是从系一、一、 系统函数极点和

30、零点的分布系统函数极点和零点的分布定定对对实实轴轴成成镜镜像像对对称称。的的极极点点和和零零点点的的分分布布必必、)(1sH的根也是故即则，若设由证：0)(0)()(0)(0)()()(00000sFjssFsFscscsFjssFscsFsasasHkkkkriikiriikkkkkkriiinjjjmiiikij极点、零点典型的分布图nitpiniiiiekpskLsHLth0111)()(2应应、极极点点、零零点点与与冲冲激激响响t)(th0减幅的自由振荡位位于于左左半半平平面面ip为为负负实实根根ip为为正正实实根根ip位位于于虚虚轴轴上上ipt)(th0)(等幅正弦振荡jt)(th0

31、增幅的自由振荡)cos(21tekt)(th增长的指数函数0t)(tht衰减的指数函数0Pi位于右半平面0则称该网络为稳定。逐渐衰减并趋向于零，过程随着时间的推移，影响下，其过渡若电网络在初始条件的电网络稳定性的定义：定。生有界响应，则系统稳稳定系统：有界激励产位位于于左左半半面面。点点一一定定系系统统，其其系系统统函函数数的的极极结结论论：一一个个稳稳定定的的线线性性。决决定定了了电电网网络络是是否否稳稳定定质质决决定定了了零零输输入入响响应应的的性性自自然然频频率率的的极极点点)(sH 二、系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系二、系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系的的变变化化情情

32、况况。应应随随信信号号频频率率弦弦信信号号激激励励之之下下稳稳态态响响频频率率特特性性是是指指系系统统在在正正、频频率率特特性性1相幅特性幅频特性率率特特性性串串联联谐谐振振电电路路的的电电流流频频例例如如RLCUIRLjcj11o0II012的的选选择择性性和和通通频频带带宽宽频频率率特特性性决决定定了了电电路路频率特性频率特性转转移移电电压压比比响响应应决决定定了了系系统统变变量量的的频频率率、入入出出UUejHjHjHj)()()()(2)(sin)(2)()(2)sin()(tUjHUeUejHUjHUeUUtUumjmjmmj出出入入出出入入则则设设也也就就确确定定了了。变变化化的的

33、曲曲线线随随，的的幅幅、相相频频特特性性确确定定了了故故)()(2tujHjssHjHthFjHsHsH)()()()()()(3如如下下关关系系：有有与与极极点点时时，在在虚虚轴轴上上及及右右半半平平面面无无、当当)(246p上册页证明见郑君里书)()(4和和、用用零零极极点点法法分分析析jH)()()()()()()()()(21102110)(pjpjzjHsHjHpspszsHsHejHjHjsj设由321132101321021111101111)()()()()()()(321MMMHjHeMeMeMHpjpjzjHjHjHjjj和和，用用作作图图法法确确定定令令321321211

34、111jjjeMpjeMpjeMzj令令的大小的大小了了结论：零极点分布决定结论：零极点分布决定)(jHj3M2M1M3212p1p1z1j低通网络、一阶例RC11u2uRcsRcscRscsUsUsH1111)()()(12Rcp11极点：极点：零点：无零点：无析。析。响特性入手分响特性入手分研究需要从频研究需要从频而滤波网络的而滤波网络的件是滤波网络，件是滤波网络，重要的组成部重要的组成部系统中，一种系统中，一种在通信、控制在通信、控制)(thtRceRc11t时域特性0jjs 零极点图0MRc1RC)(jH频域特性0121Rcc1)(co90o45内内在在联联系系。具具有有率率越越低低。

35、由由此此可可见见：而而其其幅幅频频特特性性的的截截至至频频减减越越慢慢，虚虚轴轴，则则其其时时域域响响应应衰衰极极点点越越靠靠近近零零极极点点图图的的,c1p全通网络、例RC2RCCR1u2ucuRcsRcssRcsRcscRRscRscsUsUsHsUscRRsUscRscsUuuuRc1)1(11111)()()()(1)(11)(121122Rc1Rc1MNj零极点分布图MNjH)(10幅频特性)(01800相频特性090c产产生生幅幅度度失失真真。常常用用来来作作相相位位校校正正而而不不络络。这这种种网网络络幅幅频频特特性性为为常常数数的的网网全全通通网网络络001(bsasasH）一

36、般形式为一阶网络函数的0100010100)(baabsbsabssabsajpjpzjpz低通高通全通)(jH0)(jH0)(jH0通通网网络络还还是是全全通通网网络络。网网络络，高高零零点点决决定定了了网网络络是是低低通通总总位位于于负负实实数数轴轴上上，其其络络该该极极点点一一个个极极点点，对对于于无无源源网网由由此此可可见见一一阶阶网网络络具具有有FF0120122(bsbsasasasH）二阶网络函数同理可推得01201220120220121012220120bsbsasasabsbsasabsbssabsbssabsbsaj1p2p21zz、j1p2pzj1p2p1zj1p2p2

37、z1z1p2p2zj低通)(jH0高通)(jH0)(jH0带通)(jH0带阻0w全通)(jH0轴互为镜像轴互为镜像零点与极点对于零点与极点对于j可可由由实实验验测测得得确确定定系系统统结结构构参参数数求求求求零零极极点点分分布布系系统统综综合合过过程程：依依据据求求频频率率特特性性求求零零极极点点分分布布系系统统分分析析过过程程：已已知知)()()()()(jHsHjHjHsHFF4.7 4.7 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换在某些情况下，有时还要考虑双边时间函数，如周期信号、平稳随机过程等，或是不符合因果律的理想系统，这时就需要用双边拉普拉斯变换来分析。一、双边拉普拉斯变换一、双边拉普拉斯

38、变换1 1、双边拉普拉斯变换的定义、双边拉普拉斯变换的定义 stddFsLf tf t edt f t aft bft是一个双边函数，可将其分解为右边函数和左边函数之和，即 abf tfttftt将f(t)代入双边拉普拉斯变换的定义式，则有 00ststddbaFsLf tft edtft edt baFsFs aFs bFs f t若、同时存在，且二者有公共收敛域，则的双边拉氏变换为 aft aFs bft bFs右边函数的拉氏变换和左边函数拉氏变换之和。 baFsFs)(sFd aFs bFs f t如与没有公共收敛域，则的双边拉氏变换就不存在。2 2、如何求左边函数的拉氏变换、如何求左边

39、函数的拉氏变换 bFs 0stbbFsft edt令 t，则上式成为 0sbbFsfe d再令 sP，则上式成为 0PbbFpfed综上所述，求取左边函数的拉氏变换 bFs可按下列三个步骤进行： t bf（1）令，构成右边函数；bf bFp（2）对求单边拉氏变换得；pps bFs（3）对复变量取反，即，就求得。 ttf tetet0例4.28 求双边指数函数，的双边拉普拉斯变换。解：首先求右边函数的拉氏变换 aFs 1,aaFss左边函数的拉氏变换 bFs求取如下：（1） 0,bbtffte；（2） 1bbFpLfL ep 1 ,psbbbFsFps（3） 0 aFs bFs 因为，所以和有公

40、共收敛域， 故 dFs存在并为 22112,dabFsFsFssss 二二. . 双边拉普拉斯反变换双边拉普拉斯反变换例4.29 求 246dFsss，的时间原函数。收敛域分别为46（1）6（2）4（3）14p26p解：（1）由极点分布和给定收敛域作下图。可见，左侧极点为，右侧极点为。0t aft左侧的极点对应于的右边函数将 dFs展开成部分分式有 1146dFsss 1414taftLets0t bft右侧的极点对应于的左边函数 16s bft bft对应于的是左边函数，的求取如下 sp1166 ( )sPF psp 令，得； 对( )F p求单边拉氏反变换，得 16 ( )bfLF pe

41、令= =- -t t，即 6tbbtftfet最后得其解为 46ttftetet三三. . 双边信号作用下线性系统的响应双边信号作用下线性系统的响应 3ttf tetet 2th tet例4.30 已知激励信号，系统冲激响应为，求系统的响应。解：由双边拉氏变换有 113131 ,ddabFsLf tFsFsss 1,22H sL h ts 而 dFs H s21 可见，与有公共收敛域 ， 故 R s存在，则有 2123dR sFs H ssss121,21s1s2s3 1s 由收敛域可知，为右侧极点，对应的左边时间函数为 111tbdr tLets23s,s 12321223ttadrtLee

42、tss均为右侧极点，对应的右边时间函数为故系统的响应 1232tttdabr tLR srtr teetet4.8 4.8 连续时间系统的连续时间系统的s s域模拟域模拟 则着重控制工程。计初步原理。应用背景系统性能分析或系统设。从这节内容转向时域法和变换域方法基本求解方法线性时不变系统的性能分析以及信号通过前面内容侧重讨论信号)(系统模型。框图组合建立之一：即利用基本的方解决上述矛盾的方法得要领。十分繁琐或不法是不行的，研究过程在实际中只依赖这种方统分析，方法方程或差分方程）的系建立数学模型（微分为什么要模拟？。或仿真的方法称为系统模拟图运算单元给出系统方框利用线性微分方程基本一、何谓系统的

43、模拟)(到系统设计（综合）。有助于从系统分析过渡与互联的研究方法也特征的实质，系统分解这种方法容易理解性能简化。统时，分析过程将得以将它们组合构成复杂系果熟知各单元性能，解为若干基本单元，如系统的模拟是将系统分、模拟图用基本单元法二、线性系统的模拟方1)()(2)(21)(1sXxsXxtt)()()()(21)(2)(1sXsXYxxtystt加法器加法器: :)()(sYyt初始条件为零的积分器初始条件为零的积分器时域形式tdxty0)()(复频域形式)(1)(sXssY 乘法器乘法器: :)()(sXxta)()(sYyt)()()()(saXsYtaxty)(tx)(tys1)(sX)

44、(sY初始条件不为零的积分器初始条件不为零的积分器)(tx)0(y)(tytdxyty0)()0()(s1sy)0()(sX)(sYssXsysY)()0()(、一阶微分方程的模拟2xyay0yaxy0 x0ay y0a)(sXs1)(sY条件，故是零状态响应以上模拟图都未计初始)(ssY、二阶系统的模拟3xyayay01 )()()()(012sYassYasXsYss10a1a)(sX)(2sYs)(ssY)(sY页规则阶系统的模拟可以推出由一、二阶系统的模拟329Pns1xbxbyayayx01014 拟的导数的二阶系统的模、含有qbqbyyxqaqaqqq01012) 1 (1, ）式

45、满足（则）满足方程（使引入一辅助函数方程即可证明代入原、将)2() 1 (称为直接模拟框图。系统函数作出的，一般根据系统的微分方程或以上讨论的框图是直接)(sXs11a 0a1b0b)(sY)(sqs2)(ssq)(sqs1阶系统的方程为一般、并联模拟框图n5)(.01)(01) 1(1)(nmxbxbxbyayayaymmnnn)()()(.).()().()()()(.)(21221121)01110111sHsHsHpskpskpskpspspszszszsbsXsYasasasbsbsbsbsHnnnnmmnnnmmmm则)(1sH)(2sH)(sx)(sY对其他子系统无影响。平面上的

46、位置，而的极点或零点在响该子系统某一子系统的参数仅影并联，调整将大系统分解为子系统s级一阶子系统的并联n)(sHn、级联模拟框图6)().()()(21sHsHsHsHr联级一阶或二阶子系统级r)(2sH)(sHr.)(1sH)(X s)(Y s7 7、反馈系统、反馈系统 1121HsH sHs Hs整个反馈系统的系统函数为 图。试画出该系统的模拟框统函数：已知某连续系统的系例1231)(123ssssH统模拟框图于是可得零状态下的系解：)()(2)(3)()()()()(2)(3)(1231)()()(232323sYssYsYssXsYssXsYssYsYssYsssssXsYsH)(sX

47、s132)(3sYs)(ssY)(2sYs)(sYs1s11)()()()3()2();() 1 ()(23tytetxthat，求零状态响应若输入写出系统的微分方程；系统函数和冲激响应试求统的模拟框图。为某线性时不变连续系：图例中所标。，各积分器的输出如图输入端加法器的输出为图右边所示。设域模拟框图如图假设零状态，画解：)()()() 1 (sqbbs)(tX321)(ty)(a) 1 ()(2311)()(2)(3)()()(2121sXsssqsqssqssXsqb由上式解得可知由)(231)() 1 ()()()()()(21212121sXsssssYsqsssqssqssY式代入上式，得将输出端的加法器输出为)(sXs1321)(sy)(sq)(1sqs)(2sqs)(bs1)()23()()(2312231231)()()(2122121teesHLthssssssssssXsYsHtt故)()()(2)(3)()()()()23()()2(2txtxtytytysXssXsYsssH 系统的微分方程为得由)()32()(32231131)2)(1(1)()()(31)()()3(23teeetysss