正弦定理和余弦定理

1、正弦定理和余弦定理偽考风向】1 考査正弦立理、余弦泄理的推导：2.利用正、余弦泄理判断三角形的形状和解三角形；3. 在解答题中对正弦定理、余弦左理、而积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考査.【学习要领】1 理解正弦立理、余弦左理的意义和作用：2.通过正弦、余弦立理实现三角形中的边角转 换，和三角函数T生质相结合.mho正弦泄理:亦二亦二亦2心中斤是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形：宀：c=sin_i4 : sin_万：sin_ G （2）a=2 斤 sin_ ZL b=2Rsin_ B. c=22fein_ G （3）sinJ=一，n 吐磊 sin*吕等形式，解决不同

2、的三角形问题.2. 余弦立理：=Zf+2bccos X,流才+ /2accos_5 c=/+Zf 2已Zcos_C余弦左理可以变形：_5 + c”一S一cos 4 2bc COS 5= 2ac cos C= 2W3. S3c=*absin C=bcsin J=lacsin 5=fA=* （a+b+c） fCt是三角形内切圆的半径），并可由此讣算爪匚4. 在磁中，已知心b和时，解的情况如下：外为锐角於为钝角或直角图形尖系式a=bsin AZsin Aab解的个数一解两解一解一解难点正本疑点淸源1. 在三角形中，大角对大边，大边对大角：大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在磁中.J5A=a

3、ZA=sin Jsin B： tan A tanBtanC=tanA tauB tanC：在锐角三角形中，cosAvsinBf cosAsinC 2. 根据所给条件确泄三角形的形状，主要有两种途径：（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）左理实施边、角转换.L在磁中若治60。，尸心则2. （2012 福建）已知磁的三边长成公比为花的等比数列，则英最大角的余弦值为353. （2012重庆）设丽C的内角出B. C的对边分别为6, 6且cos月二三cos B= b=3,则c4. （2011课标全国）在磁中，5=60 , AC=门.则初+2氏的最大值为 5. 已知圆的半径为4, a、庆c为该

4、圆的内接三角形的三边，若则三角形的而积为（）A.2花B. 8花题型一利用正弦左理解三角形【例1】在磁中、a= b=型,万=45。球角、C和边c.思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦左理解这个三角形，但要注意解的个 数的判断.探究提髙(1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦左理代入求解即可.(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦左理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的 难点，应引起注意.变式训练1已知a, b,c分别是磁的三个内角月，B, C所对的边，若a=l, b=书,ZC=2B、则角A的大小为.题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在磁中

5、、久c分別是角、& Q的对边，且一歹彳一cos C2a+c(1) 求角万的大小：(2) 若 b=yBf a+o=4,A磁的而积.思维启迪：由如一；利用余弦左理转化为边的矢系求解.cos C 2a 十 c探究提髙(1)根据所给等式的结构特点利用余弦左理将角化边进行变形是迅速解答本题的矢键.(2)熟练运用余弦泄理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练2已知儿B、Q为遊的三个内角，其所对的边分别为a, bf6且2cosA+cos A=0.仃)求角月的值：若心6+c=4,求磁的而积.题型三正弦定理、余弦建理的综合应用【例3】(2012课标全国)已知a, b,c分别为磁三个

6、内角乩B、C的对边，acos Q+gasin Cbc=0.求若a=2, 磁的而积为羽，求b o思维启迪：利用正弦立理将边转化为角，再利用和差公式可求出丘而积公式和余弦左理相结合，可求出 c.探究提高在已知矢系式中，若既含有边又含有角通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再 结合正、余弦圧理即可求角.变式训练3在磁中，内角B, C所对的边长分别是a, bf c.(1)若c=2,片才，且磁的而积为羽，求a, b的值；代数化简或三角运算不当致误 典例：（12分）在磁中，若（/+Z?:）sin（J=&6：）sinU+5）,试判断磁的形状.审题视角（1）先对等式化简，整理成以单角的形式表示.（2）判断

7、三角形的形状可以根据边的矢系判断，也可以根据角的尖系判断，所以可以从以下两种不同方式切 入：一、根据余弦定理，进行角化边：二、根据正弦定理，进行边化角.温馨提醒（1）利用正弦、余弦左理判断三角形形状时，对所给的边角尖系式一般都要先化为纯粹的边之间的 矢系或纯粹的角之间的矢系，再判断.（2）本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形.（3）易错分析：方法一中由sin 2J=sin 2尸宜接得到其实学生忽略了 2月与2万互补的情况，由于计算 问题出错而结论错误.方法二中由（一歹）二（子+刃&一佛不少同学直接得到二/+庆英实是学生忽略了子一歹 二0的情况，由于

8、化简不当致误.结论表述不规范.正确结论是/!證为等 腰三角形或直角三角形，而不少 学生回答为：等腰宜角三角形.高考中的解三角形问题典例：（12分）（2012 辽宁）在中，角月，5,C的对边分别为a, b, c.角月，E, Q成等差数列.（1）求COS万的值：（2）边a, bf c成等比数列，求sin Asin C的值.解后反思（1）在解三角形的有尖问题中，对所给的边角矢系式一般要先化为只含边之间的尖系或只含角之间 的尖系，再进行判断.（2）在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个左理以及变形的方向.思想方法感悟提高方法与技巧ABC1. 应熟练掌握和运用内角和左理：A+B+C=nf 5+2 +

9、2=T中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.2. 正、余弦泄理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin:J=sin:5+sin C2sin sin C cos A.可以进行化简或证明.失误与防范1. 在利用正弦立理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可 能出现一解、两解，所以要进行分类讨论.2. 利用正.余弦左理解三角形时，要注意三角形内角和肚理对角的范用的限制.A组专项基础训练（时间：35分钟，满分：57分）一. 选择题（每小题5分，共20分）1.（2012 广东）在月庞中，若 ZJ=60 , Z5=45 , BC=3 则 M

10、等于（）4心B 2人32.3.4.5.6.7.i8.9.1.2.3.（2011 浙江）在月庞中，角入B Q所对的边分别为a, b, c若Xos A=bsin B.贝ljsin Jcos /14-cos:5 等于（）A. -C.1D. 1在磁中，a,b,。分别为角儿B, Q所对的边,a=2bcosG则此三角形一泄是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形（2012湖南）磁中，AC=y/79BC=2. 5=60，则庞边上的髙等于（）、填空题（每小题5分，共15分）（2011 北京）在中，若 b=5, Z5=y, sin贝U a= （2011 福建）若AMC的而积

11、为羽，BC=2, C=60，则边也的长度等于.在磁中，若恥=乐,乩=5,且cos *滸则證二、解答题（共22分）（10分）在肋Q中，角儿B, C所对的边分别为a, b, c,且满足cos #=竿，AB-AC=3.（1）求磁的面积：（2）若b+c=6,求a的值.1 *7（12分）在月应 冲，a、庆c分别为角川、6 的对边，4sin： cos 24（1）求月的度数：（2）若a=农b+c=3,求b、c的值.B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）（2012上海）在/!證中，若sin:J+sin:5BC, 3=20acos A9 贝lj sin A : sin B ： sin C为（）C 5 ： 4 ： 3D 6 ： 5 ： 4二、填空题（每小题5分，共15分）4. 在磁中，a、b、c分别为ZE、ZB、ZQ的对边长，已知a, b、c成等比数列，K f=a