哈师大附中 倪筱颖-坐标系与参数方程

1、哈师大附中哈师大附中 倪筱颖倪筱颖 地位与作用地位与作用 是是“平面解析几何平面解析几何初步初步”和和 “圆锥曲圆锥曲线与方程线与方程”的延续的延续与拓广与拓广地地位位与与作作用用|是解析几何与函数、是解析几何与函数、三角函数、向三角函数、向 量量等内容的综合应用等内容的综合应用|是高中数学课程选是高中数学课程选修系列修系列44的第四个的第四个专题，包括专题，包括“坐标系坐标系”和和“参数方程参数方程”两部两部分内容。分内容。|第一讲第一讲 坐标系坐标系|一、平面直角坐标系一、平面直角坐标系|二、极坐标系二、极坐标系|三、简单曲线的极坐三、简单曲线的极坐标方程标方程|四、柱坐标系与球坐四、柱坐

2、标系与球坐标系简介标系简介|第二讲第二讲 参数方程参数方程|一、曲线的参数方程一、曲线的参数方程|二、圆锥曲线的参数二、圆锥曲线的参数方程方程|三、直线的参数方程三、直线的参数方程|四、渐开线与摆线四、渐开线与摆线|坐标系是解析几何的坐标系是解析几何的基础，有了坐标系，基础，有了坐标系，使几何问题代数化成使几何问题代数化成为可能，为可能，它是实现几何它是实现几何图形与代数形式互相转图形与代数形式互相转化的基础，使精确刻画化的基础，使精确刻画几何图形的位置和物体几何图形的位置和物体运动的轨迹成为可能。运动的轨迹成为可能。|在不同的坐标系中，在不同的坐标系中，同一个几何图形可同一个几何图形可以有不

3、同的表现形以有不同的表现形式，这使解决问题式，这使解决问题的方法有了更多的的方法有了更多的选择。选择。 |教材从一个思考题出发，教材从一个思考题出发，复习了建立平面直角坐标复习了建立平面直角坐标系解决实际问题的方法，系解决实际问题的方法，并进一步提出思考并进一步提出思考:这种方这种方法与用直角坐标刻画点法与用直角坐标刻画点P的的位置有什么区别和联系位置有什么区别和联系?你你认为哪种方法更方便认为哪种方法更方便?为引为引入极坐标系埋下了伏笔。入极坐标系埋下了伏笔。 | 设点设点 是平面直角坐是平面直角坐标系中的任意一点，在变换标系中的任意一点，在变换 的作用下，点的作用下，点 对应到对应到点点

4、，称，称 为平面直角为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换简称伸缩变换,P x y0,0,:yyxxyxP,yxP,|在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点叫做极点；自极点O引一引一条射线条射线OX，叫做极轴；，叫做极轴；再选定一个长度单位、再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标样就建立了一个极坐标系。系。|设设M是平面内一点，极点是平面内一点，极点O与与点点M的距离的距离 叫做点叫做点M的的极径，记为极径，记为 ；以极轴；

5、以极轴OX为为始边始边,射线射线OM为终边的角为终边的角XOM叫做点叫做点M的极角，记的极角，记为为 ，有序数，有序数 对叫做点对叫做点M的极坐标，记做的极坐标，记做M 。一般地，不作特殊说明时，一般地，不作特殊说明时，我们认为我们认为 ， 可取任可取任意实数。意实数。 OM, , 0|建立极坐标系后，给定建立极坐标系后，给定 和和 ，就可以在平面内，就可以在平面内惟一确定点惟一确定点M，反过来，反过来，平面内任意一点，也可以平面内任意一点，也可以找到它的极坐标找到它的极坐标 。|请注意：这里没有强调一请注意：这里没有强调一一对应！一对应！, |一般地，极坐标一般地，极坐标 与与 表示表示同一

6、个点。特别地，极同一个点。特别地，极点点O的坐标为的坐标为 和直角坐标不同，平面和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标内一个点的极坐标 有无有无数种表示数种表示, ,2kkZ 0,R|如果规定如果规定 ， 那么除极点外，平面内的那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标点可用惟一的极坐标 表示；同时，极坐标表示；同时，极坐标 表示的点也是惟一确定的表示的点也是惟一确定的002, , |设设M是平面内任意一点，它的直角坐标是 ，极坐标 是 ，可以得到它们之间的关系：cossinxy , x y, 222tan0 xyyxx|一般地，在极坐标系中，如一般地，在极坐标系中，如果平面曲线果平面曲线C上任意

7、一点的上任意一点的极坐标中至少有一个满足方极坐标中至少有一个满足方程程 ，并且坐标适，并且坐标适合方程合方程 的点都在的点都在曲线曲线C上，那么方程上，那么方程 叫做曲线叫做曲线C的极坐标方程。的极坐标方程。 ,0f ,0f ,0f |圆心在极点的圆的极圆心在极点的圆的极坐标方程为坐标方程为|圆心不在极点，但经圆心不在极点，但经过极点的圆的极坐标过极点的圆的极坐标方程是方程是 其中其中 是非零数，是非零数， 是常数是常数rsinaa| cossin0abc, ,a b c其为其为 常数常数)sin()sin(00重点重点 过极点的直线过极点的直线之间的一种对应关系。了空间的点与有序数组表示。这

8、样，我们建立的位置可用有序数组标，这时点上的极坐在平面表示点用平面上的射影为任意一点，它在是空间设坐标系一般地，建立空间直角),()(,()20 , 0(),(,zRzzPOxyQQOxyPOxyzzzPPz，其中的柱坐标，记作叫做序数组有坐标系叫做柱坐标系，把建立上述对应关系的200),(),(yxxozQ),(zPzzyxzzyxPsincos),(),(之间的变换公式为与柱坐标的直角坐标空间点系，之间建立了一种对应关有序数组表示，这样，空间点与数组点的位置就可以用有序，这样正角为时所转过的最小轴按逆时针方向旋转到，平面上的射影为在，设向所夹的角为轴正与，记任意一点，连接是空间设坐标系一般

9、地，建立空间直角),(),(,rrPOQOxQOxyPOzOPrOPOPPOxyz20 ,0 , 0),(),(rrPPr其中记作的球坐标，叫做点极坐标系），有序数组间系叫做球坐标系（或空把上述对应关系的坐标),(rPcossinsincossin),(),(rzryrxrzyxP之间的变换公式为与柱坐标的直角坐标空间点|参数方程是曲线的另参数方程是曲线的另一种表现形式，它弥一种表现形式，它弥补了普通方程表示曲补了普通方程表示曲线的不足，极坐标与线的不足，极坐标与参数方程为研究较为参数方程为研究较为复杂的曲线提供了工复杂的曲线提供了工具。具。参数方程的概念|一般地，在平面直角坐标系中，一般地，

10、在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数都是某个变数t的函数的函数 ， , x y并且对于并且对于t的每一个允许值，的每一个允许值，由方程组所确定的点都在这由方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的参数方程，联系变条曲线的参数方程，联系变数数x,y 的变数的变数t叫做参数，相对叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做点的坐标间关系的方程叫做普通方程普通方程|可以通过消去参数而从参可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。数方程得到普通方程。|如果知道变数如果知道变数x,

11、y 中的一个中的一个与参数与参数t的关系，把它代入的关系，把它代入普通方程，求出另一个变普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么就数与参数的关系，那么就得到曲线的参数方程得到曲线的参数方程参数方程的应用|求常用曲线的参求常用曲线的参数方程数方程|直线直线的参数方程的参数方程|圆锥曲线圆锥曲线的参数的参数方程方程|渐开线与摆线渐开线与摆线|椭圆的参数方程椭圆的参数方程|双曲线的参数方程双曲线的参数方程|抛物线的参数方程抛物线的参数方程|经过点经过点 ，倾斜角，倾斜角为为 的直线的参数方程的直线的参数方程是是 00cossinxxtyyt00,M xy|摆线摆线|渐开线渐开线渐开线渐开线将一个圆

12、轴固定在一个将一个圆轴固定在一个平面上，轴上缠线，拉平面上，轴上缠线，拉紧一个线头，让该线绕紧一个线头，让该线绕圆轴运动且始终与圆轴圆轴运动且始终与圆轴相切，那么线上一个定相切，那么线上一个定点在该平面上的轨迹就点在该平面上的轨迹就是渐开线。是渐开线。 渐渐开开线线直线在圆上纯滚动时，直线直线在圆上纯滚动时，直线上一点上一点K的轨迹称为该圆的的轨迹称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，直线称为渐开线的发基圆，直线称为渐开线的发生线。生线。 渐开线的形状仅取决渐开线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，于基圆的大小，基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直；基圆为无穷渐开线越平直；基圆为无穷大时，渐开线为斜直线大时，渐开线为斜直线。 渐开线方程渐开线方程渐开线方程为：渐开线方程为：x=rcos+rsiny=rsin-rcos式中，式中，r为基圆半径；为基圆半径；为为展角，其单位为弧度展角，其单位为弧度 |摆线是研究一个动圆在一条摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。圆上一点的轨迹。|当基线是直线时，就得到平当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。摆线或变幅平摆线。|