剪力和弯矩图关系 平衡微分方程

1、4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds目录载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1. q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为水平直线；剪力图为水平直线； M M(x) (x) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线； M M(x) (x)

2、为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凸形。），抛物线呈凸形。3.3. 剪力剪力F Fs s=0=0处，弯矩取极值。处，弯矩取极值。4.4. 集中力作用处，剪力图突变；集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变集中力偶作用处，弯矩图突变4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录5 5、也可、也可通过积分方法确定剪力、通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。弯矩图上各点处的数值。

3、 SddFxMxFMddSbabaxFMddS baFAaMbMSqxFddSxqFddSbabaxqFddS baSSqAaFbF 从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图剪力图在该点没在该点没有变化。有变化。 4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载

4、荷集度、剪力和弯矩间的关系目录微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。矩数值。建立建立F FS S一一x x和和M M一一x x坐标系，并将控制面上坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。与弯矩图。 4-5 4-5 载

5、荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题例题4-64-6 简支梁受力的大简支梁受力的大小和方向如图示。小和方向如图示。试画出试画出其剪力图和弯矩图。其剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、

6、B截面截面。 4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 5 5根据微分关系连图根据微分关系连图线线4 4应用截面法确定控应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩制面上的剪力和弯矩值，并将其标在值，并将其标在F FS S x x和和 M Mx x 坐标坐标系中。系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS (kN)O0.89 kN=1.11 kN4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷

7、集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、B两侧截面。两侧截面。 FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs（ kN）0.891.114-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（-）4 4从从A A截面左测开始画截面左测开始画弯矩图。弯矩图。 M（ kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到

8、左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.114-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右目录qBAFAyFBy例题例题4-7 4-7 试画出梁试画出梁的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00，BAMM求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qa

9、FqaFByAy4349,qa2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。 C4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（+）（-）（+）qBAFAyFByC3 3建立坐标系建立坐标系建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx4 4确定控制面上的确定控制面上的剪力值，并将其标剪力值，并将其标在在F FS

10、Sx x中。中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5 5确定控制面上的确定控制面上的弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M Mx x中。中。qa49qa434-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录 （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力2 2确定控制面，确定控制面，即即A A、B B、D D两侧截面。两侧截面。 3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4qa4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（+） M （+） （-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/4qa4 4求出剪力为零的点求出剪力为零的点 到到A A的距离。的距离。 B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2 AB AB段段为上凸抛物线。且有为上凸抛物线。且有极大值。该点的极大值。该点的弯矩为弯矩为 1/21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81q