江西省萍乡市高三数学下学期第二次模拟考试试卷理(含解析)（精编版）

1、江西省萍乡市2016 届高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1. 若 z(1i )i ，则 | z | 等于（）32A 1BC22D 12【答案】 C考点：复数概念即运算.KS5U【易错点晴】在复数的四则运算上, 经常由于疏忽而导致计算结果出错. 除了加减乘除运算外, 有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识, 综合起来加以分析. 在复数的四则运算中, 只对加法和乘法法则给出规定, 而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算. 复数代数形式的运算类似多项式的运算, 加法类

2、似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律, 复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式, 除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题.2. 已知集合A x | x1 ， B x | x22 x0 ，则 (CR A)B（）A (0,1)B 0,1C (0,1D 0,1)【答案】 C【解析】试题分析：B0,2, CR A,1 , (CR A)B0,1 .考点：集合交并补.3. 已知sin10 ，且(, 3102) ，则 tan 2（）A 34D1 3【答案】 AB3C 143考点：三角函数恒等变形.4. 公元 263 年左右，中国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可

3、无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14 ，这就是著名的“徽率”. 下图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin150.2588 ， sin 7.50.1305 ）A 6B 12C24D 48【答案】 C【解析】试题分析：S16 sin 36033 ，判断为否，n12 ， S1 12 sin 3603 ，判断262212为否， n24 ，此时 S3.10 ，判断为是，退出循环，输出n24 考点：算法与程序框图.5. 过点P(1,2) 的直线与圆x2y24 相切，且与直线axy10 垂直，则实数a

4、的值为（）A 0B4C 334D 0 或 34【答案】 C考点：直线与圆的位置关系.6. 已知 a 为单位向量，ab(3, 4) ，则 |1ab |的最大值为（）A 6B5C4D 3【答案】B【解析】试题分析：设acos,sin，b3cos,4sin，1 a b13coscos4sinsin4sin3cos5sin，最大值为5 .考点：向量运算.KS5U7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中， 最长的棱的长是（）A 42B 25C 6D 43【答案】 D【解析】试题分析： 由图可知， 该几何体为四棱锥， 如下图所示， 最长的棱长为AB163243

5、.yxx的取值范围为（）A 14 ,75B 4,7C 14 , 45D 7,)【答案】 A考点：三视图.xy208. 已知实数x, y 满足约束条件xy70 ，则zx10考点：线性规划.9. 已知函数f ( x)A cos(x) 的图象如图所示，则f ( 5) 6（）A23B12C 12D 23【答案】 D考点：三角函数图象与性质.10. 已知抛物线y28 x 与双曲线x22a 2y1 的一个交点为M ， F 为抛物线的焦点，若| MF |5 ，则该双曲线的渐近线方程为（）A 5 x3 y0B 3x5 y0C 4 x5 y0D 5x4 y0【答案】 A【解析】试题分析：| MF|5 ，故 M3

6、,26，代入双曲线方程，9241,aa23，故渐近线为55 x3 y0 .考点：直线与圆锥曲线位置关系.KS5U11. 老师提出的一个关于引力波的问题需要甲、乙两位同学回答，已知甲、乙两位同学能正确回答该问题的概率分别为0.4 与 0.5 ，在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（）A 15B 27C 29D 9 10【答案】 B考点：条件概型.【思路点晴】事件A在另外一个事件B 已经发生条件下的发生概率. 条件概率表示为P( A | B) ，读作“在B 条件下 A 的概率”. 条件概率在概率论中占有相当重要的地位，是概率论基础知识中的一个基本概念. 在条件概率定义

7、的基础上，进一步探讨概率的性质、计算极其重要公式，有助于解决各种条件概率方面的问题. 条件概率在题目中会有明显的提示，如本题中“在这个问题已被解答的条件下”.12. 已知函数f ( x)2 x2 ， g( x)ax (x2a) 同时满足条件：xR,f ( x)0 或g( x)0；x(,4) ，使得f ( x) g( x)0 ，则实数 a 的取值范围是（）A (2,0)B (,2)C (8,0)D (0, 2)【答案】 B【解析】试题分析：当a1 时，gxx x2，当 x2,时， fx0, gx0 ，不符合题意，排除D.当 a1 时，gxxx2 ，当 x,2， fx0, gx0 ，不符合题意，排

8、除A， C，故选 B.考点：函数图象与性质.【思路点晴】本题考查指数函数、二次函数图象与性质，考查了简单的分类讨论思想，考查 了特殊值排除法这个选择题中的解题技巧. 在题目已知的两个函数中fx是由函数y2x 向下平移两个单位所得，所以当x,1 时， fx0 ， x1,时， fx0 ，对于函数 gx 它的两个零点是0,2 a ，当我们选取特殊值a1,a1时，结合图象就能解决本题.第卷（非选择题共90 分）二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，满分20 分）13. 在 (x1 )的展开式中，常数项为.6x2【答案】 15'x考点：二项式展开式.14. 已知函数f ( x)aexe 的导

9、函数f (x) 的图象关于原点对称，则a.【答案】 1【解析】试题分析：依题意f 'xaexxe关于原点对称，a1 时 f 'x为奇函数，符合题意.考点：函数导数.15. P 是长宽高分别为12,3,4的长方体外接球表面上一动点，设P 到长方体各个面所在平面的距离为 d ，则 d 的取值范围是.【答案】0, 252【解析】试题分析：当P 在长方体各个顶点时，距离d0 . P 到长方体各个面所在平面的距离，也即是半径减去或加上圆心到各个面的距离，依题意可知， 圆的半径为1449161322，所以距离分别为取值范围为，故13121 , 133135,49131225 ,1338,1

10、34172222222和2222222220, 25.2考点：立体几何.222【思路点晴】 设几何体底面外接圆半径为x , 常见的图形有正三角形, 直角三角形 , 矩形 , 它们的外心可用其几何性质求; 而其它不规则图形的外心, 可利用正弦定理来求. 若长方体长宽高分别为 a,b, c 则其体对角线长为abc；长方体的外接球球心是其体对角线中点. 找几何体外接球球心的一般方法: 过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线, 交点即为球心16. 在ABC中， AB则2 ， cos A1 ，点 D 在 BC 边上， 且满足 AD82 ， 2BDDC ，cosB 的值为.【答案】34【思路点晴】本题考查

11、解三角形、正弦定理和余弦定理. 对于解三角形的题目，我们先将图形画出来， 其中 AD2 ，而题目又有条件2BDDC ，那么我们就可以设BDx, CD2 x ，由此得出完整的图形如上图所示. 题目给了cos A1，那么第一个方程就用角A 的余弦定8理来表示，而题目要求的是角B 的余弦值，那么我们就在大小两个三角形中分别用余弦定理表示 cosB ，联立方程组就可以求解.KS5U三、解答题（本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. （本小题满分12 分）已知数列 an 满足： a3 ， 2 aa5 .1n 12n2n（ 1）求数列 an的通项公式；（ 2）求

12、数列 an中所有整数项的值.【答案】（ 1） an5n2n；（ 2） a22 .2试题解析：（ 1）由2aa5 ，得 2 n 1 a2n an15 ，即 2a2n a5 ，2n 1nnn 1nn 1nn数列 2 n a 是公差为5 的等差数列 .首项 an21 ? a15n2n3 ， 2 n an2.35( n1)5n2 ，（ 2）若 an5n2 为整数，则n 必为偶数 .2n5(n1)25n275n又 an 1ann 1nn 1，222 n1 时， an 1an0 ； n2 时，an 1an0 ， a1a2 ,a2a3a4an，由于 a22 ， a49， a6871 ，16 an 中整数项只

13、有第2 项，且 a22 .考点：等差、等比数列.18. （本小题满分12 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，ACB90 ， AC2a ，D, E 分别为AC , AB 的中点，沿 DE 将ADE 折起，使得二面角A'CBA 为 45 .（ 1）求证：CDA' E ；（ 2）求平面AC'D 与平面A' BE 夹角的余弦值 .【答案】（ 1）证明见解析； （ 2）33.试题解析：（ 1）ACB90 ， D, E 分别为 AC , AB 的中点，DE / /CB ， DEDA' .又 DEAC，且 ACA' DD ， AC , A' D

14、9;面 A AC ，则 DE'面 A AC ，又 DE / /CB ，则 BC面 A' AC ，即ACD 为二面角A'CBA 的平面角，所以ACD45 ，又 A' DCD ， 则 CDA' D ，又 CDDE ， DEA' D'D ， A D, DE面 A' DE ，则 CD面 A' DE ，'因为 A' E面A DE ，故CDA' E .考点：空间向量与立体几何. KS5U19. （本小题满分12 分）户外运动已经成为一种时尚运动，某公司为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本公司全体 6

15、50 人中随机抽取50 人进行问卷调查.（ 1）通过对挑选的50 人进行调查，得到了如下22 列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男员工5女员工10合计50已知在这50 人中随机挑选1 人，此人喜欢户外运动的概率是0.6 ，请将 22 列联表补充完整，并估计该公司男、女员工各多少人；（ 2）估计有多大的把握认为喜欢户外运动与性别有关，并说明你的理由；（ 3）若用随机数表法从650 人中抽取员工，现规定从随机数表（见附表）第2 行第 7 列的数开始往右读，在最先挑出的5 人中，任取2 人，求取到男员工人数的数学期望.附：P(K 2k0k0 )0.150 100.050.0250.0100.00

16、50.001bc)22.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072k 2n(ad(ab)(cd )( ac)(bd)随机数表：84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 9212 06 7663 01 63 78 5916 95 56 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 3952 38 7933 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 6602 79 54【答案】（ 1）列联表见解析，32

17、5 ， 325；（ 2）有 99.5% 的把握认为喜欢户外运动与性别有6关；（ 3）EX.5试题解析：（ 1）依题意， 50 人中喜欢户外运动的人为22 列联表补充如下：喜欢户外运动500.630 人，不喜欢户外运动合计男员工20525女员工101525合计302050所以该公司男员工人数为25650325 ，则女员工325 人.5050(2015105)2（ 2） K 2302025258.3337.879 ，有 99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关.考点： 1. 独立性检验；2. 超几何分布 .KS5U20. （本小题满分12 分）1x2y2已知离心率为的椭圆2C : a221(ab

18、b0) ，右焦点到椭圆上的点的距离的最大值为3.（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设点A, B 是椭圆 C 上两个动点，直线OA,OB 与椭圆 C 的另一交点分别为A1 , B1 ，且直线 OA,OB 的斜率之积等于3 ，问四边形4ABA1B1 的面积 S是否为定值？请说明理由.2【答案】（ 1） xy21 ；（ 2）四边形ABA1 B1 的面积 S 为定值 43 .43【解析】试题分析：（ 1）由题意知： ac3 ，又 ec a1， a22, c1 ， b3 ，所以椭圆 C2x2的方程为y1 ；（2）当直线AB 的斜率不存在时，设点2A( x,y) ，可得 | x |2 ，| y |436

19、 ， S24 | xy |43 . 当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为ykxm，联立椭圆得(34k2 ) x28kmx4m2120 ，写出根与系数关系，根据3kOAkOB化简4得 2m234k 2 . 利用弦长公式和点到直线距离公式，计算S4S OAB2| AB | ?d2| m| x1x2 |43 .（ 2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为ykxm ，联立椭圆得(34k2 ) x28kmx4m2120 ，设 A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，有8km4m2120 ， x1x2234k， x1 x22.34k kk3，得 3 x x4 y y0

20、 ，(34 k2 )x x4km(xx)4 m20 ，OA OB化简得：42m21 21234 k21 2122 | AB |1k| x1x2 |，原点 O 到直线 AB 的距离 d| m |，1k 2 S4SOAB2 | AB | ?d2 | m | x1x2 |2 | m |(xx )24 x x3m2843121 2234k综上，四边形ABA1 B1 的面积 S为定值 43 .考点：直线与圆锥曲线位置关系.KS5U【方法点晴】第一问是方程的思想，已知椭圆的离心率，也就是知道c ，那么我们只需要再a有一个条件，就可以求出椭圆的方程，本题中另一个已知条件是“右焦点到椭圆上的点的距离的最大值”

21、 ，这个距离的最大值为ac，在解题中我们可以直接运用. 第二问是设而不求的方法，先设出直线AB 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用根与系数关系计算面积，化简得到面积为43 .21. （本小题满分12 分）已知函数f (x)axex， g( x)ln( x21) .（ 1）若在 x0 处 yf(x) 和yg( x) 图象的切线平行，求a 的值；（ 2）设函数h(x)f ( x)a, xa，讨论函数h( x)零点的个数 .g(x)a, xa【答案】（ 1） a1 ；（ 2） a0 时， h( x)没有零点； a0 时， h(x) 有 1个零点； 0a1 时，h(x)有 3 个零点； a1 时

22、，h( x)有 2 个零点； a1 时，h(x)有 3 个零点 .【解析】试题分析：（ 1）f ' ( x)1a ex， g ( x)2xx21，切线平行，即斜率相等，把零代入可计算得'a1 ；（ 2）对 a 分成 a0, a0, a0 三类进行分类讨论.当 a0 时，f ' ( x)1a0 ，exf ( x)在 (, a 单增，f (a)aa eaa0 ， g( x)ln( x21)0a ，故 a0 时， h( x)没有零点 .当 a0 时，显然h( x)0 有唯一的零点x0 . 当 a0 时，又分成0a1,a1,a1三类进行讨论.f ' ( x)1a ex0

23、 ， xln aa1a，f ( x) 在 (,ln a上单调递减，在(lna, a 上单调递增， f ( x) minf (lna) ln a1 ，ln a1a （当且仅当a1 等号成立），f (a)aaaea f ( x)a 有两个根（当a1 时只有一个根xln a0 ），g( x)ln( x21) 在 (a,) 单增，令 s(a)g(a)aln( a 21)a ，s' (a)2aa2110 ，s(a) 为减函数，故s( a)s(0)0 ，ln( a 21)a ，g (x)a 只有一个根 . 0a1时 h(x)有 3 个零点； a1 时 h( x)有 2 个零点； a1 时，h(x)

24、有 3 个零点 .综合以上讨论：a0 时， h(x)没有零点； a0 时 h( x)有 1 个零点； 0a1 时 h( x) 有 3 个零点； a1 时h(x)有 2 个零点； a1 时，h( x)有 3 个零点 .考点： 1. 函数导数与不等式；2. 函数零点问题 .【方法点晴】有关切线的问题，主要突破口就在斜率和切点，本题中，已知条件“在x0 处yf (x) 和yg( x) 图象的切线平行”翻译过来也就是说在x0 处，这两个函数的导数相等，这样我们分别求出这两个函数的导数，列出方程， 就可以求解出论不能用在第二问，但是第二问在分类讨论的时候，有一种情况就是a1. 注意到第一问的结a1 .K

25、S5U请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号 .22. （本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲如图，已知 PA 与圆 O 相切， A 为切点， PBC 为割线， 弦 CD / / AP ，AD , BC 相交于 E 点，F 为 CE上一点，且DE 2EF ? EC .（ 1）求证：A, P, D , F 四点共圆；（ 2）若AE ?ED24 ， DEEB4 ，求 PA 的长 .【答案】（ 1）证明见解析； （ 2） PA53.试题解析：（ 1）DE 2EF ? ECDEEF，CEED，又DEFCED ，DEF CED .ED

26、FECD .又 CD / / PA，ECDP ，故PEDF ，所以 A, P, D , F 四点共圆 .（ 2）由相交弦定理得：BE ? ECAE ? ED24 ， BE4 ， EC6 . DE 2EF ? EC ， EFDE 28.EC3又 PE ? EFAE ? ED24， PE9 . PCPEEC由切割线定理得：15 .PA2PB ? PC51575 ，所以 PA53 为所求 .考点：几何证明选讲.23. （本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线2C1 : yx 上的点x'x1( x, y) 按坐标变换y'2 得到曲线2