大学物理电磁学-电容

1、 第五章 电容 与 电场的能量 §1 电容器与电容一.电容器(capacitor) 1.构成：两金属极板，其间充以电介质。 2.指标：电容量 耐压二.电容(量)(capacity) 1.定义：电容器带电量与其电压之比C =QV ·电容决定于电容器本身的结构(极板的形 状、尺寸及极板间的电介质情况)和所带 电量无关。·单位：法(F) 2.计算 步骤：设Q Þ D Þ E Þ V Þ C òSD×dS=Q D=eE V=òabE×dl C=Q /V例1求如下球形电容器的电容。高斯面R3R2

2、R1rQer1er2-Q 注：图中各界面(电介质与电介质、电介 质与金属极板)紧密接触 解:·设内、外极板分别带电Q、-Q ·求D：在电介质1中画高斯面，有 òS D1×dS = Q 由对称性分析可得 D1(4pr2) = QD1=Q4pr2， (R1£ r£ R2) D2=Q4pr2， (R2£ r£ R3) 电介质2中，同理有 ·求E：由 D = eE有E1=Q4pe0er1r2， (R1£ r £R2) 电介质1中 电介质2中，同理有E2=Q4pe0er2r2， (R2£

3、; r £R3) 此题中E1、E2也可如下得出，Ef =Q4pe0r2 由 E =Efer 及 ·求V： R1V = ò E1×dl + ò E2×dlR2R2R3 将E1、E2代入可得- )- ) +V =Q4pe01er11R11R2(1er21R21R3( ·求C： 由C = Q/ V 有- )- ) +C =4pe01er11R11R2(1er21R21R3( 讨论：(1)电容器中充电介质的好处·若 er1 = er2 = er ，即球形电容器中充满同 C =4pe0erR1R3R3 - R1= erC0

4、种电介质 有 其中C0为真空球形电容器的电容C0 =4pe0R1R3R3 - R1 可见 C = erC0 >C0 电容器中充电介质的好处： 增大电容量； 还可提高耐压。(2)电介质的击穿·若电介质中的场强很大，电介质分子的正 负电荷有可能被拉开而变成可自由移动的 电荷。大量自由电荷的产生，使电介质的 绝缘性能破坏而成为导体电介质的击穿 (electric breakdown of dielectric)。·介电强度：电介质可承受的最大场强。·电容器上所加电压较大时，有可能被击 穿。可根据电介质的介电强度计算电容器 的耐压。计算时要注意什么地方的场强最 大，

5、那里最危险。(3)孤立导体的电容·对于孤立导体，可认为它和无限远处的另 一导体组成电容器。·对一在空气中的半径为R的孤立导体球， 可认为它和一半径无限大的同心导体球面 组成一电容器。由球形电容器的结果可得 其电容为： C = 4pe0R 例2圆柱形电容器电容的计算 (见教材p142)三.电容器的串并联(略)1C=1C1+1C2+1C3+ 1.串联：等效电容 C =C1C2C1+ C2·若仅有两个电容器串联 2.并联：等效电容 C = C1 + C2+ C3+思考：(1)如电容器两极板电量不等，怎样计 算电容量？(2) 如考虑电容器的边缘效应，电容量怎样变 化(与不

6、考虑边缘效应时相比)？§2 电容器储能 电场的能量一.电容器储能·当电容器带电后，同时也储存了能量。·因静电能和具体带电方式无关，以下面方 法给电容器带电： q + dqQE-Q-(q +dq)q-q2dq-2dqdq-dq00t = tt = 0 以平板电容器为例，其电容量为C。·自t = 0开始，每次自下极板把微量电荷dq 移至上极板，电容器间电场逐渐加大，除 第一次外，每次移动外力都要克服静电力 作功。·至t时刻，电容器已带电q，此时若再移 动dq，外力作功为 dA = udq = (q/C)dq 最后，使电容器带电Q ，则外力作功共Q2

7、2CA = ò0 dAQ= ò0 ( )dqQqC= 为 外力作的功全部储存在电容器中。W =Q22C 电容器储能 =QV2W =Q22C=CV 22 还可有 注意:大电容千万不能摸(指极板处)！心脏起搏器(利用电容器储存的能量) 应用：(1)照相机闪光灯 (2)心脏起搏器二.电场的能量 电容器的能量是储存在电容器的电场中。 C =e0erSd 1.平板电容器情形·电容 W =CV 222=e0erSE2d22d= (e0erE22)V体= (e E 22)V体·储能 e E 22 式中 为电场的单位体积中的能量。 ·引入电场能量密度：电场单位

8、体积中的能we =e E22DE2= 量。 we =D×E2 2.一般情形 W = ò wedu体 (对全部电场体积积分)三.能量问题的计算 1.能量的计算(1)对电容器·由储能公式 =QV2W =Q22C =CV 22·由场能公式 W = ò wedu体(2)对非电容器 由场能公式 W = ò wedu体 例求均匀带电球面电场的能量。R·rQdrdV体 E =Q4pe0r2 解:·离中心r处的场强 ·电场能量密度we =e0E 22=Q232p2e0 r 4 ·在电场空间取球壳状体积元 du体

9、= 4pr 2dr= òR ( )4pr 2drW = ò we du体Q232p2e0 r 4¥=Q28pe0R·电场能量 2.能量变化的计算(1)引起能量变化的原因·电容器结构情况的变化，如 Q-QÞQ-Q初态末态 Q-Q-QQÞer初态末态·电容器中电介质情况的变化，如 ·电容器连接情况的变化，如QQ-Q-Q00Þ初态末态 (2)变化过程中的保持条件·变化过程中保持电容器的电量不变 (电容器充电后和电源断开)；·变化过程中保持电容器的电压不变 (电容器始终和电源相联)。

10、例1 带电Q的平板电容器板间距为d，现 用力缓慢地拉动下极板，使板间距变为 2d，求 (1)电容器能量的变化；SdF电F外Q-QÞ2dQ-Q初态末态(2)外力所作的功。 解：(1)电容器能量的变化=Q2de0S-Q2d2e0S=Q2d2e0S> 0DW = W末 -W初=Q22C末-Q22C初= Q212( )e0S2d12( )e0S d- (2)外力作功= Q( ) dQ 2e0S= > 0Q 2d 2e0SA外 = F外d = F电d = Q(E上)d 可见，是外力作功使电容器能量增加。练习：如电容器始终与一个端电压为V的电源相连，板间距由d®2d，再作此

11、题。 例2 求两电容器并联前后，电容器组的能 量变化(设每个电容器的电容量为C0)。QQ-Q-Q00Þ初态末态 DW = W末 -W初Q22C末=Q22C初-=- Q24C0< 0Q22(2C0)=Q22C0- 解： 能量哪儿去了？*§3 静电体系的能量·静电学部分有很多能量的概念：电势能； 相互作用能；电容器储能；电场能：。 ·这些能量是不是一回事，它们之间有何联 系与区别？·本节作些概括性讨论。一.静电体系的静电能1.静电体系：由若干静止的带电体组成的 系统。·一个静电体系可处于许多不同的状态；·在一个确定的状态下

12、，体系内各带电体上 的电荷分布及带电体间的相对位置(或带 电体的位形)是确定的。 2.静电体系的静电能： 静电体系处于某状态的电势能称静电势能 或静电能。 3.零静电能状态·静电能的数值是相对的。·体系内各带电体上的电荷无限分小，并彼 此相距无穷远的状态(以p表示)称零静电 能状态。 即 Wp = 0 4.某状态a的静电能·当体系由状态p ® 状态a ，外力要克 服体系内各电荷间的静电力作功 A外p®a = Wa - Wp Wa = A外p®a 体系在状态a的静电能等于把无限分散的 电荷聚为状态a外力所作的功。·体系由状态a

13、 ® 状态p时，静电力作功 A电a®p = -(Wp - Wa) Wa = A电a®p 体系在状态a的静电能等于把状态a的电 荷无限分小，并移至彼此相距无穷远的过 程中静电力所作的功。二.自能和相互作用能·把无限分散的电荷聚为状态a可想象分为 ¥¥¥qAqA状态aqBqBqCqC 两步： 第一步：按状态a要求的各带电体电荷分 布的样子，在A、B、C相距无 穷远的情况下，把无限分散的电 荷聚成带电体A、 B、C。 第二步：把带电体A、B、C在保持各自 电荷分布不变的情形下移至a状 态所要求的位置。·静电力是保守力，势

14、能只和状态有关，而 和聚集方式无关，这样的分步对分析问题 没有影响。 1.自能·第一步中，外力只需克服每个带电体自身 上各部分电荷间的静电力作功，相应的能 量称每个带电体的自能。 ·分别有A的自能、 B的自能、C的自 能。 静电体系的自能：各带电体自能之和。 2.相互作用能(互能)·第二步中，外力需克服各带电体之间的相 互作用的静电力作功，相应的能量称带电 体间的相互作用能。·状态a的静电能 Wa = Wa自 + Wa相 可见，某带电体的自能就是该带电体上各 部分电荷间的相互作用能。 一个体系的静电能 即 体系中所有电荷(指所有无限分小的电荷) 间的相互

15、作用能。三.点电荷组的相互作用能·设体系由两个点电荷组成。 两点电荷设已分别形成，但相距无穷远， 现把它们移至状态a的位置q1 ·· q21r2状态a ·可先把 q1 移至位置1 ，因 q1、q2仍相 距无穷远，故外力不作功。·再把q2移至位置2，外力作的功即为状态 a下体系的相互作用能 W相 = A外p®a = q2(U2 - Up) = q2U2 U2- q1在位置2处产生的电势W相 = q2( )q14pe0r 此式可变形为= q1U1 + q2U2 + ( )q22W相 = ( )q24pe0r q12q14pe0r 1212

16、 其中U1- q1所在处的电势 U2- q2所在处的电势 ·推广：点电荷组的相互作用能W相 = S qiUi12i (由n个点电荷组成的) Ui -除qi以外的所有其他点电荷在qi 所 在处产生的电势。四.电荷连续分布情形的静电(势)能 1.体电荷分布(体电荷密度r)·Dqi ·把带电体分为许多小体积元 Dui， 每个体积元带电量为 Dqi = r Dui 把它们看作点电荷。·由点电荷组相互作用能公式有21W相 = S DqiUi = S r DuiUi12 令体积元 Dui ®0 ，得12W = ò rUdu体 由于令Dui

17、4;0 ，已将电荷无限分小，这 样得出的无限分小电荷间的相互作用能即 是体系的静电能了。 ·积分对体系内的所有带电体进行。 2.线电荷分布(线电荷密度l )12W = ò lUdl 3.面电荷分布(面电荷密度s)12W = ò sUdS导体组的静电能·带电体系全由带电导体组成，每个导体各 自等势。= S Ui Qi = S Ui (ò si dSi) 12W = ò sUdS (对所有导体积分)= S (ò siUidSi) (对导体i积分)12i12i12i·由上式有 12W = S QiUii 即导体组的静电能

18、 Qi-导体i的带电量 Ui-导体i的电势·和点电荷相互作用能公式12W相 = S qiUii 对比，两式很相似，但不相同：(1)W相只是相互作用能，未包含点电荷的自 能。导体组的W则是静电能。(2)W相式中的Ui是qi所在处由qi以外的电 荷产生的电势。 导体组W式中的Ui是导体i的电势，它 是所有导体(包括i自己)共同产生的。五.电容器储能·电容器是特殊的带电导体组，它储存的能=QV2W =Q22C=CV 22 量为 电容器储能只是两极板间的相互作用能 呢，还是包含两极板自能在内的整个体系 的静电能呢？ ·由导体组的静电能公式 = Q V 12W = S Ui

19、 Qi i12 = Q+ U+ + Q- U- 12 = Q U+ - Q U- 12 = Q U+ - U- 12 可见，电容器储存的能量即是整个体系的 静电能。六.电场的能量 前面已由电容器储能公式得出了计算电场 能量的式子 W = ò wedu体 这说明：一个带电体系所产生的电场的场 能就是该体系所具有的静电势能。 状态aqAqCqB七.带电体在外电场中的电势能·带电体系 此体系的相互作用能应包括： A、B间的相互作用能； A、C间的相互作用能； B、C间的相互作用能。·如果把带电体A从体系中分离出来，则A 处于B和C的电场之中，此电场对A 来说就是外电场。

20、 · (A、B间的相互作用能) + (A、C间的相互作用能)= A在外电场中的电势能 一个带电体在外电场中的电势能即是此带 电体和产生外电场的电荷间的相互作用 能。 ·如带电体A是一点电荷qA ，则A在外电 场中的电势能为 W外 = qAU外 U外外电场在A所在处产生的电势。·如A是一有一定大小的带电体，外电场在 A上各点产生的电势U外可能不同。这时 需把A分成许多小体积元du(设A为体电 荷分布，电荷体密度为r)， 每个体积元带电为dq = r du dq在外电场中的电势能为 dqU外= r U外du 整个带电体A在外电场中的电势能W外= ò rU外d

21、u (对所讨论的带电体A积分) ·和连续带电体静电能公式12W = ò rUdu 对比：除相差因子1/2之外， U外是被积带电体上某点由外电场产生 的电势，不包括此带电体自己产生 的电势。 U 是被积带电体上某点的电势，此电势 是由其他带电体和被积带电体共同 产生的。八.小结(见表) 仍以前面带电体A、B、C组成的体系为 例 静 电 能 电容器储能 场 能 W=(1/2)òrUdu W=Q2/2C W=òweduW=(1/2)òsUdS =(1/2)QV W=(1/2)òlUdl =(1/2)CV2 W=(1/2)SQiUi自 能相互

22、作用能 W自A + W自B + W相AB W相AC W相BC W自C A在B、C C在A、B 场中的电势 场中的电势 能 能 例1 求两同心均匀带电球面系统的自能和 相互作用能。解:(1)自能·小球面W自1= ò1 s U1dS12 = U1ò1 s dS1 2 = U1Q11 2 U1 =Q14pe0R1 其中 是小球面自己产生的电 势。W自1 =Q128pe0R1 可得W自2 =Q228pe0R2·大球面 (2)相互作用能-即Q2(或Q1)在Q1(或Q2) 的 外电场中的电势能。 W相= W外= ò2sU外dS = U外 ò2s

23、dS = U外Q2U外 =Q14pe0R2 其中 是Q1在Q2处产生的 电势W相 =Q1Q24pe0R2 (3)静电能R22Q1Q2R1 Q12R2Q228pe01W =W = W自1 +W自2 +W相 + + ·讨论：(1)本题亦可由导体组的静电能公式去作1212W = Q1U1 + Q2U2(请自己作) (2)如令 Q1 = Q， Q2 = - Q 由前结果即可得出球形电容器的能量- = Q2R218pe0W =Q2R1Q22C 例2求一半径为R带电量为Q的均匀带电 球体的静电(势)能。 解：方法一利用连续带电体静电能公 式。·把球体分为无限多个无限薄的同心球壳， 每个球壳看作是体系中的一个带电体