河北省石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题

1、-WORD格式 - 可编辑 -河北省石家庄市2013 届高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题( 时间 120 分钟，满分150 分）注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I 卷时 , 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 写在本试卷上无效.3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题 ,共60分）一、选择题: 本大题共 12 小题，每小题5 分，在

2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .11. 复数 z=1-i,则z 对应的点所在的象限为zA. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若集合 A x Z | 22 x28 ， B xR | x 22 x 0 ，则 A (C R B) 所含的元素个数为A.O B.1 C.2D.33. 设随机变量服从正态分布N (1, 2 ) . 若 P(2)=0.8 ，则 p(0bc B, acbC. cbaD. bac第II 卷(非选择题 ,共90分）本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题 第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第 22 题 第 24 题为选考题,

3、 考生根据要求作答.二、填空題,本大通共4小题 ,每小题 5分,共20 分.13. 过点 (2,3)与圆 (x-1)2 +y2=1 相切的直线方程为_.14.如图,正方形ABCD中,EF/AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后 ,AE:ED:AD=1 ： 1 ：2 , 则 AF 与 CE 所成的角的余弦值为 _.15. 为举办校园文化节, 某班推荐2 名男生 3 名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为 :乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加 , 則不同的推荐方案的种数为_.(用数字作答）B=60 0 ， O 为 ABC 的外心， P 为劣弧A

4、C 上一动点，且OPABC16. 在xOAyOC中，（ x,y R) ，则 x+y 的取值范围为_ _三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. ( 本小题满分 12 分）如图，有两座建筑物AB 和 CD 都在河的对岸（不知道它们的高度，且不能到达对岸），某人想测量两座建筑物尖顶A、 C 之间的距离，但只有卷尺和测角仪两种工具. 若此人在地面上选一条基线EF ，用卷 尺 测 得 EF 的 长 度 为a ， 并 用 测 角 仪 测 量 了 一 些 角 度 ：AEFa ,AFE，CEF,CFE,AEC请你用文字和公式写出计算A、 C 之间距离的步

5、骤和结果.-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 -第3页共13页-WORD格式 - 可编辑 -格式 - 可编辑 -18.( 本小题满分12 分）为了调査某大学学生在某天上网的时间，随机对lOO 名男生100 名女生进行了不记名的问卷调和查 . 得到了如下的统计结果：表 l: 男生上网时间与频数分布表表 2: 女生上网时间与频数分布表(I) 从这 100 名男生中任意选出3 人，其中恰有1 人上网时间少于60 分钟的概率；(II) 完成下面的 2X2 列联表，并回答能否有90% 的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？表3:?附：19. ( 本小题满分 i2 分）如图，在四棱锥

6、P-ABCD 中， PA 丄平 ABCD,面ABCADC900，BAD1200 ,AD=AB=1,AC和 BD 交于O点.第 4页共13页-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 -(I) 求证：平面 PBD 丄平面 PAC(II)当点 A 在平面 PBD 内的射影G 恰好是 PBD 的重心时，求二面角B-PD-G 的余弦值 .20.( 本小题满分12 分）x椭圆2y21(ab0) 的左、右焦点分别为F1 (-1 ， 0) ，F2 (1,0) ，过 F 1 作与 x 轴不重合的a2b2直线 l 交椭圆于A,B 两点 .(I)若ABF 2 为正三角形，求椭圆的离心率；5 1(II)

7、若椭圆的离心率满足0e2222,0 为坐标原点，求证:OA +OBAB21 ( 本小题满分12 分）设函数 f(x )=x2 +aln(x+1)(I) 若函数y=f(x)在区间 1,+ ）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；(II) 若函数 y=f(x)有两个极值点f ( x2 )1x1 ,x 2 且 x1 3;(II) 不等式 f ( x)1在区间 -， +)上恒成立，求实数a 的取值范围（第 6页共13 页-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 -2013年高中毕业班第一次模拟考试数学理科答案一、选择题A 卷答案1-5 DCBCC6-10 ADADD11-12 ADB

8、卷答案1-5 DBCBB6-10 ADADD11-12 AD二、填空题13 . 4x 3 y 1 0 或 x 2414 .515.2416 .1,2三、解答题 :( 阅卷老师 , 可根据学生的答题情况,酌情给分 )17. 解：第一步：在AEF 中，利用正弦定理，AEEF，sinsin(180)解得 AEa sin； ?4 分sin()第二步：在CEF 中，同理可得CEa sin； ?8 分sin()第三步：在ACE 中，利用余弦定理，ACAE 2CE 22AECE cos22222a 2 sina 2 sin2a sinsin cossin ()sin () sin()sin()?12 分（代

9、入角的测量值即可，不要求整理，但如果学生没有代入，扣2 分）18 解：（）由男生上网时间频数分布表可知100 名男生中，上网时间少于60 分钟的有60 人，不少于 60 分钟的有40 人， ?2 分故从其中任选 3 人，恰有1 人上网的时间少于60 分钟的概率为C601C402 ?4 分3C1001566 分? ?539（）上网时间少于60分上网时间不少于60 分合计男生6040100第 7页共13页-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 -女生7030100合计13070200?8 分K 2200(18002800) 22002.20 ， ?10 分1001001307091

10、K 22.202.706没有 90 的把握认为“大学生上网时间与性别有关”. ?12 分19. 解：（）依题意Rt ABCRtADC ，BACDAC ， ABOADO ，所以 ACBD ，?2分而 PA面 ABCD ， PABD ，又 PAACA ，BD面PAC ，又 BD面 PBD ，平面 PAC平面 PBD ?4 分（）z过A作AD的垂线为x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立如图所示坐P标系，则B(3,1， D(0,1,0)， C( 3,1, 0) ,设 P(0,0,) ，2,0)2313,1) ，所以 G(,)，PB(,66322由 AGPB ，得AGPB (31,)(3

11、1,) 0Ay,66322D解得1 ，2. ?6 分B222xCP点的坐标为(0,0,2) ；2面 PBD 的一个法向量为m6 AG( 3,1, 2) ， ?8 分设面 PCD的一个法向量为n(x, y, z) ， CD( 3,0,0)， PD(0,1,2 )020 即n PD2y z，n(0,1,2)?10 分n CD03x0cosn, mn m(0,1,2)(3,1,2)2 ，| n | m |362所以二面角 BPDA 的余弦值为2?12 分220.解：（）由椭圆的定义知|AF1| AF2| |BF1| |BF2|，又 |AF2|BF2|，1|BF1|，即1F2| AFF为边 AB 上的

12、中线，F1 F2AB , ?2 分在 RtAF 1F2中， cos302cc3, 则a，4a3333?4 分（注：若学生只写椭圆的离心率，没有过程扣椭圆的离心率3 分）33第8 页共13页-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 -5（）设 A( x 1, y1 ) ， B( x 2 , y 2)因为 0e51 ， c1，所以 a1. ?6 分122b42b4当直线 AB 与 x 轴垂直时，y2， OA OB xx,221， y212y y1212(a 23)25abaa42a 3a 1=24，因为235OAOB 0a2a 2a2，所以，AOB 恒为钝角，OA2OB2AB2. ?

13、8 分当直线 AB 不与 x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：yk (x 1)，代入 x2y 21 ，2a2 k 2 ) x22k2 a2 xa2 k 2a 2b 2a2b2整理得：0 ，(b2a 2 k 2a2 k2a2 b2x1x2b2a2 k 2， x 1 x 2b2 a 2 k2OAOBx1 x2y 1 y 2x xyyxx21)(x1)122k ( x12121x1 x2 (1 k 2 ) k 2 ( x 1 x 2 ) k 2222222 42222(a ka b )(1k )2a kk (ba k )b2a2 k2k2 ( a 2 b2a2b2 ) a 2b2b2a2 k2k2

14、(a43a 21)a 2b2?10 分b2a2 k 2令 m(a)a 43a 21 ， 由 可知 m(a)0 ，AOB 恒为钝角 . ，所以恒有 OA 2OB2AB2 ?12 分21.解：（） f / (x)2x22xa0 在区间 1,) 上恒成立，x1即 a2x 22x 区间 1,) 上恒成立，?1 分a4 . ?3 分经检验，当 a - 4时， f / ( x) 2 x 22x 4 2( x2)( x 1) ， x 1,) 时， f / (x)0 ，x 1x 1所以满足题意的a 的取值范围为4,) . ?4 分（）函数的定义域( 1, ) ， f / (x)2x22x a 0 ，依题意方程

15、2x 22x a 0 在区间x1第9 页共13页-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 -0( 1,) 有两个不等的实根，记g( x)2x 22xa ，则有g(1)0，1112得 0a. ?6分2x1x21, 2x222x2a 0 ， x211 2a ，1x20 ，22222x 2(2x 21) , x1f (x2 )x2(2x22x2 ) ln( x2 1) ，令 k (x)2x) ln( x(,0)x11x21x2?8 分k( x)x22x ln( x1) ， k / (x)x 22 ln( x1)， k / ( x)2x 26x2 ,x11( x1) 21( x1) 3因

16、为 k / (1 ), k/ (0)2，存在 x 0(,0) ，使得 k/( x 0 )0 ，2212x(x0( x0 ,0), x 0 )2k / (x)-0+k /(0)0 ， k / (1) 12 ln 20 ，k / (x)0 ，所以函数k( x) 在 (1,0) 为减函数，22?10 分k(0)k( x) k(1)即0f ( x2 )1ln 2?12 分2x12法二 :6 分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分 .【证法 2】 x2为方程 2x22 xa 0的解，所以a2 x222x2 , 01112a1a，xx0， x，x2,21222202f ( x 2)先证x10 ，即证 f

17、( x 2) 0（ x1x20 ） ,在区间 ( x1, x2 ) 内， f( x)0 ， ( x2 , 0)内 f( x) 0，所以 f ( x 2) 为极小值， f (x 2 )f (0) 0 ,f (x2)即 f (x2)0 ，0成立； ?8 分x1第10页共13页-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 -再证 f ( x2 )11ln 2，即证 f (x 2 )(1ln 2)(1x2) ( ln 2)( x 21) ,x1222x2 2(2 x2 22x2 ) ln( x21)(1ln 2) x21ln 2,212令 g (x)x2(2x 22 x) ln( x1)(l

18、n 2)x， x(1,0) ?10 分22g ( x) 2x(4x2) ln( x1)2x(x1)1ln 2) ,(1x122(2x1)ln( x1)(ln 2),21ln( x1)0， 2x10 ，ln 20 ,120，g( x)在 (, 0)为增函数g ( x)21g (x)g(1)1(211)ln1 ( 1 ln 2)2442221 1 ln 1 1 1 ln 21ln 2 422422f (x 2)1ln 2 成立 ?12 分综上可得0x1222. 证明 : （）BAD BMF ，所以 A,Q,M,B 四点共圆， ?3 分所以 PA PBPM PQ . ?5 分()PAPBPC PD , PC PD PM PQ又CPQMPD，,所以CPQ MPD， ?7 分 PCQPMD , 则 DCBFMD , ?8 分BADBCD ， BMDBMFDMF 2 BAD ,BOD2 BAD,所以 BMDBOD . ?10 分23. 解： ( ) 依题意2 sin 2cos ?3 分得： y 2x第11页共13页-WORD格式 - 可编