高中数学必修五解三角形知识点归纳教程文件

1、高中数学必修五解三角形知识点归纳教程文件 解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin(AB)sin C,cos(AB) cos C,tan(AB) tan C, (2)sin cos , cossin, tan cot (3)ab 则则 sinAsinB,反之也成立 二.正弦定理： 2R R 为 A C 的外接圆的半径 正弦定理的变形公式： 化角为边： a2Rsin A ，b2Rsin， c2Rsin C ； 化边为角： sin A ，sin，sin C ； a : b : csin A : sin: sin C ； sin Asin sin Csin Asin sin Asin sin

2、 Csin Asin sin C 两类正弦定理解三角形的问题： 已知两角和任意一边求其他的两边及一角. 已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (关于已知两边和其中一边所对的角的题型要注 意解的状况一解、两解、无解 ) 三 余弦定理： a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accos c2 a2 b2 2ab cos C 注意：常常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： cos Ab2 c2 a2 2bc a2 c2 b2 cos 2ac cos C a2 b2 cos C 2ab 假设 a2b2 c2 ，则C90 ； 假设 a2 b2 c2 ，则 C90 ； 假设 a2 b

3、2 c2 ，则C90 余弦定理主要解决的问题： 1.已知两边和夹角求其余的量。 2.已知三边求其余的量。 注意：解三角形与判定三角形形状时，实现边 角转化，统一成边的形式或角的形式 四、三角形面积公式： 等差数列 1定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与 它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列 称为等差数列，这个常数称为等差数列的公 差 2符号表示: an1an dn=1 三推断数列是不是等差数列有以下四种方法： (1) an an1 d(n2, d为常数) 可用来证实 (2)2 an an1an1 ( n2 ) 可用来证实 (3) an knb (n, k 为常数) (4)sn a1a

4、2an 是一个关于 n 的 2 次式且无常数项 4.等差中项 a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中 项假设b 项假设b 2，则称b 为a 与c 的等差中项 五.通项公式: d d an a1n 1d (是一个关于的一次式,一次项系数是公差) 通项公式的推广： a anm nmana a a nm nm 六.等差数列的前n 项和的公式： na1a Sn na1 2 d (是一个关于 n 的 2 次式且S Sn na1 2 d (是一个关于 n 的 2 次式且 无常数项,二次项系数是公差的一半) 七.等差数列性质: (1)假设 mnpq 则 amanapaq ； (2)假设2n

5、pq 则2anapaq (3) Sn , S2n Sn , S3n S2n 成等差数列 (4) 成等差数列, 且公差为原公差的 (5)假设项数为2n n*，则S2n n anan1， 且S偶奇 S nd ，假设项数为2n 1 n*，则 S2n1 2n 1 an， 且S奇偶 San，其中 S奇nan， S偶n 1 an 6假设等差数列 an bn的前 n 项和为 Sn , Tn则 banS2n1 b 2n 2n1 n 八等差数列前 n 项和的最值 (1)利用二次函数的思想:Snn 2 (a1)n (2)找到通项的正负分界线 假设1d 0 假设1d 0 则 sn 有最大值，当 n=k 时取到的 最

6、大值 k 满足 a 0 1d0 假设 大 值 k 满足 则sn有最大值，当 n=k 时取到的最 等比数列 一定义、如果一个数列从第2 项起，每一项与 它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列 称为等比数列，这个常数称为等比数列的公 比 n n1 二符号表示：a q n 注： 等比数列中不会出现值为 0 的项； 奇数项同号，偶数项同号 合比性质的运用 三数列是不是等比数列有以下四种方法： an an1q(n2, q为常数, 且0) 可用来证实 aan1an1( n2 ) 可用来证实 n an cq (c, q 为非零常数). 指数式 从前 n 项和的形式只用来推断 四.等比中项: 在a 与b 中

7、间插入一个数G ，使 a ，G ，b 成等 比数列，则G 称为a 与b 的等比中项假设G2ab ， 则称G 为a 与b 的等比中项注：由G2 ab 不能得出a ，G ，b 成等比，由a ，G ，bG2ab n1 五.等比数列的通项公式：an a1q 通项公式的变形： nm (1) an am q ； a nm n (2) qa (注意合比性质的利用) m 六前n 项和的公式： na1q1 Sn a1 1qna1an q q1 1q 1q sn a1a2an =A+B*qn,则 A+B=0 2 2 七等比数列性质: (1)假设 mnpq ，则 am an ap aq ； (2)假设 2npq 则

8、 an ap aq (3) Sn , S2nSn , S3nS2n 成等比数列 通项公式的求法: (1).归纳猜测 (2).对任意的数列an 的前n 项和Sn与通项an的关 系： an 检验第式满不满足第式，满足的话写一个 式子，不满足写分段的形式(3).利用递推公式求通项公式 1、定义法:符合等差等比的定义 2、迭加法: an1 an f (n) 3、迭乘法: 4、构造法: an1an n n1 f(n) qanp 5.如果上式后面加的是指数时可用同除指数式 6.如果是分式时可用取倒数 (4)同时有和与通项有两种方向 一种: 当 n 大于等于 2,再写一式,两式相减,可以 消去前 n 项和

9、二种:消去通项 数列求和的常用方法 1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为 等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 c 其中an是各项不 an an1 为 0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含 阶乘的数列等。 (分式且分母能分解成一次式的 乘积) 3.错位相减法:适用于an bn 其中 an是等差数列， bn 是各项不为 0 的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式 的推导方法. 5.常用结论 n(n1) 1 : 1+2+3+.+n =2 21+3+5+.+(2n-1) =n 2 313 23 n3 n(n1)2 12 22 32 n 2n(n1)(2

10、n1) ;5) 11 1 n(n1)nn1 不等式 一、 不等式的主要性质： 1对称性： abba 2传递性： ab, bcac 3加法法则： abacbc； 4同向不等式加法法则： ab, cdacbd 5乘法法则： ab, c0acbc ；ab, c0acbc 6同向不等式乘法法则： ab0, cd0acbd 7乘方法则： ab0a nb n (nN * 且n1) 8开方法则： ab0(nN * 且n1) 9倒数法则： ab, ab0 二、一元二次不等式ax 2 bxc0 和ax 2 bxc0(a0) 及 其解法 0 0 0 二次函 数 yax 2 bxca0 的 图象 yax 2 bxc

11、 a(xx1 )(xx2 ) yax 2 bxc a(xx1 )(xx2 ) yax 2 bxc 一元二次 方程 ax2 bxc0 a0的根 有两相异实 根 x1 , x2 (x1x2 ) 有两相等 实根 b x1x2 2a 无 实根 ax2 bxc0 (a0)的解集 x xx1或xx2 bxx b x x R ax2 bxc0 (a0)的解集 x x 1 xx2 三含有参数的二次不等式的解法: (1) 二次项系数(正负零) (2) 根 一种:能分解因式,主要是比较根的大小 。 二种:能分解因式就从判别式进进行行讨论 (3)画图写解集 四、线性规划1.在平面直角坐标系中，直线 Ax yC0 同

12、侧的点代入后符号相同，异 侧的点相反 2.由 A 的符号来确定：先把 x 的系数 A 化为正 后，看不等号方向： 假设是 “号，则Ax yC0 所表示的区 域为直线:Ax yC0 的右边部分。假设是 “号，则Ax yC0 所表示的区 域为直线 Ax yC0 的左边部分。 注意： AxByC0(或0) 不包括边界； AxByC0( 0) 包括边界 3.求解线性线性规划问题的步骤 (1)画出可行域(注意实虚) (2)将目标函数化为直线的斜截式 (3)看前的系数的正负.假设为正时则上大下小,假设 为负则上小下大 4.非线性问题: (1)看到比式想斜率 2看到平方之和想距离 四、均值不等式 ab 1、

13、设a 、b 是两个正数，则 2 称为正数a 、b 的 算术平均数(等差中项)，称为正数a 、b 的 几何平均数 (等比中项) 2、基本不等式 也称均值不等式： 如果 a,b 是正数，那么 ab2即 (当且仅当ab时取" "号). 注意： 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：a、b为正数，即 ab当 a = b时取等 ab当 a = b时取等 4、常用的基本不等式： a2 b2 2ab a, bR ； aba, bR ； ab2a0, b0； 2 a, bR 5、极值定理：设x 、y 都为正数，则有： 假设 xys和为定值，则当 xy 时， 2 s 积

14、xy 取得最大值 4 假设xyp积为定值，则当 xy 时， 和xy 取得最小值2 五、含有绝对值的不等式 1绝对值的几何意义： | x | 是指数轴上点x 到 原点的距离； | x1x2| 是指数轴上x1 , x2 两点间 aa0 的距离 ； 代数意义： | a |0a0 a a0 2、如果a0, 则不等式： (1) | x | axa 或xa； (2) | x | axa 或xa (3) | x | aaxa ； (4) | x | aaxa 注意:上式中的x 可换成 f(x) 3、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对 值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号 、其他常见不等式形式总结： 式不等式的解法：移项通分,化分为整 0f (x)g(x)0 ； 0 指数不等式： a f (x ) a g ( x ) (a1)f (x)g(x) a f (