信号的时域分析

1、第二章第二章 信号的时域分析信号的时域分析测控技术与仪器测控技术与仪器 2.2 2.2 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解 2.3 2.3 初始条件的确定初始条件的确定2.4 2.4 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应2.5 2.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应2.6 2.6 卷积卷积 系统分析包括三方面内容系统分析包括三方面内容: : 1 1、建立系统模型、建立系统模型 teEtedtdEtedtdEtrctrdtdctrdtdcmmmmmnnnnn111011102 2、求解系统模型：、求解系统模型： 3 3、对系统做出物理解释、对系统做出物理解释 时域法和卷积

2、时域法和卷积时域分析时域分析: :不通过任何变换不通过任何变换, ,直接求解系统微分、积分方程直接求解系统微分、积分方程. .系系统的分析与计算全部在时间变量领域内进行统的分析与计算全部在时间变量领域内进行. .优点优点: :直观直观, ,物理概念清楚物理概念清楚, ,是学习其它变换的基础是学习其它变换的基础缺点缺点: :计算烦琐计算烦琐. .2.22.2微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解idcVdtdVcidtdiLUccL1, tVVttute22,00,2sin求1.1.元件的约束特性元件的约束特性: :二二. .建立微分方程建立微分方程 例例: :已知已知 一、建立微分方程准

3、则一、建立微分方程准则 2 2、系统结构的约束特性、系统结构的约束特性:KCL,KVL:KCL,KVL dttdVcidticdticiRtedticdticiR22211222221111101111 dttdVidtidtidtiitedtidtii22212221131022322 331202512222122211dttdViiidtdidttdeiidtdi解解: :列回路方程列回路方程KVLKVL tetVdttdVdttVd64722222解得解得 01110trctrdtdctrdtdcnnnnn0110nnncccn,21 tntthneAeAeAtr2121nAAA,21

4、nk,11 tntktkkkhnkeAeAeAtAtAtr11122111.1.齐次解齐次解齐次方程齐次方程 特征方程特征方程 （1 1）有）有 个各不相同的特征根个各不相同的特征根, , 则齐次解则齐次解 由初始条件决定由初始条件决定. .则则n（2 2）有）有K K阶重根阶重根三三. .用时域经典法解微分方程用时域经典法解微分方程完全解完全解= =齐次解齐次解+ +特解特解 teEdtdEtedtdEtrctrdtdctrdtdcmmmmmnnnnn11101110pt1121pppBtBtBpptBtBtBB2210teteB1ttetBtBBetBB222121或tcostsintBt

5、Bsincos212.2.特解特解 （1 1）将激励）将激励e(te(t) )代入微分方程右端代入微分方程右端, ,得到得到”自由项自由项”（2 2）依自由项形式在表中选特解形式）依自由项形式在表中选特解形式B(tB(t) )（3 3）根据方程两端对应项系数相等的原则求出特解的待定系数）根据方程两端对应项系数相等的原则求出特解的待定系数. . 自由项自由项 响应函数响应函数r(tr(t) )的特解函数形式的特解函数形式B(tB(t) ) E( E(常数常数) ) B1 若特解与齐次解相同,则为若为K重根则特解为 tettpcostettpsin +teDtDtDteBtBtBtppptppps

6、incos1111 tBtrtrnnAAA,21 tBeAeAeAtnttn2121 tBeAeAeAtrtnnttn212211nAAA,21t0000 1, 1 , 0;0,0,0,01nkrrdtddtdrrkn记为3.3.完全解完全解: :4.4.求待定系数：求待定系数：利用给定的边界条件代入完全解构造利用给定的边界条件代入完全解构造n n个方程个方程= =得联立方程得联立方程, , 可求得系数可求得系数.规定规定: :求解区间求解区间:e(t:e(t) )是在是在t=0t=0时刻加入时刻加入, ,则求解区间定义为则求解区间定义为 对于对于0 0时刻时刻 边界条件边界条件: :)(tr

7、 tBdtdeAeAeAtrntnnntntnnn11122111121)( 0+0+时刻响应时刻响应, ,及其各阶导数及其各阶导数, ,称为初始条件称为初始条件. . nAAA,210)0(00001112211111221121BdtdAAArdtddtdBAAAdtdrBAAArnnnnnnnnnn nititBeAtri1i利用这组初始条件求系数利用这组初始条件求系数表示系统的自由响应，与激励无关只由系统自身特性决定表示系统的自由响应，与激励无关只由系统自身特性决定四四. .对响应做出物理解释对响应做出物理解释 nitihieAtr1齐次解齐次解 特征根特征根称为系统的固有频率称为系统

8、的固有频率( (自由频率自由频率, ,自然频率自然频率) )特解特解B(tB(t) )为系统的强迫响应为系统的强迫响应, ,只与外加激励信号只与外加激励信号e(te(t) )的形式有关的形式有关. .完全响应完全响应r(tr(t)=)=强迫响应强迫响应+ +自由响应自由响应 tetVdttdVdttVd66722222 ttute2sin00, 0022VV tV26, 1061067212 ttheAeAtV6212 ttVdttdVdttVd2sin66722222 tte2sin66 tBtBtBtBtBtBtBtBtB2sin42cos42cos22sin22sin2cos212121

9、例例: :已知已知解：解：1.1.求齐次解求齐次解 自由响应自由响应2.2.特解特解: 自由项自由项: 求：求：（1）503502121BB tteAeAtVtt2cos50212sin50362123.3.完全解完全解: :4.4.确定确定A A1 1, , A A2 2 00, 0022VV5032512025066005021021212212AAtAAdtdVAAV tteetttV2cos50212sin503503251262强迫响应自由响应 固有频率固有频率-1,-6-1,-6000t02.32.3初始条件的确定初始条件的确定时间上的关系时间上的关系激励信号作用于系统的时刻称为激

10、励信号作用于系统的时刻称为0 0时刻时刻t=0t=0加入加入e(te(t) ) 激励接入系统之前的瞬间用激励接入系统之前的瞬间用0 0- -表示表示 激励接入系统之后的瞬间用激励接入系统之后的瞬间用0 0+ +表示表示1.01.0时刻时刻 0-,0+0-,0+时刻定义时刻定义 一一. .几个概念几个概念2.2.响应区间响应区间: :指加入激励之后系统的响应指加入激励之后系统的响应, 0,0,0011rdtdrdtdrrnnk3.3.系统的起始状态、初始条件系统的起始状态、初始条件 起始状态起始状态: :系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态, ,简称简称0-0

11、-状态状态 初始条件初始条件: :系统在激励信号加入之后瞬间有一组状态系统在激励信号加入之后瞬间有一组状态, ,简称简称0 0+ +状态状态 0,0,0011rdtdrdtdrrnnk t t00rr二二. .冲激函数匹配法求冲激函数匹配法求0 0+ +状态状态1.1.时间考虑的是时间考虑的是0-t0+0-t0+ 2.2.当系统已经用微分程表示时当系统已经用微分程表示时, ,系统系统0 0- -状态到状态到0 0+ +状态有没有跳变状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含决定于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数及其各阶导数. .及其各阶导数及其各阶导数, ,说明说明0 0- -到到0

12、 0+ +发生跳变发生跳变, ,即即如果包含有如果包含有3.3.冲激函数匹配法原理冲激函数匹配法原理说明说明: :（2 2） 函数匹配法只是求响应及其各阶导数在激励函数不连续点函数匹配法只是求响应及其各阶导数在激励函数不连续点 处的跳变量处的跳变量 （1 1） 函数匹配法只匹配函数匹配法只匹配 及其各阶导数项，及其各阶导数项， 使方程两端这些的系数项对应相等使方程两端这些的系数项对应相等. . t（3 3）若匹配完之后）若匹配完之后,r(t,r(t) )中出现中出现 函数及其各阶导数项函数及其各阶导数项, ,其为解的一部分其为解的一部分, ,应放在响应应放在响应r(tr(t) )中中. . 0

13、0, 00,33rrtetrdttdr例例: :已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为,对以下情况分别求系统的响应对以下情况分别求系统的响应. .1 1、e(t)=u(te(t)=u(t) 2) 2、e(te(t)= )= t 3 3、e(te(t)=)= t, 2.42.4零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应对于线性时不变系统对于线性时不变系统, , 可以把系统响应分解成另一种形式：可以把系统响应分解成另一种形式：全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应一一. .零输入响应零输入响应 1 1、定义：、定义：没有外加激励信号没有外加激励信号, ,只有起始状态只

14、有起始状态0-0-状态状态 ( (起始时刻系统起始时刻系统) )所产生的响应所产生的响应. . 1, 1 , 0,0011110nkrtrctrdtdctrdtdctrdtdckzinzinzinnzinn tzizikkeAtr tnnzietAtAAtr121解：（解：（1 1）n n个不重根个不重根 （2 2）有）有n n重根重根由由0 0- -状态求状态求0 0+ +状态状态: :没外加激励作用没外加激励作用, ,因而系统状态不发生变化因而系统状态不发生变化. . 0kr 0kr= = tetedtdtedtdtrtrdtdtrdtd461072222Ar560 tute4例例: :求

15、零输入响应求零输入响应.sArdtd/205, 20107212 ttzieAeAtr5221152342520560212121AAAArAArzizi 01523452ttueetrttzi解解: :二二. .零状态响应求法零状态响应求法 trzs程经典法：直接解微分方卷积积分法 trzs 1, 1 , 0, 0001110nkrteEtedtdEtrctrdtdctrdtdckmmmzsnzsnnzsnn1.1.定义定义: :起始状态等于起始状态等于0,0,由外加激励产生响应由外加激励产生响应2.2.求法求法: :满足满足 trzs nktzstBeAkk1= =齐次解齐次解+ +特解特

16、解= = tuterrtetedtdtedtdtrtrdtdtrdtdzszszszszs4, 000461072222 0585221teAeAtrttzs tute4例例: :把把代入代入( (* *) ) tutttrtrdtdtrdtdzszszs1624410722 tetedtdtedtdtrtrdtdtrdtd461072222 tute4sArdtd/20求求：零状态响应：零状态响应解：解： 44422cbatuatrtubtatrdtdtuctbtatrdtdzszszs4040400400zszszszszszsrrbrrarr1543821AA 0581543852ttu

17、eetrttzs 5815438152345252ttttzszieeeetrtrtr tueeeetttt581525458152345252稳态响应稳态响应瞬态响应瞬态响应: :瞬态响应瞬态响应: :2.5 2.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应一一. .冲激响应冲激响应 t 1, 1 , 0, 00101110nkhtEtdtdEthcthdtdcthdtdckmmmnnnnn1.1.冲激响应定义冲激响应定义: :系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 的激励下的激励下产生的零状态响应产生的零状态响应h(th(t) ) 1, 1 , 0, 00, 01110nkhththcthdtd

18、cthdtdcknnnnn齐次方程解t0 0, 0,0tttk时2.2.求求h(th(t) ) 简化方程简化方程(1) (1) 原因原因: :求解区间求解区间当当 tueAthnktkk1mn tatatatatueAthnmnmnmnmnktkk11211 0kh tbtueAthmnktkk1mn tbtbtbtueAthnmnmmmnktkk11 解齐次方程解齐次方程 确定系数确定系数: :由冲激函数匹配法由冲激函数匹配法, ,求求 mn mn tetedtdtedtdtrtrdtd33222 00, 00332hhtttthdttdh tAeth2 tuctbtathtudtctbta

19、dttdh ttttuctbtatudtctbta33222例例: :求冲激响应求冲激响应解解: :用冲激函数匹配法求系数用冲激函数匹配法求系数11132321cbabcaba10, 100Ahhh tttuetht2 teEdtdEtedtdEtrctrdtdctrdtdcmmmmmnnnnn11101110 teththtetrzs dtete teHtr dthedtHedteH teththte trzs3.3.冲激响应的一个重要应用冲激响应的一个重要应用-求系统的零状态响应求系统的零状态响应证明证明: :因为任意信号可以用冲激信号的组合表示因为任意信号可以用冲激信号的组合表示( (信

20、号分解信号分解) )把把e(te(t) )作用于线性时不变系统作用于线性时不变系统 h(th(t) )是在零状态下定义的是在零状态下定义的, ,所以得到的是零状态响应所以得到的是零状态响应 利用卷积性质求利用卷积性质求 1, 1 , 0, 001110nktgtuEtudtdEtgctgdtdctgdtdckmmmnnnnn1 0, 0,0tttk时 00,1110kmnnnnngEtgctgdtdctgdtdc非齐次方程2 BeAtgnktkk1二二. .阶跃响应阶跃响应1.1.定义定义: :系统在单位阶跃信号系统在单位阶跃信号u(tu(t) )的激励下产生的的激励下产生的 零状态响应零状态

21、响应g(tg(t) )2.2.求法求法: :（1 1）解微分方程方法）解微分方程方法简化方程简化方程: : 解方程解方程3确定系数确定系数A Ak k（2 2）利用）利用u(tu(t) )与与 t之间关系之间关系 1tu测控技术与仪器测控技术与仪器 对于任意两个信号对于任意两个信号f1(x)f1(x)和和f2(x) ,f2(x) ,两者的卷积运算两者的卷积运算的非零上限的非零上限)()(utth1.1.定义：定义：dtfftftftf)(2)( 1)()()(21dtfftftf)( 1)(2)()(122.2.积分限的确定积分限的确定ttdedthethtetr0)()()()()()( 例

22、： 0)()(的非零下限的非零下限uth卷积积分下限是卷积积分下限是0 0卷积积分上限是卷积积分上限是t t )( te)(e)(th2.6 2.6 卷卷 积积 3.3.卷积物理意义卷积物理意义若两函数在左边界为若两函数在左边界为t tl1,l1,t tl2l2右边界为右边界为t tr1r1,t,tr2r2 积分下限积分下限max(tmax(tl1,l1,t tl2l2) ), ,积分上积分上min(tmin(tr1r1,t,tr2r2) )(th)(te)()()(thtetrzs11)()()()()()(lim)(1111110ttttedttttettttete)()(tht )()(

23、11tthtt111111101110)()(lim)()(limttttttthtetttte111111)()()()(dttthtedtttte)()()(trthte利用卷积可以求系统的零状态响应利用卷积可以求系统的零状态响应: : )()()(thtetrzs4.4.计算卷积方法计算卷积方法图解法图解法解析法，利用卷积定义求积分解析法，利用卷积定义求积分利用卷积性质求利用卷积性质求例：例：)()(),()()()()(3221321tftftftftftftf波形如图，求与，)(1tf)(2tf)(3tf2725211421dtffdtfftftf)()()()()()(122121

24、改为ttt,)()(21tff解：图解法：解：图解法： 卷积积分需要五个步骤：卷积积分需要五个步骤：把反摺后信号移位，移位量是把反摺后信号移位，移位量是两信号重叠部分相乘两信号重叠部分相乘完成相乘后图形积分完成相乘后图形积分改换图形中的横坐标，由改换图形中的横坐标，由把其中一个信号反摺把其中一个信号反摺是参变量是参变量 具体解：具体解：1 1 把把t 2 )()(11tff反摺移位326351211221tdtttt当0)()(32121tftftt当)(1f217)(2f21257t2)(1tf1t 329627515221dttt当tdttt1221295725721当2217t1t252

25、127t251t27t51t2120)()(125721tftftt当 1201291296363330)()()(21ttttttttftftf结论：两个时限信号卷积结果左边界，右边界分别是两个时限信号左边界之和及右边界之和。若两个矩形函数宽度相等，则卷积将产生一个三角波，不同宽度的矩形函数卷积将产生一个梯形波。212257t1t 369123)(tf满足如下条件：和数如果参与卷积的两个函)()(tftflSlSlTTT且时限长度.,TSlllRLtf和左右时限分别为长函数)(SssRLtf和左右时限分别为短函数)(有：即对时限长的信号反转积分号内统一表示为.)()(dtffls快速定限法快

26、速定限法: : 两函数的时限值两两相加两函数的时限值两两相加, ,得到定义域得到定义域. .积分限如图积分限如图lsLtLssRLslRRt00 7122521)(1tf)(2tf例：例：dtfftftftf)()()(*)()(1221ddtff221)()(12关键：关键：1.1.卷积结果各分段时限的确定卷积结果各分段时限的确定 2.2.各分段内卷积积分限的确定各分段内卷积积分限的确定2 定出定义域，两正数的时限值两两相加的不定积分求关于13216519271257 3.确定积分限03691212t5257t312tt352tt125701201291296363330)(*)()(21t

27、tttttttftftf) t (f*) t (f) t (f*) t (f122 1) t (f*) t (f) t (f*) t (f)t (f) t (f *) t (f312 132 15.5.卷积的性质卷积的性质2 2 分配率分配率: : 1 1 交换率交换率: :3 3 结合率：结合率： )t (f) t () t (f) t (f)t (f) t (f32 132 14 4 卷积的微分：其中一函数之导数与另一函数之卷积卷积的微分：其中一函数之导数与另一函数之卷积 5 5 卷积的积分：其中一函数之积分与另一函数之卷积卷积的积分：其中一函数之积分与另一函数之卷积 dt)t (f d)

28、 t (f) t (fdt)t (f d)t (f) t (f dtd212121 t21 t21 t21)(f*d)(fd )(f) t (fd)(f)(f ) t (f) t (fdt) t (dfd )(fd )(fdt) t (df212 t-1 t-21) t (f) t (f)t (f) t (fdtdd )(f) t (f dtd212 t-1 t-216 6 卷积的微积分：卷积的微积分： 的卷积与) t ()(tf) t (f) t () t (f)t - t (f)t - t () t (f00)T-T- t (f)T- t ()T- t (f2121)T-T- t ()T-

29、 t ()T- t (21217 7 任意时间函数：任意时间函数： 例：例：1112)2( tf13)(tf*)2( td )(f)()(f ttut8 8通过积分器相当于卷积任意时间函数与)(:) t (utf通过微分器响应相当于卷积与)(:)(f(t)tft) t (f) t () t (f) t (f) t () t (f(n)(n)9 9)t -t (f)t -t () t (f0(n)0(n) t (f) t (f) t (f 21设)tt -t (f)t -t (f)t -t (f)t -t (f)t -t (f2112212211) t (f) t (f 21求10 10 时刻性

30、时刻性 例：例： *2) t (f1121) t (f2725 解：解：用解析法5)-u(t)2t (u21) t (f)7t (u)1t (u 2) t (f21)12t (u)12t ()9t (u)9t ()6t (u)6t ()3t (u)3t()5t (u)5t ()2t (u)2t(*)7t () 1t ()5t (ud)2t (ud*)7t () 1t (d)5(u)2(u21*)7t () 1t (2d)(f*dt) t (df) t (f*) t (ft5t2 t t-2121172dttdf)(1dft)(2）（2）（25*232521217*)(1tf)(2tf33691233|2215252d129633幅值确定方法：短时限函数脉宽幅值确定方法：短时限函数脉宽* *长幅值长幅值* *短幅值短幅值例：例：求系统零状态响应。）已知,1()(),(sin)(tutetutth) 1() 1cos(1)