直线的方程和两条直线的位置关系

1、.直线的方程和两条直线的位置关系【考纲要求】1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；5、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。【知识网络】直线的倾斜角和斜率直线的方程（五种形式）直线平行与垂直两条直线的位置关系距离中心对称对称问题轴对称【考点梳理】考点一：直线的倾斜角与斜率1直线

2、的倾斜角一条直线 l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角（如图）：要点诠释：（ 1）当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00 .（ 2）直线 l 的倾斜角的取值范围是： 001800 （或 0)2直线的斜率直线 l 的倾斜角的正切值叫做此直线的斜率，记作 ktan。要点诠释： 当直线 l 与 x 轴垂直时，直线l 的斜率不存在 .3直线的倾斜角与斜率间的关系x 轴正向的倾斜程度 .（1）直线的倾斜角和斜率都是直线方向的数量表示. 它们反映了直线关于（2）每条直线都存在唯一的倾斜角，但并非每条直线都存在斜率.（3）当 k 0 时，0 ；当 k 0 时，(

3、0,90 0 ) ；当 k0 时，(900 ,1800 ) 。4过两点直线的斜率已知两点 A( x1 , y1 ) 、 B(x2 , y 2 ) 的直线 l当 x1x2，即 l 与 x 垂直时，直线 l 的斜率不存在；当 x1x2，即 l 与 x 不垂直时，直线 l 的斜率为： ky2y1 ( x1 x 2 0) 。x2x1考点二：直线的方程1、点斜式： y y0k (x x0 ) （斜率存在）.2、斜截式： ykxb （斜率存在）3、两点式：yy1xx1 （直线不平行于坐标轴）y2y1x2x14、截距式： xy1（横纵截距存在且不为零）ab5、一般式： AxByC0 （ A、 B 不同时为零

4、）要点诠释： 前四种方程的应用是有限制条件的， 用直线方程的一般形式解题可避免因考虑不周而导致失误。考点三：两直线的位置关系1特殊情况下的两直线平行与垂直(1) 当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为900 ，互相平行；(2) 当一条直线的斜率不存在（倾斜角为900 ），另一条直线的倾斜角为 00 时，两直线互相垂直。2斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线 l 1 : yk1xb1 和 l 2 : yk2 x b2 ，则 l1 / l 2k1= k2 且 b1b2（2）已知直线 l1 ： A1xB1 y C10 和 l 2 ： A2 x B2 y C20 ( A1B1C10, A2

5、 B2C2 0) ，则A1B1C1l1 l 2王新敞A2B2C2要点诠释： 对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。3斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线l 1 : y k1xb1 和 l 2: y k2 xb2 ，则l1l2k1k 2 1 ；（2）已知直线l1 ： A1 xB1 yC10 和 l2： A2 xB2 yC 20 ，则l1 l2A1 A2B1 B20 4两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：A1 xB1 yC10A2 xB2 yC2是否有唯一解。05点到直线距离公式：Ax0By0C点 P(x0 ,

6、y0 ) 到直线 l : AxByC0 的距离为：dA2B26两平行线间的距离公式已知两条平行直线l1 和 l 2 的一般式方程为l1 ： AxByC10 ，l2 ： AxByC20 ，则 l1 与 l 2 的.C1C2距离为 d。A2B2要点诠释： 一般在其中一条直线l1 上随意地取一点M，再求出点 M到另一条直线 l 2 的距离即可。考点四：对称问题1点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。设 P (x0 , y0 ) ，对称中心为A(a,b) ，则 P 关于 A 的对称点为P (2 ax0 ,2by0 )

7、 。2点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” 。利用“垂直” “平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：yy0k1xx0，求出 x 、 y 。设点 P ( x0 , y0 ) 关于直线 y kx b 的对称点为 P ( x , y ) ，则有x0y y0kx2b2特殊地，点 P ( x0 , y0 ) 关于直线 xa 的对称点为 P (2 ax0 , y0 ) ；点 P ( x0, y0 ) 关于直线 yb 的对称点为 P ( x0 , 2by0 ) 。3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选

8、特殊点，也可选任意点实施转化）。4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（ 1）点 ( x, y) 关于 x 轴的对称点为 (x, y) ；（ 2）点 ( x, y) 关于 y 轴的对称点为 ( x, y) ；（3）点 ( x, y) 关于原点的对称点为( x,y) ；（4）点 ( x, y) 关于直线xy0 的对称点为 ( y, x) ；（5）点 ( x, y) 关于直线xy0 的对称点为 (y,x) 。【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例 1 直线 x cos3y20 的倾斜角的范围是A ,U2, 5B626C 0,5D60,U 5 ,665,66.【思路点拨】已知条件中直线x

9、cos3 y 2 0 中的角并不是这条直线的倾斜角 .【答案】 B【解析】由直线 x cos3y 20 ，所以直线的斜率为 kcos3设直线的倾斜角为，则 tancos33cos3又因为333所以0,U 5,663tan3，即，33【总结升华】本题要求正确理解直线倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系。【举一反三】【变式】已知动直线y kx2k1 与直线 l : y1 x 2 的交点在第一象限，求k 的取值范围。2【答案】：由题意可知，动直线l过定点 C（ 2 ，1）,y直线 l 与 x 轴， y 轴分别交于点A（4，0）， B（0，2）,lB由图可知 kACkkBC 时，动直线与直线l 交点在第

10、一象限 ,CAx011211 ,Ok AC(2), kBC460(2)2 1k1为所求 .62类型二：两直线的位置关系例 四边形ABCD的顶点为A(2，222) ，B( 2，2)，C (0，2 2 2)，D (4，2) ，试判断四边形ABCD2的形状【思路点拨】证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角 .【解析】 AB 边所在直线的斜率kAB2，2CD 边所在直线的斜率kCD2，2BC 边所在直线的斜率kBC2 ，DA 边所在直线的斜率kDA2 . kAB kCD ， kBCkDA ， AB CD ， BC DA ，即四边形 ABCD 为平

11、行四边形2(2)1， ABBC ，即四边形 ABCD 为矩形又 kAB gkBC2【总结升华】证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为 -1.【举一反三】【变式 1】直线 l 1: ax+(1-a)y=3与直线 l 2: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求 a 的值。【答案】方法一：当a=1 时， l 1: x=3, l2:y2 l 1 l 2,53时， l 1:y36l 2:x4显然两直线不垂直当 ax,2555当 a 1 且 a3 时， l 1:ya x3,l 2:y1 a x22a 1a12a32a 3 k 1a,k1aa1a1 ，解得

12、a=-32，由 k1k2=-1得a12a3a12a3当 a=1 或 a=-3时， l 1 l 2。方法二： a(a -1)+(1-a)(2a+3)=0,解得 a=1 或 a=-3当 a=1 或 a=-3时， l1l 2。类型三：直线的方程例 3过点 P(2 ，1) 作直线 l 与 x 轴、y 轴正半轴交于A、B 两点，求 AOB面积的最小值及此时直线l 的方程 .【思路点拨】因直线l 已经过定点P(2 ， 1) ，只缺斜率，可先设出直线l的点斜式方程，且易知k0 且 1-2k0k故 k0， b0，点 P(2 ， 1) 在直线 l 上，故 211 ，由均值不等式:1= 2122 得 ab8, 当

13、且仅当ababab.211 ，即 a=4， b=2 时取等号，且S= 1 ab=4，此时 l 方程为 xy1, 即 :x+2y-4=0.ab2242解法三：如图，过 P(2 ， 1) 作 x 轴与 y 轴的垂线 PM、 PN，垂足分别为 M、 N，设 = PAM= BPN，则 AOB面积S=S矩形 OMPN+S PAM+S BPN11 cot2tan2 21= 2cot 2 tan22=4，当且仅当 1 cot2tan ,即 tan122有最小值 4，故此时直线 l 的方程为 y-1=-1时， SAOB(x-2) ，即 :x+2y-4=0.2【总结升华】 解法一与解法二选取了直线方程的不同形式

14、，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”.已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解.而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距 .【举一反三】【变式 1】求通过点 (1 ， -2) ，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；xy12【答案】由题设，设所求直线方程为1，由已知条件得 :a1abb| a | | b |解之得 :a1或 a3，b1b3故所求直线方程为 :x+y+1=0或 x-y-3=

15、0.【变式2】直线 l 过点 P (1, 4)，且在两轴上的截距之和为零，求l 的方程。【答案】（ 1）若直线 l 过原点，设直线l： ykx ,因为直线 l 过点 P (1,4) ，代入上式得 41k ，解得 k4所以直线 l 的方程为； y4x .（2）若直线 l在两轴上截距不为零，设l的方程为：xy1 ，14aa将 P (1, 4)代入上式得：1，解得 a5 ，aa xy1，即 x y50 ,55由（ 1）、（ 2）知：直线 l的方程为 y4x 或 xy50.类型三：对称问题例 4求直线 a:2 xy40 关于直线 l :3 x4y10 对称的直线 b 的方程。【思路点拨】1. 曲线的对

16、称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。2. 由平面几何知识可知，若a 与 b 关于 l 对称，则应具有下列几何性质：（ 1）若点A 在直线 a 上，则A 点关于 l 的对称点B 一定在直线b 上，即 l 为线段 AB 的垂直平分线.（ ABl ， AB的中点在 l 上）；（2）设 P ( x, y) 是所求直线b 上一点，则P 关于 l 的对称点P ( x , y ) 的坐标适合直线a 的方程；（3）若 a 与 b 相交，则 l 过 a 与 b 交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若 a / l ，则 b / l / a ，三条直线的

17、斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案。【解析】 方法一 ：在直线 a:2 xy40 上取一点 A (2,0)，设 A 点于 l 的对称点 B ( x0 , y0 ) ，3 x0224 y00108则24) ，04，解得 B( ,5y05x0232xy40，解得交点 D (3,2) 。由3x 4 y 1 0由两点式可求得直线b 的方程： 2x11y16 0。方法二 ：设 P ( x, y) 是所求直线 b 上任一点；设P 关于 l 的对称点 P ( x , y ) ，3 x x 4 yy 1 07x24 y6x 25则有：22，解得yy 424x 7 y8xx 3y 25 P

18、( x , y ) 在直线 a:2 xy40 上， 2 7x 24 y624 x7y840 ，整理得 2 x11 y16 0，2525故所求直线 b 的方程： 2x11 y160 。【总结升华】 1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论。2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点伴随曲线方法解决，其中方法2 还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C，仍可用此方法解决。【举一反三】【变式】由点P（ 2， 3）发出的光线射到直线 x y1上，反射后过点Q（1， 1），则反射光线所在直线的一般方程为 _【答案】：4x5 y 10解析：设点P 关于直线 xy1的对称点 P (x0 , y0 ) ，则 P ( x0 , y0 ) 满足条件x02y03221,y031,x02解得P(4, 3)， 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为y 1314( x 1) ，1即