刚体的定轴转动

1、 转动是物体机械运动的一种基本的普遍的转动是物体机械运动的一种基本的普遍的形式。大到星系，小到原子等微观粒子都在不形式。大到星系，小到原子等微观粒子都在不停转动。工程中更是经常遇到转动问题。停转动。工程中更是经常遇到转动问题。本章内容：本章内容： 本节学习指导：本节学习指导：1 1、注意描述刚体定轴转动的运动学方法；、注意描述刚体定轴转动的运动学方法；2 2、阅读附录、阅读附录1 1中矢量的乘法，力对转轴的力矩如中矢量的乘法，力对转轴的力矩如何计算；何计算；3 3、 领会领会刚体定轴转动的动能定理的意义刚体定轴转动的动能定理的意义。注意。注意区分平动动能和转动动能以及他们的计算式。注区分平动动

2、能和转动动能以及他们的计算式。注意力局的功的计算方法。意力局的功的计算方法。4 4、什么是转动惯量？转动惯量与哪些因素有关？、什么是转动惯量？转动惯量与哪些因素有关？5 5、刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何？、刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何？学会运用学会运用转动转动是物体机械运动的一是物体机械运动的一种基本的普遍的形式。种基本的普遍的形式。刚体：刚体： 在力的作用下，大在力的作用下，大小和形状都保持不变的物小和形状都保持不变的物体称为刚体。（组成物体体称为刚体。（组成物体的所有质点之间的距离始的所有质点之间的距离始终保持不变）是一种理想终保持不变）是一种理想模型。模型。1 1、刚

3、体的平动：、刚体的平动： 刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自身刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自身平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都相平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都相同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的运同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的运动。动。( ( 刚体平动的运动规律与质点的运动规律相同）刚体平动的运动规律与质点的运动规律相同）2 2、刚体绕定轴转动：、刚体绕定轴转动： 刚体内的每一点都在绕某一直线上的点作圆周刚体内的每一点都在绕某一直线上的点作圆周运动，这个刚体的运动称为转动，这个直线叫转轴，运动，这个刚体的运动称为转动，这个直线叫转轴，转轴相

4、对于参照系不动的转动称为定轴转动。转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。 O Ov vP P , , r rr r定轴定轴刚体刚体 参考方向参考方向z z2222121 kkkkrmvmE 2222121 zkkJrmE 2kkrmJ dmrJ24 4、刚体的转动动能：、刚体的转动动能：3 3、刚体的转动惯量：、刚体的转动惯量： OvP , , rr定轴定轴刚体刚体 参考方向参考方向zvmrprL 7、定轴转动的角动量、定轴转动的角动量 )(2iiiiiiiiizzrmrvmLL JLz即：即：5、角速度矢量：、角速度矢量：rrv 6、刚体的角动量：、刚体的角动量：2 2、力矩的功：、力矩的

5、功： dMdAz 21 dMAzA A、所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何、所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，关于力矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移的积来表示功更为方便而己。用力矩和角位移的积来表示功更为方便而己。1 1、力矩：、力矩：M = r M = r F FM = r F M = r F sin sinB B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，一对内力矩的代数和为零；一对内力矩的代

6、数和为零；内力矩的功总和为零内力矩的功总和为零。另一角度，内力的功相对位移为零。另一角度，内力的功相对位移为零 . .） MdtdMdtdAp rdFdA 23 3、功率：、功率：Mp A 当当 与与 同方向，同方向， 和和 为正为正 AMp 当当 与与 反方向，反方向， 和和 为负为负说明说明 ：A A、动能定理也与质点动力学中讲的动能定理相同，、动能定理也与质点动力学中讲的动能定理相同，只是动能的表示形式不同而己，只是动能的表示形式不同而己， 4 4、转动动能定理：、转动动能定理：)21(2 JddJMddA 212222121)21(21 JJJddMAzdtdJJM ddJdtdddJ

7、M 12kkEEA B B、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。1 1、几种常见的转动惯量：、几种常见的转动惯量：转轴通过中点与棒垂直：转轴通过中点与棒垂直：122mlJ 转轴通过端点与棒垂直：转轴通过端点与棒垂直：32mlJ 转轴通过中心与环面垂直：转轴通过中心与环面垂直：2mrJ 1 1、几种常见的转动惯量：、几种常见的转动惯量：转轴通过球体直径：转轴通过球体直径：232mrJ 转轴通过环面直径：转轴通过环面直径：22mrJ 转轴通过中心与薄圆盘垂直：转轴通过中心与薄圆盘垂直：22mrJ 均匀圆环均匀圆环 ：dm C R2CJmr dmrJ2从

8、 0 到 m 积分 均匀圆盘：均匀圆盘：240222122mRRrdrrdmrJR r r 均匀杆：均匀杆：C CA Am ml l2 2l l2 2x x dxdxx xO Ol l23022313mlldxxdmxJlO 22/2/22121mldxxdmxJllC JM dtdJJMz （在转轴上的分量式）（相当于 ）amF 2 2、转动定律：、转动定律：定轴转动的刚体的角加速度定轴转动的刚体的角加速度与刚体所受的和外力与刚体所受的和外力的力矩的力矩 M M 成正比，与刚体的转动惯量成正比，与刚体的转动惯量 J J 成反比。成反比。角加速度方向与力矩方向一致角加速度方向与力矩方向一致1

9、1、跳水运动员，跳马（伸直，、跳水运动员，跳马（伸直，以初角速度起跳；卷缩，减小以初角速度起跳；卷缩，减小J J，以增大角速度；伸直；入水时以增大角速度；伸直；入水时J J增大了，减小角速度以保持竖增大了，减小角速度以保持竖直入水）直入水）2 2、直升飞机尾部竖直的尾翼、直升飞机尾部竖直的尾翼（产生一反向角动量，避免在（产生一反向角动量，避免在水平面打转）水平面打转）解：已知角位置，求角速度和角加速度，用微分：324343)(ctbtactbtatdtd 233126)43(ctbtctbtadtd 飞轮作变加速转动飞轮作变加速转动例题例题3-1-13-1-1 一飞轮转动的角位移大小的表达式为

10、：一飞轮转动的角位移大小的表达式为： 式中式中 a a、b b、c c 都是常量，求它的都是常量，求它的角加速度。角加速度。43ctbtat 例题例题3-1-23-1-2：一长为一长为 l l ，重为，重为W W的均匀梯子，靠墙放的均匀梯子，靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙置，如图。墙光滑，地面粗糙, , 当梯子与地面成当梯子与地面成 角时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。角时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。解：刚体平衡同时要满足解：刚体平衡同时要满足两个条件：两个条件： 0iF 0iM列出分量方程：列出分量方程：水平方向：水平方向：竖直方向：竖直方向：021 Nf01 NWO O解

11、以上三式，得解以上三式，得以支点以支点O O为转动中心，梯子受的合外力矩：为转动中心，梯子受的合外力矩：0sincos22 lNlw ctgwNf221 例题例题3-1-3 3-1-3 如图，一长为如图，一长为 l ,l ,质量为质量为M M的杆可绕支的杆可绕支点点O O转动，一质量为转动，一质量为m m ，速率为，速率为 v v0 0 的子弹，射入的子弹，射入距支点为距支点为a a的杆内，若杆的偏转角的杆内，若杆的偏转角 =30=300 0，求子弹，求子弹的初速率的初速率 v v0 0解：此题分两个阶段，解：此题分两个阶段，第一阶段第一阶段，子弹射入杆中，摆获得角速度子弹射入杆中，摆获得角速

12、度 ，尚未摆动，子弹和摆组成的系统尚未摆动，子弹和摆组成的系统所受外力对所受外力对O O点的力矩为零，点的力矩为零，系系统角动量守恒统角动量守恒：第二阶段第二阶段，子弹在杆中，与摆一起，子弹在杆中，与摆一起摆动，以子弹、杆和地摆动，以子弹、杆和地地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是系统系统机械能守恒机械能守恒：)1()31(0)(220 maMlmva 由（2）（3）（4）式求得：)2()31(2121222mghMghmaMl 代入（1）式，得：其中：)3()cos1(21 lh)4()cos1(2 ah22223/)cos1()2(3

13、/)cos1(22/ )cos1(2maMlgmaMlmaMlmgaMgl gmaMlmaMlmav)cos1)(2)(3/(1220 返回返回本节学习指导：本节学习指导：1 1、认识质点对固定点的动、认识质点对固定点的动量矩的定义，刚体对转轴量矩的定义，刚体对转轴的动量矩如何计算的动量矩如何计算 ？2 2、刚体定轴转动的动量矩、刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式定理的内容及数学表达式是怎样的？是怎样的？3 3、动量矩守恒的内容及守、动量矩守恒的内容及守恒条件是什么？恒条件是什么？一、冲量矩和动量矩一、冲量矩和动量矩 Lrm v 所以 质点的动量矩：mrvsinmvrL2zmrmrvL

14、z轴与质点转动平面垂直时，=900JLz质点对z轴的转动惯量是: J = mr2rzp质点的冲量矩：力矩和作用时间的乘积。21ttMd t系统对转轴的动量矩等于个部分对该转轴系统对转轴的动量矩等于个部分对该转轴的动量矩之和。的动量矩之和。rzpr riiiiiJLLzJLz刚体的动量矩：一、冲量矩和动量矩一、冲量矩和动量矩 二、刚体定轴转动的动量矩定理二、刚体定轴转动的动量矩定理 )(恒量刚体的 JdtJddtdJM)()( JdLddtM 2211212121() ttttM dtd JJJM dtLL或动量矩定理：动量矩定理： 转动刚体所受合外力矩的冲量矩转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于在

15、这段时间内转动刚体动量矩的增量。等于在这段时间内转动刚体动量矩的增量。 所以 由转动定律0 M恒矢量 JL若则122121)( JJJdMdttt 由动量矩定理由动量矩定理三、刚体定轴转动的动量矩守恒定律三、刚体定轴转动的动量矩守恒定律 1 1、动量矩定理和动量矩守恒定律，不仅适用于宏观、动量矩定理和动量矩守恒定律，不仅适用于宏观问题，也适用于原子、原子核等微观问题，因此动问题，也适用于原子、原子核等微观问题，因此动量矩守定律是比牛顿定律更为基本的定律。量矩守定律是比牛顿定律更为基本的定律。 2 2、动量矩定理和动量矩守恒定律只适用于惯性系。、动量矩定理和动量矩守恒定律只适用于惯性系。 3 3

16、、动量矩保持不变、恒矢量：、动量矩保持不变、恒矢量： 不变，不变， 也不变也不变 变，变， 也变，但也变，但 保持不变。保持不变。 J J J4 4、内力矩可以改变系统内部各组成部分的角动量，、内力矩可以改变系统内部各组成部分的角动量，但不能改变系统的总角动量。但不能改变系统的总角动量。 三、刚体定轴转动的动量矩守恒定律三、刚体定轴转动的动量矩守恒定律 |定轴转动的动力学问题定轴转动的动力学问题 刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条

17、件和所求物理量判断应力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解。选用的规律，最后列方程求解。|第一类：第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度求刚体转动某瞬间的角加速度，一般，一般。如质点和刚体组成的系统，对质点。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关联方程，并联立求解。量和线量的关联方程，并联立求解。解题指导解题指导|第二类：第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它。把它们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常

18、等于零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统始末状态的总角动量中各项的正负。对始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力在有心力场作用下绕力心转动的质点问题场作用下绕力心转动的质点问题，可直接，可直接。| 第三类：第三类：在刚体所受的在刚体所受的合外力矩不等于零时合外力矩不等于零时，比，比如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般应用刚体的转动应用刚体的转动。对于仅受保守力。对于仅受保守力矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律求解。求解。| 另另 外：外：实际问题

19、中常常有多个复杂过程，实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。解。解：以人和转盘组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的速解：以人和转盘组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的速度为度为 v vr r ，转盘相对于固定铅直轴的角速度为，转盘相对于固定铅直轴的角速度为 。当人走动时，。当人走动时，系统所受外力对铅直轴之矩为零，故对轴系统所受外力对铅直轴之矩为零，故对轴动量矩守恒动量矩守恒： 例题例题3-2-1 3-2-1 质量为质量为M M、半径为、半径为R R的转盘，可绕铅直轴无摩擦地的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。

20、转盘的初角速度为零。转动。转盘的初角速度为零。一个质量为一个质量为m m的人，在转盘上从的人，在转盘上从静止开始沿半径为静止开始沿半径为r r的圆周相对的圆周相对转盘匀速走动，如图。求当人转盘匀速走动，如图。求当人在转盘上走一周回到盘上的原在转盘上走一周回到盘上的原位置时，转盘相对于地面转过位置时，转盘相对于地面转过了多少角度。了多少角度。021)(22 MRrvmrr|所以所以2221MRmrmrvr |设在设在 t t内，盘相对于地面转过的角度为内，盘相对于地面转过的角度为trvMRmrmrtMRmrmrvtrr 222222121 |其中其中 为人相对于盘转过的角度，人走一周为人相对于盘

21、转过的角度，人走一周期大小为期大小为2 2 则因此盘相对于地面转过的角度为：则因此盘相对于地面转过的角度为：trvr 222212MRmrmr 例题例题3-2-2 3-2-2 质量为质量为m m，半径为，半径为b b 的小球，由静止从的小球，由静止从h h高无摩擦地滚下，并进入半径为高无摩擦地滚下，并进入半径为a a 的圆形轨道。的圆形轨道。求求 （1 1）小球到达底部时的角速度和质心加速度。）小球到达底部时的角速度和质心加速度。 （2 2）证明如果）证明如果 ba ,ba ,要使小球不脱离轨道而要使小球不脱离轨道而到达到达A A点，则点，则h h应满足：应满足：ah1027 解（解（1 1）因无滑动，故摩擦力因无滑动，故摩擦力f f不作功（无相对位不作功（无相对位移），支持力移），支持力N N与运动方向垂直，也不作功，只与运动方向垂直，也不作功，只有重力（保守内力）作功，所以有重力（保守内力）作功，所以机械能守恒机械能守恒：)1(212122 Jmvmghc )2(52,2mbJbvc )3(5221212222 mbmbmgh ghbvghbc710,7101 又由于