北京市中国人民大学附中学2013届高三数学5月模拟考试试题文(含解析)

1、12013年中国人民大学附中高三5月模拟数学试卷（文科）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.（5分）设集合M=x|lgx0,N=x|x|0=x|x1,N=x|x|w2=x|-21log20.3v0.32v23，即cvbva故选B.点评：本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题.3.(5分)(2009?上海)已知直线11： (k-3)x+(4-k)y+1=0,与I2：2( k-3)x-2y+3=0, 平行，则K得值是()A.1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或2考点：直线的一般式方程与直线的平行关

2、系.专题：分类讨论.分析：当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3M0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值.2解答： （.一.一 .一 . _X一-解:由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为y=-1和y=,，显然两直线平行.k 4 k i当k-3工0时，由 -=-工一，可得k=5.综上，k的值是3或5,2 （k- 3）- 23故选C.3点评：本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想.4.（5分）一几何体的三视图如图所示，其体积为（A.12B. 36C. 18D. 20考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题.分析：由几

3、何体的三视图可知， 该几何体的体积.该三棱锥的咼和底面三角形的一边及此边上的咼，进而可求解答：解：由几何体的三视图可知，该三棱锥的高为6cm,其底面三角形的一边及此边上的高分别为5cm与些cm,5由棱锥的体积公式vgh，则该几何体的体积为1 X-X5X2. 4X6=12 （cm3）3j s故答案为A.点评：本题考查由几何体的三视图求其体积问题，属于基础题.5. （5分）设等比数列an的公比为q,前n项和为S.则“|q|=1”是“S4=25”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：等差数列与等比数列.分析

4、：根据等比数列的S=2S,把数列的前4项和与前两项的和用数列的通项表示出来，合 并同类项整理得到第三项和第四项的和等于第一项和第二项的和，得到公比的平方是1，从而得到结果.解答：解：等比数列an的前n项和为S，S4=2Sa，/ai+a2+as+a4=2（ai+a2）a 3+a4=ai+a2，q2=1，?“|q|=1”则“|q|=1”是“S4=2S2”的充要条件， 故选C.点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、等比数列的前n项和与数列的通项,)ent4是一个基本量的运算问题，这种题目做起来运算量不大，只要注意应用等比数列的性质就可以做对.6. (5分)若向量I,满足| j=| iy|

5、=2，且,? +【？尸6,则向量.,【的夹角为()A.30B. 45C. 60D. 90考点：数量积表示两个向量的夹角.专题：平面向量及应用.分析：“、“根据数量积的运算把条件代入a-b + bb二6进行化简，求出 已，b夹角的余弦值，再 求夹角的大小.解答： 一.解：由题意得,”U+bb=6,即b+b =6，4了+4二&，解得且./，则向量；，的夹角是60.故选C.点评：本题考查了利用向量的数量积向量夹角问题，属于基础题.7. (5分)已知函数f (x)=si n(3x+0)(30，|$|v)的部分图象如图，设数列2an的通项公式为，则an的前2013项之和为()A.-1B.1C.1

6、D. 0考点：: 数列的求和；由y=Asin(3 x+$)的部分图象确疋其解析式.专题： 三角函数的图像与性质.分析：:、看图象，由周期可得3，由f ()=1及|$|v可求0,从而得f (x)解析式，6 2进而得an表达式，易判断数列an的周期，根据数列的周期性可得an的前2013项之和.解答： 彳解:由图象知，一J丄1,12 6一2K所以3=2,5所以f(x)=sin(2x+_),易知数列an的周期为6，且.一_ln T1144aABCD的棱长为1,E、F分别是棱AA,CC的 中点，过直线E、F的平面分别与棱BB,DD交于M N,设BM=x x0,1，给出以下 四个命题：1当且仅当x=0时，

7、四边形MEN啲周长最大；2当且仅当x=时，四边形MENF勺面积最小；23四棱锥C-MENF勺体积V=h(x)为常函数；4正方体ABC-AB C D被截面MENF平分成等体积的两个多面体.以上命题中正确命题的个数()A.4B. 3C. 2D. 1考点：命题的真假判断与应用.专题: 压轴题；空间位置关系与距离.分析：判断周长的变化情况四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可求出四棱锥的体积，进行判断计算两个多面体的 体积关系.又f(M)=1,sin6而|$|v二，所以2(2X二+$ )=1,6.=一9=,6a3=sin(兀+-I,6解答：解：因为EF丄MN所以

8、四边形MENF1菱形当x0,丄时，EM的长度由大变2小.当x1,1时，EM的长度由小变大.2所以当x=0或x=1时周长都为最大值.所以错误.2连结MN因为EF丄平面BDDB,所以EF丄MN四边形MENF勺对角线EF是固定的， 所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=2时，2此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小.所以正确.3连结CE,CM,CN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以CEF为底，以M N分别为顶点的两个小棱锥.因为三角形CEF的面积是个常数.M N到平面CEF的 距离是个常数，所以四棱锥C-MEN的体积V=h(x)为常函数，所以正确.4因为

9、E,F是固定的中点，所以当M在运动时，AM=DN DN=BM所以被截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的，所以它们的体积也是相同的.所以正确.所以四个命题中是真命题.所以选B.点评：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本 题 巧 妙 的 把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力 要求较高.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上9.(5分)已知.：_ | : ，其中a,b是实数，i是虚数单位，则a+bi= 2+i考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算.专题：计算题.分析：由条件可得，a=b

10、+1+(b-1)i，再根据两个复数相等的充要条件求得a和b的值,即可求得a+bi的值.解答：解：已知-r=l+bi，-a=(1+bi) (1-i),即a=b+1+(b-1)i,1_ira=b+lr *，二a=2,b=1，贝U a+bi=2+i,b1=0v. 故答案为2+i.7点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 的充要条件，属于基础题.10.(5分)已知实数x1,9，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为38考点： 彳循环结构.专题：: 图表型.分析：1Z/由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围

11、，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率.解答： 丿Z解：设实数x1,9,经过第一次循环得到x=2x+1,n=2经过第二循环得到x=2(2x+1)+1,n=3经过第三次循环得到x=22(2x+1)+1+1,n=3此时输出x渝出的值为8x+7令8x+755,得x6g 6令由几何概型得到输出的x不小于55的概率为=.9-1 S故答案为：.S点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果， 根据结果找规律.y - 2Q0工-:表示的平面区域为D,若直线2x+y=b上存在区域DQo上的点，贝U b的取值范围 是0,81.考点：二元一次不等式(组)与平面区域.

12、(i的幕运算性质，两个复数相等8:不等式的解法及应用. - 2y0先依据不等式组x+2y- 40其表示的平面区域，再利用直线的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题.则b的取值范围是0,8. 故答案为：0,8.这是一道略微灵活的线性规划问题，本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题.12. （5分）对长为800m宽为600m的一块长方形地面进行绿化，要求四周种花卉，花卉带 的宽度相等，中间种草，并且种草的面积不小于总面积的一半，则花卉带的宽度范围为（0,100（用区间表示）.考点： 二次函数的性质.专题：计算题；应用题.分析：:种草的小长方形的

13、长为（800-2x）cm,宽为（600-2x）cm,根据“种草的面积不小于总面积的一半”可列出不等式（800-2x） （600-2x）X800X600,解方程，主2要x自身的范围.解答： 丿解:因为种草的小长方形的长为(800-2x)cm,宽为(600-2x)cm,则其面积为(80021-2x) (600-2x)cm根据题意得：(800-2x) (600-2x)-X800X600其中xv3002整理得：x2-700 x+60000解之得：x0)2的焦点为F：2,设椭圆C与抛物线C2的一个交点为P(x,y) ,|pF|，则椭圆G的标32 2准方程抛物线C的标准方程为吕考点：抛物线的简单性质；椭圆

14、的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据题意设出椭圆的方程， 把椭圆的方程与抛物线的方程进行联立，得到交点的坐标,|PFi|的长，求出m的值，求写出椭圆的方程、抛物线C2的标准方程，得到结果.解答：解：因为c=m, e=_,22 2 a=2m b2=3ni,设椭圆方程为 -二,疳3ID2由椭圆的方程与y2=4mx得3x2+16mx- 12ni=0=IT，1, *33即（x+6mi）（3x-2m）=0，得Xi代入抛物线方程得y= m3|PF2|=xi+m=,35irTIT7|PFi|=2a-3 3/ m=1当m=1时,椭圆C的标准方程为2 2-；抛物线C2的标准方程为八做故答案为

15、:/ / 21 ;y =4x.611曲线之间的交点问题，本题主要考查运算，整个题目的解答过程看起来非常繁琐，注 意运算.严，n4i 50-45,n=5_;若as是an中的最大值，则实数-2n+a,考点：数列的概念及简单表示法.专题：计算题；压轴题.分析：利用an=S-Si，结合已知条件，即可得到数列的通项，利用as是an中的最大值,建立不等式，即可求实数a的取值范围.解答：解：2wnW4时，an=S-S i=2n1,n=1时，ai=S=1也满足上式；n6时，an=S-S-1 =2n+a,n=5时，a5=Ss-S5a45n4a n= 5a - 45, n=5；-2n+去n6严，n 0)的图象上两

16、相邻最高点的坐标 分别为(，2)和(龙，2).23(I)求3的值；()在厶ABC中，a,b,c分别是角A B、C的对边，且f ( A)=2，求角A的大小及丄的a取值范围.:正弦定理；由y=Asin(w x+$ )的部分图象确定其解析式.:解三角形.:(I)函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，象上相邻最高点横坐标之差求出函数的周期，即可求出3的值；14. (5分)已知数列an的前n项和h n8且5a - 45-12+a,由函数图(H)将w的值代入函数解析式，根据f (A) =2,求出sin(2A-a的取值范围是12)=1,根据A为三角形的内角，确定出2A-匹的范围，利用特

17、殊角的三角函数求出A的度数；由6sinB=sin（n-A- C）及sinA的值，利用正弦定理化简所求式子为一个角的正弦函 数，由C的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出所求式子的 范围.解答：解：（I）f（x）=Tljsin3x-cos3x=2sin（ wx-）,6函数图象上两相邻最高点的坐标分别为（,2）和（聖！，2）,33函数的周期T县王-=n,33则3=2；（n）Tf（A）=2sin（2A-匹）=2, sin（2A-匹）=1,6 6/ 0AV n ,-2Lv 2A-2v卫6 6 62A 2L=2!，即AL,623由正弦定理得： 氏空鱼=!sin（里 -C）,a sinA

18、 330 c.。-C点 评 ： 此 题 考 查 了 正 弦 定 理 ， 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 ， 三 角 函 数 的 周 期 性 及 其 求 法 ， 以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.16. （13分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试 验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数82042228

19、B配方的频数分布表指标值分组90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数412423210（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;（H）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为-2, t94y乙94t102从用B配方生产的产品中任取一件， 其利润记为（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以 试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用；众数、中位数、平均数.专题：计算题；综合题.13分析：(I)根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到

20、用两种配方 的产品的优质品率的估计值.(II)根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量 对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值.解答：解：(I)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为：100用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32+10用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42(n)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94),94,102),102,110的频率分别为0.04,0.54,0.42,P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即X的

21、分布列为X-2240.040.540.42X的数学期望值EX=- 2X0.04+2X0.54+4X0.42=2.68点 评 ： 本 题 考 查 随 机 抽 样 和 样 本 估 计 总 体 的 实 际 应 用 ， 考 查 频 数 ， 频 率 和 样 本 容 量 之 间 的 关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题17.(14分)如图，已知AB丄平面ACD DE/ ABACD是正三角形，AD=DE=2AB且F是CD的中点.(I)求证：AF/平面BCE(n)求证：平面BCEL平面CDE考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.专题： 空间位置关系与距离.分析：1(I)取C

22、E中点P,连接FP, BP,根据三角形中位线性质，我们易得四边形ABPF为平行四边形，则AF/ BP,再由线面平行的判定定理可得AM/平面BCE(n)先利用线面垂直的判疋疋理证明AF丄平面DCE冉利用面面垂直的判疋疋理证明平面BCEL平面CDE(川)假设直线l和平面ABED平行，禾U用线面平行的性质，可得AD/ EB与AD, EB相交矛盾，故可得结论.解答：(I)证明：取CE中点P,连接FP, BP F是CD的中点， FP/ DE且FP4DE142/ AB/ DE ABDE2AB/ FP, AB=FP四边形ABPF为平行四边形AF/ BP/AF?平面BCE BP?平面BCEAM/平面BCE(n

23、)证明：/ACD是正三角形,AFLCD/AB丄平面ACD DE/ ABDEL平面ACD/AF?平面ACDDEL AFcm DE=DAF丄平面DCE/BP/ AF,BP丄平面DCE/BP?平面BCE平面BCEL平面CDE(川)解：假设直线I和平面ABED平行VI ?平面BCE平面BCE平面ABED=EBI/EB同理I/ADAD/ EB与AD, EB相交矛盾直线I和平面ABED不平行.点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直、面面垂直，考查学生分析解决问题 的能力，属于中档题.18.(13分)(2007?天津)已知函数 ?(xR),其中aR.(I)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f

24、(2)处的切线方程;15(II)当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值.考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性; 线方程.专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想.分析：(I)把a=1代入，先对函数求导，然后求f(2)，根据导数的几何意义可知，该点切 线的斜率k=f(2),从而求出切线方程.(II)先对函数求导，分别解f(x)0,f(x)v0，解得函数的单调区间，根 据函数的单调性求函数的极值.解答：解:（I）解：当a=1时，：.：-/I.-F + 15所以，曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为厂誉哩(宀)，即6x+25y-32=0.(II)解：少F、2a ( x

25、+1) - 2x (2ax - a+1)- 2 (x_a) (az+1)=(J+l)(z2+ l)由于0,以下分两种情况讨论.(1)当a0时，令f(x)=0,得到心二-丄，芸戶.当x变化时，f(x),f1a (x)的变化情况如下表：X（71a(4+B)/w0+0极小值极大值所以f(x)在区间I1, (a,+8)内为减函数，在区间.厶.-I内aa为增函数.函数f(x)在处取得极小值| ,且.丄.1aaa函数f(x)在X2=a处取得极大值f(a)，且f(a)=1.(2)当av0时，令f(x)=0,得到-:.一1.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：利用导数研究曲线上某点切又，, 丁 :

26、（占1）225（宀1）216I申a11 a1f- - 2)a1f的0-0Jf檢小值所以f(x)在区间(g, a) .- - -内为增函数，在区间I-亠；aa内为减函数.函数f (x)在xi=a处取得极大值f(a)，且f (a) =1.函数f(x)在-处取得极小值I * | ,且匚23a本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数 的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.(I)求椭圆C的方程；(n)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1

27、+k2=4,证明：直线AB过定点N(，l).2考 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.占：八、专综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 题：分 析：(I)由离心率为即可解得a,b值；(n)要证明直线AB过定点N(-丄，-I),可证NA NB.设MA y=ktX+1，代入椭2圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可表示点A坐标，同理可得点B坐标，由向量共线的条件可证；：卅19. (13分)已知椭圆C:2 2| =1(ab0)的离心率直线，V2匸得一丄二，由直线I与圆相切得，=b，再由b2+c2=a22- 2Vl2+(-D217解答:解：（I）由已知得:故椭圆方程为:c_V2lr2逅匚-迂b=l厂

28、- -b，解得Vi2+(-1)22+A1；知M(0,1),设MA y=kix+1.()由(I)(2nX 丄2 r T+y二i得:y=k1x+l由*1 _ ：. ：， ：.，所以-.l+2k/A 1几l-2kj2l+2k124ktl-2kt2所以A(-,-),同理可得l+2kj +2耳24k1 - 2k(2一，1+-)l+2k/l+2k/一l+2k2- 8k2NB=(不二2 (l+2k/)l+2k2- 8ki所以.?=、r .-2l+2k22-8k22 (kj2- k22) +8 ( k2- kj)l+2k/ 2 (L+2k22)(l+2kj) (l+2k22)2 ( kj_k2) (ki+k?

29、 - 4)-n- &-=0,(1+2 kj) (1+2 k j2)故 施丿Ui所以AB、N三点共线，即直线AB过定点N(-，-1).24knB (-l+2k/l+2k28k1=( -2(l+2kt2)l-2k22l+2k22),2l+2k),l+2k22_2 (l+2kj)l+2k22点 本题考查椭圆方程、直线方程及其位置关系，考查向量在解析几何中的应用，考查学生 评：对问题的分析转化能力，考查转化思想.20. （14分）如图所示，正五边形ABCDE勺每个顶点对应着一个整数，且这五个整数的和为 正数.若其3个相邻顶点对应的整数依次为x、y、乙且yv0，则要进行如下的操作：把整数x、y、z分别换为x+y, -y,z+y，称其为一次求正”操作.只要五个整数中有负整数,求正”操作就要继续进行.1819(I)若A,B,C, D, E对应的数分别为3,-2, -2,4,1，写出每一步“求正”操作直 到终止；(H)若A,B,C, D, E对应的数分别为a,-4,5,1,2，并且经过两次“求正”操作后终止，求实数a的值；(川)判断对任意满足条件的数组，“求正”操作是否