信号与线性系统分析第二章

1、12.1 LTI连续系统的响连续系统的响应应2.2 冲激响应和阶跃响冲激响应和阶跃响应应2.3 卷卷积积分积积分2.4 卷积积分的卷积积分的性质性质2一一. .微分方程的经典解法微分方程的经典解法 n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程f(t)b(t)fb(t)fby(t)a(t)ya(t)y0-1)(m-1m(m)m0-1)(n-1n(n) 微分方程的微分方程的全解全解由由齐次解齐次解yh(t)和和特解特解yp(t)组成组成 y(t)=yh(t)+yp(t) 齐次解齐次解齐次解由齐次微分方程求得齐次解由齐次微分方程求得 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=0 )1a()

2、 t (fb) t (yann0im0j) j(j) i (i 3 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=0 齐次解是形如齐次解是形如Ce t函数函数的线性组合。的线性组合。将将Ce t代入上式并整理后可得代入上式并整理后可得 n+an1 n1+a0 =0上式称为微分方程的特征方程，其上式称为微分方程的特征方程，其n个根称为微分方程个根称为微分方程的的特征根特征根。yh(t)的函数形式完全由的函数形式完全由n个特征根个特征根 i(i=1,2,n)决定。决定。 i可为单根或重根。可为单根或重根。 i可为实数或复数，微分方程为实常系数时，总是以可为实数或复数，微分方程为实常系数时，

3、总是以共轭复数的形式出现。共轭复数的形式出现。4若齐次方程的若齐次方程的n个特征根均为实单根，则其齐次解个特征根均为实单根，则其齐次解 e tCcos( t)+Dsin( t) 或或 Ae tcos( t+ ) 单共轭复根单共轭复根 1, 2=j (Cr1tr1+Cr2tr2+C0)e tr重实根重实根 Ce t单实根单实根 齐次解齐次解yh(t)特征根特征根 r重共轭复根重共轭复根 1r0iiiit)tcos(tAe n1itihieC) t (y5 特解特解特解的函数形式与特解的函数形式与f(t)的形式有关，以及的形式有关，以及f(t)与特征根的与特征根的形式是否相同有关。形式是否相同有关

4、。 Pcos( t)+Qsin( t) 或或 Ae tcos( t+ ) cos t或或sin t Pe t ( i) 或或 e tPrtr+Pr1tr1+P0e t Pmtm+Pm1tm1+P0 ( i 0) 或或 trPmtm+Pm1tm1+P0tm特解特解yp(t)f(t)6 f(t)为常数为常数1时，则特解为时，则特解为b0/a0。考察函数考察函数f(t)在在t 0时作用，则全解的定义域时作用，则全解的定义域0， )。 全解由齐次解和特解组成，待定常数由初始条件全解由齐次解和特解组成，待定常数由初始条件y(0)、y(1)(0)、y(n1)(0)确定。确定。例：微分方程为例：微分方程为

5、y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)。求：求： 当当f(t)=2et，t 0；y(0)=2，y(0)=1时的全解。时的全解。解：特征方程为解：特征方程为 2+5 +6=( +2)( +3)=0特征根为特征根为2、3，微分方程的齐次解，微分方程的齐次解 yh(t)=C1e2t+C2e3t当当f(t)=2et(t 0)时，特解为时，特解为 yp(t)=Pet7将将yp(t)、yp(t)、yp(t)和和f(t)代入微分方程得代入微分方程得 Pet+5(Pet)+6Pet=2et所以所以P=1，则特解为则特解为yp(t)=Pet=et微分方程的全解微分方程的全解 y(t)=yh(t)+yp(t)

6、=C1e2t+C2e3t+et其一阶导数为其一阶导数为 y(t)=2C1e2t3C2e3tet令令t=0，并代入初始值，并代入初始值y(0)=2、y(0)=1得得 y(0)=C1+C2+1=2 y(0)=2C13C21=1解得解得C1=3、C2=2，由此得由此得 y(t)=3e2t2e3t+et t 08线性常系数微分方程求解过程：线性常系数微分方程求解过程：n n阶线性常系数微分方程阶线性常系数微分方程求特征根求特征根得齐次解得齐次解yh(t)得微分方程解得微分方程解得特解得特解yp(t)确定确定yp(t)的形式的形式求待定系数求待定系数P、Q得全解式，根据初始得全解式，根据初始值求待定系数

7、值求待定系数C、D9例：微分方程为例：微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)。求：当求：当f(t)=e2t，t 0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。时的全解。解：微分方程的齐次解解：微分方程的齐次解 yh(t)=C1e2t+C2e3t当当f(t)=e2t (t 0) ，其，其特解为特解为 yp(t)=P1te2t+P0e2t将将yp(t)、yp(t)、yp(t)和和f(t)代入微分方程，得代入微分方程，得P1=1。则特解为则特解为 yp(t)=te2t+P0e2t微分方程的全解微分方程的全解y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t =(

8、C1+P0)e2t+C2e3t+te2t =C1e2t+C2e3t+te2t10其一阶导数为其一阶导数为 y(t)=2C1e2t3C2e3t+e2t2te2t令令t=0，并代入初始值，并代入初始值y(0)=1、y(0)=0得得 y(0)=C1+C2=1 y(0)=2C13C2+1=0解得解得C1=2、C2=1，由此得由此得 y(t)=2e2te3t+te2t t 0例：微分方程为例：微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)。求：当。求：当f(t)= 10cost，t 0；y(0)=2，y(0)=0时的全解。时的全解。解：微分方程的齐次解解：微分方程的齐次解 yh(t)=C1e2t

9、+C2e3t当当f(t)=10cost (t 0)，其特解形式为其特解形式为 yp(t)=Pcost+Qsint11将将yp(t)、yp(t)、yp(t)和和f(t)代入微分方程，求得特解代入微分方程，求得特解 yp(t)=cost+sint最后可得全解为最后可得全解为 y(t)=2e2te3t+cost+sint t 0若若f(t)=ejt=cost+jsint，微分方程解为，微分方程解为yp(t)，则根据线性，则根据线性性质，当性质，当f(t)=cost时，解为时，解为Reyp(t)。上例中，可令上例中，可令f(t)=10ejt，得解为得解为 yp(t)=(1j)ejt=cost+sint

10、+j(sintcost) 求微分方程也就是确定解的形式与全部待定系数。求微分方程也就是确定解的形式与全部待定系数。 解的形式根据表解的形式根据表21和表和表22确定，待定系数由初始确定，待定系数由初始条件求出。条件求出。12 用算子方法求微分方程用算子方法求微分方程 td) (p1 dtdp 积积分分算算子子：微微分分算算子子： n0im0j) j(j) i (i) t (fb) t (ya 微微分分方方程程) t ( fpb) t (ypa m0jjjn0iii 微分算子方程微分算子方程) t ( f )p(B) t (y(p)A 简简记记为为) t ( f )p(H) t ( f)p(A)

11、p(B) t (y 则则011n1nn011m1mmmapapapbpbpbpb)p(A)p(B)p(H 传传输输算算子子13二二. 关于关于0与与0+的初始值的初始值 用微分方程表达动态系统时，则用微分方程表达动态系统时，则f(t)为系统输入，为系统输入，y(t)为系统输出。为系统输出。 将时间轴分成两段，以将时间轴分成两段，以t=0为界，左段的右端点记为界，左段的右端点记为为0，右段的左端点记为，右段的左端点记为0+。 解微分方程时，确定解的待定系数需要一组解微分方程时，确定解的待定系数需要一组初始条初始条件件y(j)(0+)(j=0,1,2,n1) 。 y(j)(0)(j=0,1,2,n

12、1)反映了系统的历史情况而与激反映了系统的历史情况而与激励无关，称这些值为励无关，称这些值为初始状态初始状态。 0与与0+的引入是由于系统输出不连续，引起的引入是由于系统输出不连续，引起y(j)(0+)和和y(j)(0)产生差异。表现为系统中出现产生差异。表现为系统中出现 (t)函数函数。14例：微分方程为例：微分方程为 y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)+2f(t)，已知已知y(0)=1，y(0)=1；f(t)= (t)。求求y(0+)和和y(0+)。 解：将输入解：将输入f(t)代入微分方程得代入微分方程得 y(t)+2y(t)+y(t)= (t)+2 (t) (1)由上式可设由上式

13、可设 y(t)=a (t)+r0(t) (2) y(t)=a (t)+b (t)+r1(t) (3) y(t)=a (t)+b (t)+c (t)+r2(t) (4)将式将式(2)、(3)、(4)代入式代入式(1)，由方程左右系数相等可，由方程左右系数相等可得到得到a=1，b=2，c=5。即即 y(t)= (t)+r0(t)15 y(t)= (t)2 (t)+r1(t) y(t)= (t)2 (t)+5 (t)+r2(t)对对y(t)等式两边从等式两边从0到到0+积分积分得得 y(0+)=y(0) 2= 1同理，对同理，对y(t)等式两边从等式两边从0到到0+积分积分 0010000dt) t

14、 (rdt) t (2dt) t ( )0(y)0(y 002000000dt) t (rdt) t (5dt) t ( 2dt) t ()0( y)0( y得得 y(0+)=y(0)+5=4对比对比y(0)=1，y(0)=1。16 零输入零输入响应响应yzi(t)：激励激励f(t)=0，仅由初始条件，仅由初始条件y(j)(0+)(j=0,1,2,n1)所引起的响应。所引起的响应。 零状态零状态响应响应yzs(t)：初始状态初始状态y(j)(0)=0，仅由输入信，仅由输入信号号f(t)所引起的响应。所引起的响应。 LTI系统的全响应为系统的全响应为 y(t)=yzi(t)+yzs(t) yzi

15、(t)为齐次方程的解，为齐次方程的解，yzs(t)为非齐次方程的解。为非齐次方程的解。当特征根为单根时，用经典解法求解分别有当特征根为单根时，用经典解法求解分别有 n1jtzijzijeC) t (y) t (yeC) t (ypn1jtzsjzsj 则全响应为则全响应为 ) t (yeCeC) t (ypn1jtzsjn1jtzijjj ) t (yeCpn1jtjj 17初始状态和初始条件之间关系初始状态和初始条件之间关系:全响应的各阶导数为全响应的各阶导数为 y(j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t) ( j=0,1,2,n1 )分别令分别令t=0和和t=0+代入上式得代入上

16、式得 y(j)(0)=yzi(j)(0)+yzs(j)(0) y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+) 对于因果系统：对于因果系统： yzs(j)(0)=0对于连续系统：对于连续系统： yzi(j)(0+)=yzi(j)(0)因此因此 y(j)(0)=yzi(j)(0)=yzi(j)(0+) y(j)(0+)=y(j)(0)+yzs(j)(0+)当输入是在当输入是在t=t0时刻接入，则把式中时刻接入，则把式中0换为换为t0。18系统的全响应为系统的全响应为强迫响应：由激励信号确定的响应形式当输入信号含有阶跃函数或有始的周期函数时，系当输入信号含有阶跃函数或有始的周期函数时，

17、系统的全响应可分解为统的全响应可分解为瞬态响应瞬态响应和和稳态响应稳态响应。 ) t (yeCeC) t (ypn1jtzsjn1jtzijjj 自由响应：由系统本身的特性确定的响应形式19例：微分方程为例：微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f (t)+6f(t)；初始状态初始状态y(0)=2，y(0)=1；输入函数；输入函数f(t)= (t)。求零输入响应和零状态响应。求零输入响应和零状态响应。解：解：(1) 零输入响应零输入响应yzi(t)零输入响应满足齐次方程零输入响应满足齐次方程 y(t)+3y(t)+2y(t)=0 输入为输入为0，则有，则有yzi(0+)=y(0)=2

18、，yzi(0+)=y(0)=1。特征根为特征根为1，2，则零输入响应为，则零输入响应为 yzi(t)=Czi1et+Czi2e2t代入初始值解得代入初始值解得Czi1=5，Czi2=3，所以系统的零输入，所以系统的零输入响应为响应为 yzi(t)=5et3e2t 20(2) 零状态响应零状态响应yzs(t)当当f(t)= (t)时，系统零状态响应满足方程时，系统零状态响应满足方程 yzs(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2 (t)+6 (t) yzs(0)=yzs(0)=0t=0处，处，yzs(t)含有含有 (t)，yzs(t)有跃变，有跃变，yzs(t)应连续。应连续。对方程两边从对方

19、程两边从0到到0+积分得积分得 yzs(0+)yzs(0)+3yzs(0+)yzs(0)=2所以所以 yzs(0+)=0， yzs(0+)=2在在t0的区间，方程应为的区间，方程应为 yzs(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6显然有显然有 yzs(t)=Czs1et+Czs2e2t+3 t 021代入初始值可求得代入初始值可求得Czs1=4，Czs2=1，系统的零状态响系统的零状态响应为应为 yzs(t)=(4et+e2t+3) (t) 可应用可应用LTI系统零状态响应的线性性质和微分特性求系统零状态响应的线性性质和微分特性求系统零状态响应：系统零状态响应：微分方程微分方程 y(t)+3

20、y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)先求方程先求方程 yzs1(t)+3yzs1(t)+2yzs1(t)=f(t)初值初值 yzs1(0)=yzs1(0)=0得得yzs1(t)= et+0.5e2t+0.5，则，则 yzs(t)=2yzs1(t)+6yzs1(t) =(4et+e2t+3) (t)22(3) 全响应全响应y(t)全响应为全响应为 y(t)=yzi(t)+yzs(t)也可直接求也可直接求 y(t)+3y(t)+2y(t)=2 (t)+6 (t) y(0)=2，y(0)=1对方程两边从对方程两边从0到到0+积分得积分得 y(0+)y(0)+3y(0+)y(0)=2所以所以

21、y(0+)=2， y(0+)=3方程的解为方程的解为 y(t)=C1et+C2e2t+3 t 0代入初始值可求得代入初始值可求得C1=1，C2=2，系统的全响应为，系统的全响应为 y(t)=(et2e2t+3) (t) 23 定义系统的定义系统的冲激响应冲激响应 h(t)=T0， (t) 设设n阶微分方程为阶微分方程为 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=f(t) 则当则当f(t)= (t)时，其零状态响应满足方程时，其零状态响应满足方程 h(n)(t)+an1h(n1)(t)+a0h(t)= (t) h(j)(0)=0， j=0，1，2，n1 对方程从对方程从0到到0+积分

22、，可得积分，可得 (t)h(t)y(0)=0LTI系统系统一一. 冲激响应冲激响应 24 h(j)(0+)h(j)(0)=0， (j=0,1,2,n2) h(n1)(0+)h(n1)(0)=1 即即 h(j)(0+)=0， (j=0,1,2,n2) h(n1)(0+)=1系统冲激响应可看作在上述初始条件下方程系统冲激响应可看作在上述初始条件下方程 h(n)(t)+an1h(n1)(t)+a0h(t)=0 (t0)的零输入响应。将冲激输入转换成初始条件。的零输入响应。将冲激输入转换成初始条件。 如果微分方程的特征根均为单根，则其冲激响应如果微分方程的特征根均为单根，则其冲激响应 ) t (eC)

23、 t (hn1itii 25例：微分方程为例：微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求系统的冲激响应也就是求如下微分方程的解求系统的冲激响应也就是求如下微分方程的解 h(t)+5h(t)+6h(t)=0 h(0+)=0，h(0+)=1齐次方程的解为齐次方程的解为h(t)=(C1e2t+C2e3t) (t)，代入初始条件代入初始条件得得 h(t)=(e2te3t) (t) 一般地，微分方程为一般地，微分方程为 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+b0f(t) 设设 y1(n)(t)+an1y1(n1)(t)+a0y1(t)=f(t)令上式的

24、冲激响应为令上式的冲激响应为h1(t)，根据，根据LTI系统的微分特性系统的微分特性26得系统的冲激响应得系统的冲激响应 h(t)=bmh1(m)(t)+bm1h1(m1)(t)+b0h1(t) 例：微分方程为例：微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)+2f(t)+3f(t)先求方程先求方程 h1(t)+5h1(t)+6h1(t)= (t)h1(t)已求得为已求得为 h1(t)=(e2te3t) (t)则系统的冲激响应为则系统的冲激响应为 h(t)=h1(t)+2h1(t)+3h1(t)= (t)+(3e2t6e3t) (t)式中式中 h1(t)=(2e2t+3e3t) (t)

25、+(e2te3t) (t) =(2e2t+3e3t) (t)对对h1(t)求导可得求导可得h1(t)。27二二. 阶跃响应阶跃响应 定义系统的定义系统的阶跃响应阶跃响应 g(t)=T0， (t) 设设n阶微分方程为阶微分方程为 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=f(t) 则当则当f(t)= (t)时，其零状态响应满足方程时，其零状态响应满足方程 g(n)(t)+an1g(n1)(t)+a0g(t)= (t) g(j)(0)=0， j=0，1，2，n1 由于等号右端只含由于等号右端只含 (t)，故除，故除g(n)(t)外，外，g(t)及其直到及其直到n1阶导数均连续，即有初始

26、条件阶导数均连续，即有初始条件 (t)g(t)y(0)=0LTI系统系统28 g(j)(0+)=g(j)(0)=0， j=0，1，2，n1 若微分方程的特征根均为单根，则阶跃响应若微分方程的特征根均为单根，则阶跃响应) t (a1eC) t (gn1i0tii 式中式中1/a0为特解。为特解。Ci由初始值确定。由初始值确定。单位阶跃函数与单位冲激函数的关系为单位阶跃函数与单位冲激函数的关系为 t-dx)x(t) dt) t (d) t (根据根据LTI系统的微积分特性，阶跃响应与冲激响应的系统的微积分特性，阶跃响应与冲激响应的关系为关系为 t-dx)x(h(t)g dt) t (dg) t (

27、h 29例：求图示系统的阶跃响应。例：求图示系统的阶跃响应。解：可直接写出系统的微分方程为解：可直接写出系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)+2f(t)先求方程先求方程 g1(t)+3g1(t)+2g1(t)= (t) g1(0+)=g1(0+)=0解得解得 g1(t)=(et+0.5e2t+0.5) (t)由此得由此得 g(t)=g1(t)+2g1(t)=(3et+2e2t+1) (t)_ f(t)y(t)32_+_230=0yzi(j)(0) yzi(j)(0+)yzs(j)(0) yzs(j)(0+) y(j)(0) y(j)(0+)0t( j=0,1,2,n1

28、)初值问题初值问题yzi(j)(t)yzs(j)(t)y(j)(t)31一一. 卷积积分卷积积分 面积为面积为1的函数序列的函数序列pn(t)，当趋于极限时成为单位冲当趋于极限时成为单位冲激函数激函数) t (plim) t (nn pn(t)0t1/nn/2幅值幅值f(k)将任意激励信号将任意激励信号f(t)用脉冲序列代替，每段宽度为用脉冲序列代替，每段宽度为=2/n，其，其k段的幅值用段的幅值用f(k)表示。表示。f(t)0tk kn)kt (p)k( f) t ( ff(t)可近似表示为可近似表示为32设设LTI系统在系统在pn(t)作用下的零状态响应为作用下的零状态响应为hn(t)，则

29、在激，则在激励励f(t)作用下的零状态响应为作用下的零状态响应为 knzs)kt (h)k( f) t (y在在0的极限情况下，求和成为积分的极限情况下，求和成为积分 d)t ()( f)kt (p)k( flim) t ( fkn0上式的积分形式称为上式的积分形式称为卷积积分卷积积分。信号与系统分析的基本方法：信号与系统分析的基本方法： f(t)f( )d(t )f( )d h(t )yzs(t) d)t (h)( f)kt (h)k( flim) t (ykn0zs 33 一般地，如有两个函数一般地，如有两个函数f1(t)和和f2(t)，卷积积分定义为卷积积分定义为 d)t (f )(f)

30、 t (f21简记为简记为 f(t)=f1(t)*f2(t) 卷积的存在性：若两个函数均为有始可积函数，即卷积的存在性：若两个函数均为有始可积函数，即 若若tt1，f1(t)=0，tt2，f2(t)=0，则两者的卷积存在。则两者的卷积存在。 例例1：求：求 (t)* (t)的卷积积分。的卷积积分。解：解： d)t ()() t (*) t ( 例例2：求：求 (t)*e t (t)的卷积积分。的卷积积分。解：解： tdt0 ) t ( d)t ()(e) t (e*) t (t) t ()e1(1dett0 34t0)(tee 例例3：求：求e t (t)* e t (t)的卷积积分。的卷积积

31、分。解：解： d)t (e)(e) t (e*) t (e)t (tt t0)(tdee ) t ()ee (1tt 常用信号的卷积积分见附录一。常用信号的卷积积分见附录一。任意信号任意信号 f(t)=f(t)* (t)零状态响应零状态响应 yzs(t)=h(t)*f(t)h(t)yzs(t)f(t)35二二. 卷积的图示卷积的图示给定信号：给定信号：f1(t)= (t) (t3)，f2(t)=et (t)，求求y(t)=f1(t)*f2(t)。f2( ) 0f1( ) 03f2(t)t01f1(t)t03136f1( ) 00t33f2(t )t3f(3)3t ()e1() t ()e1()

32、 t (f*) t (f)3t (t21 tf2(t )f(t)t0tf2(t ) d)t (f )(f) t (f21f1( ) 0t337一一. 卷积的代数运算卷积的代数运算 交换律交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) 分配律分配律f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)yzs(t)f(t)h1(t)h2(t) +结合律结合律f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t) h1(t)h2(t)yzs(t)f(t)yzs(t)=f(t)*h1(t)+h2(t) =f(t)*h(t)yzs(t)=f(t)*h1(

33、t)*h2(t) =f(t)*h(t)38二二. 函数与冲激函数的卷积函数与冲激函数的卷积 根据卷积的定义根据卷积的定义) t ( f*) t () t (*) t ( fd)t ()( f) t ( f 推广得推广得 f(t)* (tt1)= (tt1)*f(t)=f(tt1) (tt1)* (tt2)= (tt2)* (tt1)= (tt1t2)f(tt1)* (tt2)=f(tt2)* (tt1)=f(tt1t2) 波形的平移：波形的平移：f(t)t0 (tt0)t0t0f(t)* (tt0)t0t039若若f(t)=f1(t)*f2(t) 则则f1(tt1)*f2(tt2)=f1(tt

34、2)*f2(tt1)=f(tt1t2)证：证： f1(tt1)*f2(tt2)=f1(t)* (tt1)*f2(t)* (tt2) =f1(t)* (tt2)*f2(t)* (tt1) =f1(tt2)*f2(tt1)f1(tt1)*f2(tt2)=f1(t)* (tt1)*f2(t)* (tt2) =f1(t)*f2(t)* (tt1)* (tt2) =f(t)* (tt1t2)=f(tt1t2) 40例例(1) ：求求 (t+3)* (t5)。因为因为 (t)* (t)= t (t)所以所以 (t+3)* (t5)=(t+35) (t+35) =(t2) (t2) 例例(2)：求：求e2t

35、 (t+3)* (t5) 。因为因为)5t (*)3t (ee)5t (*)3t (e)3t (26t2 )2t ()e1(e21)2t (26 ) t ()e1(1) t (e*) t (tt 41定义定义梳状函数梳状函数为为f0(t)t0 f(t)t0 T(t)t0T 2T-T-2T -mTmT)(t) t (梳状函数与梳状函数与f0(t)的卷积为的卷积为 -m0T0mT)(t*) t (f(t)*) t (f) t ( ff0(t)* T(T)是以是以T为周期的周期函数。为周期的周期函数。 -m0-m0mT)(tfmT)(t*) t (f 42三三. . 卷积的微分与积分卷积的微分与积分

36、 d)t (f )(fdtd) t (f21(1)利用卷积利用卷积 的交换律可得另一等式。的交换律可得另一等式。 d)t (fdtd)(f21) t (f*) t (f)1(21 卷积的微分卷积的微分若若f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)则有卷积的微分性质则有卷积的微分性质 f(1)(t)=f1(1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t) 证：证： t1)(1)dx)x( f) t (fdtdf(t) t (f微积分的表示微积分的表示43 卷积的积分卷积的积分若若f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)则有卷积的积分性质则有卷积的积分性质 f(1

37、)(t)=f1(1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t) 证：证： t211)(dxd)x(f )(f) t (f同理可得另一等式。同理可得另一等式。 ) t (f*(t)fddy)y(f)(f1)(21t21 ddx)x(f)(ft2144 LTI系统的微分和积分特性正是卷积的微分和积分特性系统的微分和积分特性正是卷积的微分和积分特性 yzs(t)=h(t)*f(t) yzs(1)(t)=h(t)*f(1)(t) yzs(1)(t)=h(t)*f(1)(t) 卷积的微积分卷积的微积分所以所以)( fdd)(df) t ( ft )( f) t ( fdd)(dft 因为因为45应

38、用卷积的积分性质，则有应用卷积的积分性质，则有 ) t (f*)(fd)(f) t (f*) t (f21t1121 ）（同理可得同理可得 dt) t (f)(f) t (f*) t (f) t (f*) t (f1212)1(121）（) t (f*)(fd)(f*) t (f21t211 ）（ dt) t (f)(f) t (f*) t (f21)1(211）（) t (f*)(f) t (f*d)(f212t11 ）（46则有卷积的微积分则有卷积的微积分卷积的微积分成立的条件：卷积的微积分成立的条件：a) 被求导的函数被求导的函数f1(t)（或（或f2(t)）在在t= 处为零值；处为零值

39、；b)或被积分的函数或被积分的函数f2(t)（或（或f1(t)）在在( ， )区间上的区间上的积分值为零。积分值为零。当当f1(t)和和f2(t)都为有始信号时，总是满足条件。都为有始信号时，总是满足条件。) t (f*) t (f) t (f*) t (f) t (f*) t (f)1(2)1(1)1(2)1(121 当当f1(t)和和f2(t)满足满足 0dt) t (f)(fdt) t (f)(f1221 47例：求卷积例：求卷积1+ (t)*et (t)。解：直接应用定义求解：直接应用定义求 d)t (1)(e) t (e*)t (1 t应用卷积的微积分求应用卷积的微积分求 ttd)(

40、e*) t () t (e*)t (1 dt) t (e1t1) t ()e1(dtedet0tt0 d)t ()(ed)(e) t ()e1(1dedett00 48根据卷积的微分和积分运算，可得根据卷积的微分和积分运算，可得杜阿密尔积分杜阿密尔积分) t (h*) t (f) t (h*) t ( f) t (y)1()1(zs k)kt ()k( f) t ( f其实质是将信号分解成一系列阶跃函数之和：其实质是将信号分解成一系列阶跃函数之和：f(t)0tk f(k) 卷积的微分和积分推广可得卷积的微分和积分推广可得 f(i)(t)=f1(j)(t)*f2(ij)(t) d)t (g)(

41、f) t (g*) t (f)1( 49 kzs)kt (g)k( f) t (yLTI系统在激励系统在激励f(t)作用下的零状态响应为作用下的零状态响应为 在在0的极限情况下，可得的极限情况下，可得 d)t ()( f) t ( f d)t (g)( f) t (yzs) t (g*) t ( f k)kt ()k( f) t ( f k)kt ()k( f50例例2.44 ：求图示函数的卷积。：求图示函数的卷积。0 123tf1(t)210 12tf2(t)-110 12tf2(1)(t)-20123tf1(1)(t)401 23tf1(t)*f2(t)44551例：求例：求t (t1)*

42、 (t2)。解：解： t (t1)* (t2)= (t1)+(t1) (t1)* (t2) (t)* (t)= (t)* (t) = (t)* (t)= (t)t (t)* (t)= (t)* (t)* (t) = (t)* (t)* (t)= (t)t (t1)* (t2)= (t1)* (t2)+(t1) (t1)* (t2) = (t3)+ (t3)52例：例：LTI连续系统如图所示，已知连续系统如图所示，已知ha(t)=0.5e4t (t)，gb(t)=(1et) (t)，gc(t)=2e3t (t)，f(t)= (t) (t2)，求求系统的冲激响应和零状态响应。系统的冲激响应和零状态

43、响应。y(t)f(t)ha(t)gb(t) +gc(t)解：解： hb(t)=gb(t)=et (t)+(1et) (t)=et (t)hc(t)=gc(t)=6e3t (t)+2e3t (t)=2 (t)6e3t (t)系统的冲激响应为系统的冲激响应为53 h(t)= (t)*ha(t)+hb(t)*hc(t)=0.5e4t (t)+et (t)*2 (t)6e3t (t) t ()ee (136) t ()ee (433) t ()e2e (t3tt3t4tt4 系统的阶跃响应为系统的阶跃响应为 t4td) t ()ee4(d)(h) t (g) t ()ee4(tt 4 ) t ()ee

44、 (d)ee4(t4tt04 输入为输入为f(t)= (t) (t2)时零状态响应时零状态响应 yzs(t)=g(t)g(t2)=(ete4t) (t)e(t2)e4(t2) (t2)54也可直接列出阶跃输入时系统运算关系式也可直接列出阶跃输入时系统运算关系式 g(t) = (t)*ha(t)+ (t)*gb(t)*gc(t) = ha(t)*gc(t)+gb(t)*gc(t) = 0.5e4t (t)*2e3t (t)+et (t)*2e3t (t) = (e3te4t) (t)+(ete3t) (t) = (ete4t) (t)y(t)f(t)ha(t)gb(t) +gc(t)55四四. . 相关函数相关函数 dt) t (f )t (fdt)t (f ) t (f)(R212112 为两信号间的时间差。为两信号间的时间差。R12( )与与R21( )一般不相等，但一般不相等，但有有 R12( )=R21( )自相关函数自相关函数定义为定义为能量有限实信号能量有限实信号f1(t)与与f2(t)的的互相关函数互相关函数定义为定义为 dt)t (f ) t (fdt) t (f )t (f)(R212121 dt) t (