北京市朝阳区2010届高三数学第一次高考模拟考（理） 新人教版

1、朝阳区20092010学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学学科测试（理工类） 2010.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题 共40分）注意事项：1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数等于 （A） （B） （C） （D）甲乙（2）右图

2、是2010年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两 名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字09中的 一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选 手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有 （A）a1>a2 （B）a2>a1 （C）a1=a2 （D）a1，a2的大小与m的值有关（3）下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是 （A） （B）（C） （D）3侧视图正视图222（4）一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；正方形；圆；椭圆. 其中正确的是 （A） （B） （C） （D） （5）在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数 有零点的概

3、率为 （A） （B） （C） （D）（6）已知点是双曲线渐近线上的一点，是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为 （A） （B）（C） （D）（7）设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为 （A） （B） （C） （D）（8）一个空间四边形的四条边及对角线的长均为，二面角的余弦值为，则下列论断正确的是 （A）空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为（B）空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为（C）空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为（D）不存在这样的球使得空间四边形的四个顶点在此球面上w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第II卷（非选择题 共110分）二

4、、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）已知圆的极坐标方程为，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 （10）圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为 . （11）已知向量，则的最大值为 .（12）如图，圆是的外接圆，过点C的切线交的延长线于点，.则的长为 ；的长为 （13）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 . （14）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数生成两个数，一个是 ，另一个是设第次生成的数的个数为，则数列的前项和 ；若，前次生成的所有数中不同的数的个数为，则 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过

5、程或演算步骤.(15)（本小题满分13分）在中，角，所对的边分别为，且，.（）求的值；（）若，求的面积.(16) （本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.（）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望(17) （本小题满分14分）DBCEB1C1AA1如图，在三棱柱中，每个侧面均为正

6、方形，为底边的中点，为侧棱的中点.（）求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值. (18)（本小题满分13分）已知函数，（）求函数的导函数；（）当时，若函数是上的增函数，求的最小值；（）当，时，函数在上存在单调递增区间，求的取值范围(19)（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆在第一象限相切于点（）求椭圆的方程；（）求直线的方程以及点的坐标；（）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由(20)（本小题满分14分）若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调

7、和数列已知数列是调和数列，对于各项都是正数的数列，满足（）证明数列是等比数列；（）把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当时，求第行各数的和；（）对于（）中的数列，证明：（考生务必将第卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m朝阳区20092010学年度高三年级第二学期统一考试（一） 数学测试（理工类）答案 2010.4一、选择题: 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBDBBCCA二、填空题:题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案124625三、解答题:(15)

8、 解：（）因为，所以.由已知得.所以. 5分（）由（）知，所以 且.由正弦定理得.又因为，所以 ，.所以. 13分(16) （）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A.由题意， 得答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是 5分（）解：由题意，的可能取值为0，1，2，3，则，所以，的分布列为：0123P的数学期望. 13分OBCEB1C1AA1D(17) 解法一：证明：（）设的交点为O,连接，连接.因为为的中点，为的中点,所以 且.又是中点，所以 且,所以 且.所以，四边形为平行四边形.所以.又平面,平面,则平面. 5分() 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.所以平面.因为平面，所

9、以.由已知得，所以,所以平面.由（）可知，所以平面.所以.因为侧面是正方形，所以.又，平面，平面,所以平面. 10分（）解: 取中点，连接. FBCEB1C1AA1在三棱柱中，因为平面， 所以侧面底面.因为底面是正三角形，且是中点，所以，所以侧面.所以是在平面上的射影.所以是与平面所成角. 14分DOOxyzBCEB1C1AA1解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.设边长为2，可求得，,，.（）易得，. 所以， 所以.又平面,平面,则平面. 5分（）易得，所以.所以又因为，所以平面. 10分（）设侧面的法向量为,因为, ,，所以，.由 得解得不妨令，设直线与平面所成角为所以.所以直线与平面所成

10、角的正弦值为 14分(18)（）解： 3分（）因为函数是上的增函数，所以在上恒成立.则有，即设（为参数，），则.当，且时，取得最小值（可用圆面的几何意义解得的最小值） 8分（）当时，是开口向上的抛物线，显然在上存在子区间使得，所以的取值范围是当时，显然成立当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足 或解得，或，所以的取值范围是则的取值范围是 13分 (19)解：（）设椭圆的方程为，由题意得解得，故椭圆的方程为 4分（）因为过点的直线与椭圆在第一象限相切，所以的斜率存在，故可设直线的方程为由得 因为直线与椭圆相切，所以.整理，得.解得所以直线方程为将代入式，可以解得点横坐标为1，故切点坐标为9分（）若存在直线满足条件，设直线的方程为，代入椭圆的方程得因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为， 所以所以又，因为，即，所以即 ，所以，解得因为为不同的两点，所以.于是存在直线满足条件，其方程为 13分(20)解：（）证明：因为，且数列中各项都是正数，