1991考研数三真题及解析

1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题（本题满分15分，每小题3分.把答案填在题中横线上.）(2)设曲线f （x ）=x3+ax与g（x）=bx2+c都通过点（1,0）,且在点（1,0）有公共切线,处取极小值设 f (x) = xex,则 f C x)在点(4)设A和B为可逆矩阵，X =0IB为分块矩阵，则X设随机变量X的分布函数为0, 0.4, F(x)=PX«x= a, .1，x -1,-1 _ x : 1,1< x :二 3,x_3.则X的概率分布为二、选择题（本题满分15分,每小题 把所选项前的字母填在题后的括号内3分.每小题给出的四个选项中，只有一项符

2、合题目要求，.）卜列各式中正确的是(2)(4)(A) |，+1x )0 x(C) lim 11-x 4.xj=1(B)(D)lim1 1 "xf.x二e11-设0 Wan W（n =1,2，）则下列级数中肯定收敛的是nCO(A)ann =1QO (C)n 1(B)(D)(-1)nann 1(-1)na2n 1. . .一 . . _ . . *设A为n阶可逆矩阵，九是A的一个特征根，则A的伴随矩阵A(A)A(B)(C)(D)的特征根之一是（）设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是（）(A) A与B不相容(B)A与B相容(C) P AB = P A P B(

3、D)P A - B = P A 对于任意两个随机变量 X和Y,若E(XY) = E(X) ,E(Y),则()(A) D(XY) =D(X) D(Y) (B)D(X Y) = D(X) D(Y)(C) X和Y独立(D)X和Y不独立三、(本题满分5分)1,'ex + e2x + + enx、x 求极限lim e一e- ，其中n是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分I = JJydxdy,其中D是由x轴，y轴与曲线 D域，a 0,b 0.五、(本题满分5分)求微分方程xy曳=x2 + y2满足条件y x - = 2e的特解. dxx=e六、(本题满分6分)假设曲线L1 ： y=1-

4、x2(0<x<1)> x轴和y轴所围区域被曲线 L2： y = ax2分为面积相等的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和p2 ；销售量分别为q1和q2；需求函数分别为 q =24 0.2p1和q2 =100.05P2,总成本函数为C =35 + 40(q+q2 )试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分6分)1 V一试证明函数f(x)=(1+一)x在区间(0,+*)内单调增加.x九、(本题满分7分) 设有三维列向量1十九- 1 1- 1 1一01%

5、=1,32 二1十儿03二1,p =九1 1i1 11+（1 月问九取何值时,(1) P可由5,S3线性表示,且表达式唯一 ？(2) P可由% ,«2,«3线性表示,且表达式不唯一 ？(3) P不能由% ,也 ,«3线性表示？ 十、(本题满分6分)2 一 2 一 2考虑一次型f =x1 +4x2 +4x3 +2儿x1x2 -2x1x3 +4x2x3.问九取何值时，f为正定次型.十一、(本题满分6分)试证明n维列向量组«1,«2；" ,an线性无关的充分必要条件是二0,其中a：表示列向量叫的转置，i =1,2,，n.十二、(本题满分5分

6、)一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 ，每个信号灯为红或绿与 其他信号灯为红或绿相互独立 ，且红绿两种信号显示的时间相等 ，以X表示该汽车首次遇到 红灯前已通过的路口的个数 .求X的概率分布.十三、(本题满分6分)222假设随机变量X和Y在圆域x +y <r上服从联合均匀分布(1)求X和Y的相关系数P ;(2)问X和Y是否独立？十四、(本题满分5分)设总体X的概率密度为p（x；'）=a-1 一 xaax e0,x 0,x - 0,其中0>0是未知参数，a a0是已知常数.试根据来自总体 X的简单随机样本Xi,X2，Xn,求九的最大似然估计量 幺.1991

7、年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分，每小题3分.)【答案】esinxy cosxy (ydx + xdy )7 一 ：7方法一：先求出两个偏导数 二和三，然后再写出全微分dz ,-z sin xy一 二e二 x二 x二 ysin xycosxy y = ye cosxysin xycosxy x = xe cosxy所以zzsinxysinxydz = dx dy = ye cosxydx xe cosxydy 二 x二 y-es1nxy cosxy(ydx xdy).方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz.sin xy sin xys

8、in xysin xydz=d e e d sinxy =e cosxydxy=e cosxy ydx xdy .(2)【答案】a = 1, b = 1, c=1【解析】由于曲线f(x卢g(x)都通过点(1,0),则I f -1 - -1-a=0g -1 = b c = 0又曲线f (x户g(x诈点(1,0)有公切线，则f11 )=g11即x=1 =-2b,f 7-1 )=(3x2 +a =3 + a=g'(1)=2bx x=1、 -亦即 3 + a = 2b ,解之得 a = 1, b = 1, c = 1.【答案】x = (n+1)； -e】n*)n【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式

9、(uv f)= £ C：u(k v(n")可知,k =0f(n)(x)=C；x(ex) C：x(ex)(nq Cxley) C：x(n)ex: xex nex 00 = (x n)ex.对函数 g(x)= fC 'x)求导，并令g'(x) = 0，得g x = f(n " (x) = (x n 1)ex = 0 ,解之得驻点x = -(n+1),且M(x)(axMT"1),函数g(x)严格单调递减；g'(x) 0,x %(n+1),函数g(x)严格单调递增;故x = (n +1 )是函数g(x)= f(nx )的极小值点，极小值为

10、g(-n-1) = f(n)(-n-1) = (-n-1n)eH，=3,(4)【答案】【解析】利用分块矩阵，按可逆矩阵定义有E 00 E,0 A”X 田0人X由对应元素或块相等'AX3ax4BX1=E, =0, =0,0ABX2 = E.从A和B均为可逆矩阵知 X3 = a,X4 =0,Xi =0,X2 =B.故应填x-113PX =x0.40.40.2【解析】因为随机变量 X的分布函数F(x)在各区间上的解析式都与自变量x无关，所以在F (x)的连续点，PX = x = 0 ,只有在F (x)的间断点处X取值的概率才大于零，且PX =x =PX <x -PX <x =F

11、(x) F(x0)，则PX - -1 =F(-1) -F(-1 -0) =0.4,PX =1 =F(1)-F(1-0) =0.8-0.4 =0.4,PX =3 = F(3) -F(3 -0) =1-0.8 =0.2.二、选择题(本题满分【答案】(A)因此X的概率分布为x-113PX =x0.40.40.215分,每小题3分.)【解析】由重要极限1 x - lim(1 +-)=e 可知,x1) x1.(-0-x (V)1e e-x1: lim(1-)- xx ()4二e而极限lim(1x 0lim ln(1 1) x 0;x=e "lim xln(1 1)_ x_0 _x二e &quo

12、t;1lim x ln(1 ): Jim一ln(1 t)、，-1曾吗商11lim xln(1 -)-所以lim(1 )x = ex 0 x = e = 1.x-o x故选项(A)正确.qQ£ (1)na2绝对收敛n 1(2)【答案】(D)【解析】因为(-1)na2 =a2工，由9 4收敛及比较判别法可知 n n 4 n即(D)正确.1oO oo.一 . an 二、nn4,2:1V J2 n7 7_ n2另外，设an =(n =1,2),则可知 2n二丁 11 二 1(A)an ='、. 一一 一, (C)n 1n 1 2n2 n 4 n都不正确.1 ,设a2n_1 =o,a2

13、n =(n =1,2)，则可知(B)不正确.4n【答案】(B).【解析】由 九为A的特征值可知，存在非零向量 X ,使得AX =?“X .* . . * . *两端同时乘以=A AX ,由公式A A= A得到KA X = A X .于按特征值定义知 人A是伴随矩阵A*的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 A是n阶矩阵，若存在数九及非零的n维 列向量X使得AX = KX成立，则称人是矩阵A的特征值，称非零向量 X是矩阵A的特征 向量.(4)【答案】(D)【解析】A B = aUb ,如果aUb=C，则A B=0 ,即A与B互不相容；如果aU B ,则A B # 0

14、 ,即A与B相容.由于A、B的任意性，故选项(A)(B)均不正确.任何事件 A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和.又因AB =0 ,从而A - B = AB = A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念，不要错误地把 A、B互不相容等同于A、B相互独立而错选(C).A, B不相容，P(A), P(B)均不为零，因此P AB )；=P：Q )=0, P AB ; P A P B .即(C)不正确.用排除法应选(D).事实上，PA-B=PA-PAB=PA.(5)【答案】(B)【解析】由于E(XY) = E(X)E(Y),因此有cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) =0,

15、 D(X Y) =D(X) 2cov(X,Y) D(Y) = D(X) D(Y).故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X,Y的方差都大于零，则下面四个命题是等价的:1) E(XY) =E(X)E(Y)；2) D(X +Y) =D(X) + D(Y);3) cov(X,Y)=0;4) X和Y不相关，即X和Y的相关系数P = 0.三、(本题满分5分)limx_01%x +e2x +enx、xn /【解析】方法一：这是10c型未定式极限ex e2x；：f-：；enx -x1 ex e2x : :enxln lim-n x 0x n=lim e= ex )0limln(ex 产enx)nn=ex

16、 0x其中指数上的极限是0型未定式，由洛必达法则，有0ln(exe2xenx) - ln nlimx0x所以limx 0x 2x . nxe 2e ne方法二：由于n n(n 1)x 2xnxe e e2nixx 2xe e e1 nx xx 2x . nx e e e . -1x 2x . nxe e e记y =1,则当xt 0时y t 0,从而n/ x . 2x . nxe +e +e=li=lim：x_xxlD而 limQ(1y)=e,所以lilim (x-t0 -1(1 y)yyx lim y=ex 0x./ x2xnx(e -1) (e -1)：；+(e -1)nx所以 limx0/

17、 x . 2x . ie +e +e2x .e -1+xn 1=e 2四、（本题满分5分）【解析】积分区域 D如图阴影部分所示.L Lf L '2由A*"得卜ab 1 _ x-a因此 I = ydxdy = dxDnxe -1a 1 2ydy = 0dx -y令 t =1 一，有 x = a(1 t)2, dx= -2a(1 -t)dt,故b2I 二2b2一 dx 二一a 2,2 =ab1. co0(t -t )dt =ab通(1十2+n) = =n0 4,4t 2a(t-1)dtt5 t6 yab230五、（本题满分5分）【解析】将原方程化为dy = dxxy1y1x一,由

18、此可见原方程是齐次微分方程 y x1 u2dy令y=ux,有=-=u dxdu ，、一 x,将其代入上式dxdydu，得二u . x二dxdx八口 du 1dx 、-1 2化间付x =一,即udu =.积分得 一u = ln x + C.dx ux2=y代入上式，得通解y2 x= 2x2(ln x C).由条件 y_ =2e,即 4e2 =2e2(ln e+C)求得 C=1.所以y2 =2x2(ln x +1)所求微分方程的特解六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线 L和L2的交点，然后利用定积分求出平面图形面积s和弓,如图:.2 -.y =1 -x 0 _ x _12y = ax a 0得a

19、y 二所以112S=s s = ydx= (1-x2)dx-0- 0x -x一 311§ 二 01a g：1 -x2 ?-ax2 dx = 01 a 1 - 1 a x2 dx11 a 31a2=x -x =IL 303,1 a又因为S =2§,所以2 =2 =:,即J1 +a =2,解得a =3. 33.1 a七、(本题满分8分)【解析】方法1 :总收入函数为22R = Rq1 P2q2 =24p1-0.2p1 10 P2 -0.05p2 ,总利润函数为L = R-C =：r仰 p?q2 )-135 40 q q?22二32Pl -0.2r2 12P2-0.05p22 -

20、1395.由极值的必要条件，得方程组%L 一一 一=32 0.4 P1 = 0,；:L= 12-0.1p2 =0,即 Pi =80, P2 -120.因驻点的唯一，目由问题的实际含义可知必有最大利润.故当r =80,P2 =120时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为P1 的PH20 = (32P1 -0.2P12 12P2 -0.05P22 - 1395)。叱。=605方法2:两个市场的价格函数分别为P1 =120-5q1,p2 = 200-20q2,总收入函数为R= Rq P2q2 = 120-5q1 q1200 - 20q2 q2,总利润函数为-1|35 40 q1 q2L = R-

21、C =(120-5% q1200 -20q2 q22280q - 5q1 . 160q2 - 20q? - 35.由极值的必要条件，得方程组=8010q1 =0,-8,q2 - 4.珥：L- q1、=160-40q2 =0,.二 q2因驻点的唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当 q1 =8,q2 = 4,即 p1 二80,q1 =605.P2 =120时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为八、（本题满分6分）一一.一1 V【解析】因为xW（0,收），所以f（x）=（1+）x >0.x，1 xf (x) = (1) = exxln（1 ）x ,两边对x求导，得xln(11)f

22、 (x) = e1 xln(1 -) x,1，ln(1 +_) x人11令g(x) =ln(1+ )，为证函数f(x)为增函数，只需f'(x)0在(0,+*)上成 x 1 x立,，即 g (x) >0, x w (0,也).方法一：利用单调性-1_12 二2(1 x) x(1 x)1由于g(x)=ln(11一代=1x一一.1且xw (0,十比)，故g (x) = 0 0，所以函数g (x)在(0, 十比)上单倜减少x(1 x)2一11又 lim g(x) = limln(1 +) =0,于是有 g(x) >0, x w (0,).从而x : x 1 x1 Vf (x) =(

23、1)xg(x) 0, x (0,二)，x于是函数f (x)在(0,十无)单调增加.方法二：利用拉格朗日中值定理.人1 x 1令 ln(1 ) = ln() = ln(1 x) -ln x = u(x 1) - u(x),x x所以在区间(x, x+1)存在一点 之使得.1u(x1)-u(x)=u( )(x1-x)=u()=一,11.111 ,即ln(1 +)=2.又因为0cxe - <1 + x ,所以< < -,所以x1 x x11”(1 才-1:一.x1 v 11故对一切 x w (0,)，有 f (x) =(1 + )xln(1 +)>0 .函数 f (x)在(0

24、,收)单倜 x x 1 x增加.九、(本题满分7分)【解析】设xq +x2a2 +x3% = P,将分量代入得到方程组(1 +九)x +x2 +x3 =0,也+(1+九区+x3 =九，x1 + x2 + (1 + 九)x3 =九2.对方程组的增广矩阵作初等行变换第一行分别乘以有(-1)、-(1十九)加到第二行和第三行上,有1 11 01 11011+九 1 3T 一九 九 0：九，111+九九22九一九0)/1再第二行加到第三行上，所以有1 10T 九 九 0 儿九 23 九 0 0-Z2+Z j若九第0且九2十3九#0,即 #0且九# 3,则r(A产r(A ) = 3 ,方程组有唯一解，即P

25、可由巴,62,口3线性表示且表达式唯一.若九=0,则r(A)=r(A) = 1<3,方程组有无穷多解，P可由%,0(2,0(3线性表示，且表 达式不唯一.若九=3,则r(A) = 2,r (A) = 3,方程组无解，从而P不能由 '必收线性表示.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m父n矩阵，线性方程组 Ax = b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵A = (Ab)的秩，即是r(A) = r(A)(或者说，b可由A的列向量0tl,4，o(n线表出，亦等同于%,%，”与%,“，ctn,b是等价向量组).设A是mn矩阵，线性方程组Ax=b，则(1)有唯一解

26、二r(A) = r(A) = n.(2)有无穷多解二r(A) = r(A):二 n.(3)无解u r(A)+1 =r(A).u b不能由A的列向量豆1p2，un线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时用“顺序主子式全大于 0”的方法最为简捷I 1'-1 |二次型f的矩阵为A二九 42 ,其顺序主子式为4 =12=1124_二4-九 2,&3= a = -4 儿?4 九 +8.正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有& >0,A2 = 1 乳=(2-X)(2+M>0,A3 = A =-4(Z-1)(Z+2)>0.九41

27、1解出其交集为(2,1)，故九w(2,1)时，f为正定二次型.【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量为，x2，xn的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)n nf ( x1 , x2 > , xn )=乙乙 aij xi xj ,其中 aij = a ji ,i 4 j 4称为n元二次型，令x = (x1，x2，xn T , A = (aij ),则二次型可用矩阵乘法表示为f x1,x2,xn =xTAx,其中A是对称矩阵(AT = A),称A为二次型f (小区，xn )的矩阵.卜一、(本题满分6分)【解析】记A = (%,%,，),则%,%;，%线性无关的充分必要条件是 A#0.由

28、于h；1 9T1TlT匕1；2,ct =-n J1町TLttna1T：n ：2T：n：n从而取行列式，有D =| AT A = AT| A由此可见，口2,，口口线性无关的充分必要条件是D:0【相关知识点】m个n维向量叫92 rm线性相关的充分必要条件是齐次方程组一 xjx2_xm有非零解.特别地，n个n维向量0(1,0：«n线性相关的充分必要条件是行列式：1, ： 2,，咻=0.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定 X的可能值是0,1,2,3，其次计算X取各种可能值的概率设事件A = "汽车在第i个路口首次遇到红灯”，i =1,2,3，且A相互独立.1P(A 尸P(A 尸

29、事件A发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为i -1.所以有Pix =0.P A )=12，pix=1PAa=pA1pA2= 122,Pix =2)= PAA2A3= P A PA2PA3=123,Pix =3)= PA；A；a3=p A pA2p a=123.则X的概率分布为x0123PX =x1212T1了121注：此题易犯的一个错误是将 px =3计算为 %4，这是由于该街道仅有三个设有红绿信 号灯的路口，x = 3仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯，而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)1(x, y) D,(x,y) D,I【解析】二维均匀分布 (x ,Y)的联合密度函数为 f (x, y) =