1抛物线及其标准方程

1、抛物线及其标准方程教学设计穆棱市第二中学孔丹【教学目标】1、知识与技能：掌握抛物线的定义、几何图形；会推导抛物线的标准方程； 能够利用给定条件求抛物线的标准方程。2、过程与方法：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数 学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生 学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标 法及数形结合的思想。3、情感态度与价值观：进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养 学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动 地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中

2、一些抛物线型 建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了 情操。【教学重点】抛物线的定义及其标准方程。【教学难点】抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导 （关键是坐标系方案的选择） 【教学过程】一、思考题导入师：上一周我们一同研究学习了椭圆与双曲线的第二定义。分别是什么 ？生：动点到定点的距离与它到定直线的距离的比是一个小于1的正常数，该动点轨迹是椭圆，比之是椭圆的离心率；动点到定点的距离与它到定直线的距离的比是一个大于1的常数，该动点轨迹是双曲线，比之是双曲线的离心率。师：比值小于1且大于0的动点轨迹是抛物线，比值大于 1的动点轨迹是双曲线。如果比值等于1,轨

3、迹又会是什么呢？生A:是圆；生B:是线段；生C:是双曲线师：相信有一部分同学通过讨论研究或者是课前预习，心中已经有了正确的 答案，但是还有一部分同学还在苦恼这个动点的轨迹到底是什么。现在我们就来起学习新的一课抛物线及其标准方程。让我们先来看几张生活中的图片。新课讲授（一）抛物线定义1 .师生配合现场演示抛物线的形成过程，（需要道具：一个直尺、一个三角板、一根绳、一直笔）。2 .生总结：点M随着H运动的过程中，始终有| Mlf=| MH即点M与点F和定直的形状.（如图）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线(二)标准方程的推导原点建立直角坐标系y2 =2px(

4、 p>0)这就是所求的轨解法一：以l为y轴，过点F垂直l的直线为x轴建立直角坐标系(如下图所示)， 则定点F(p,0)设动点点M (x, y),由抛物线定义得：x p)2 + y2 =|x(三)标准方程其中p为正常数，表示焦点在1 .把方程y2=2px(p>0 )叫做抛物线的标准方程,x轴正半轴上。且P的几何意义是：焦点到准线的距离。焦点坐标是，色,0；，准线2方程为x二，22 .抛物线的标准方程有哪些不同的形式？焦点睢钱图形> 0)噌TTp心> 0)峥rLr月二郎见单> 0)蚊岭7-J-o3 0)V1注意：左边是二次式，右边是一次式，决定了焦点的位置。3 .教材

5、第66页思考：你能说明二次函数y = ax2(a#0)的图像为什么是抛物线吗?指出它的焦点坐标、准线方程。22 11 _y =ax (a #0)= x =一 y二 一 =±2p .aa当a>0或a<0时，结论都为：焦点坐标为,0,工准线方程为y=-.4a4a三、典型例题(一)例1讲解(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标及准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求抛物线的标准方程；(3)已知抛物线的准线方程为x=l,求抛物线的标准方程；(4)求过点A(3,2 )的抛物线的标准方程.答案：(1)焦点 F,3,0 ),准线方程：x=3； (2)x

6、2=dy;1.2)2 y2 - -4x ；2429(4) y = x nJcx ' y 32(二)课堂练习:1 .根据下列条件，写出抛物线的标准方程:(1)焦点是 F(3,0);(2)准线方程是x = -1;4(3)焦点到准线的距离是2.2 .求下列抛物线的焦点坐标和准线方程21(1) y2=20x; (2) x2=±y； (3) 2y2+5x = 0; (4) x2+8y = 0.(三)例2讲解一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截 面为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的径口(直径)为 4.8m,深度为0.5m.建立适当的坐标系

7、，求抛物线的标准方程和焦点坐标。解：在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系， 使接收天线的顶点(即 抛物线的顶点)与原点重合。设抛物线的标准方程是 y2 = 2px(p>0).由已知条件 可得，点A的坐标是(0.5,2.4),代入方程,得2.42=2pM0.5,即p=5.76.抛物线及其标准方程教学设计 5所以，所求抛物线的标准方程是y2=11.52x,焦点坐标是（2.88,0）.四、归纳总结1 .抛物线的定义；2 .抛物线的标准方程有四种不同的形式，每一对焦点和准线对应一种形式；P的几何意义是：焦点到准线的距离。3 .标准方程中P后的x或y代表对称轴，p前的正负号代表开口方向。 五

8、、巩固练习1 .抛物线y2 =16x的焦点坐标是（）.A. 4,0 B. 0,4 C. 1,0 D. 0 64,. ,642 .平面上到定点A（1,1 ）和到定直线l ： x+2y =3距离相等的点的轨迹为（）.A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆3 .抛物线y=1x2+x+1的焦点坐标为.4 4. （2000全国）过抛物线y2 =ax（a >0）的焦点F作一条直线交抛物线于P , Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p, q,则1十二等于（）.p qA. 2a B. C. 4a D. - 2aa【布置作业】1 .教材第67页练习1、2、3题。2 .练习册四十分钟的相关习题。【课后反思】经

9、过本节课的学习，学生们对抛物线的形成过程有了深刻的了解，基本掌握 了抛物线的定义、几何图形；通过多次尝试，找出最优方案，学会推导抛物线的标准方程；能够利用给定条件求抛物线的标准方程。通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学 生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与 推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的 思想。进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观 察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动， 养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生 对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。化简得 y2 = 2px - p2 ( p a 0).解法二：以定点F为原点，过点F垂直l的直线为x轴建立直角坐标系(如下图所示)，则定点F(0,0)设动点点M(x,y), l的方程为x = p由抛物线定义得:& +y2 =|x + p 化简得 y2 = 2px+ p2 ( p >