综合题选讲（二）

1、.奥博教育培训 膆芆蚅袃袅聿薁袂肈芅薇袁膀膈蒃袀衿莃荿衿羂膆蚈袈肄莁薄羇膆膄蒀羇袆莀莆羆羈膂螄羅膁莈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂薀肅艿莈蕿膇蒄蚇薈袇芇薃蚇罿蒃葿蚆肂芆莅蚅芄肈螃蚅羃莄虿蚄肆膇薅蚃膈莂蒁蚂袈膅莇蚁羀莀蚆螀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿羄膂蒄螈肇蒇莀螇腿芀虿螆衿蒅薅螅羁芈蒀袄肃蒄莆袃膆芆蚅袃袅聿薁袂肈芅薇袁膀膈蒃袀衿莃荿衿羂膆蚈袈肄莁薄羇膆膄蒀羇袆莀莆羆羈膂螄羅膁莈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂薀肅艿莈蕿膇蒄蚇薈袇芇薃蚇罿蒃葿蚆肂芆莅蚅芄肈螃蚅羃莄虿蚄肆膇薅蚃膈莂蒁蚂袈膅莇蚁羀莀蚆螀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿羄膂蒄螈肇蒇莀螇腿芀虿螆衿蒅薅螅羁芈蒀袄肃蒄莆袃膆芆蚅袃袅聿薁袂肈芅薇袁膀膈蒃袀衿莃荿衿羂膆蚈袈肄莁薄羇膆膄蒀羇袆莀莆羆

2、羈膂螄羅膁莈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂薀肅艿莈蕿膇蒄蚇薈袇芇薃蚇罿蒃葿蚆肂芆莅蚅芄肈螃蚅羃莄虿蚄肆膇薅蚃膈莂蒁蚂袈膅莇蚁羀莀蚆螀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿羄膂蒄螈肇蒇莀螇腿芀虿螆衿蒅薅螅羁芈蒀袄肃蒄莆袃膆芆蚅袃袅聿薁袂肈芅薇袁膀膈蒃袀衿莃荿衿羂膆蚈袈肄莁薄羇膆膄蒀羇袆莀莆羆羈膂螄羅膁莈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂薀肅艿莈蕿膇蒄蚇薈袇芇薃蚇罿 第十二讲 综合题选讲（二）解综合题，除了要有牢固的解基本题的基础之外，还要求解题者有创造性意识，有构造（构思）能力，有探索能力，要善于把复杂的问题化归为较简单的问题.例1 任意100个自然数，从中是否可找出若干个数（也可以是一个，也可以是多个），使得找出的这些数之和可以被100整除？

3、说明理由.分析 100太大，先从小一些的数分析.如果是两个自然数，当其中有偶数时，这个偶数可被2整除，这时结论成立；当其中没有偶数时，这两个奇数之和是偶数，这两个数之和能被2整除，可见对于两个自然数，结论成立.如果有3个自然数，当其中有3的倍数时，这个数就可被3整除，选这个数即可；当其中没有3的倍数时，如果这3个数被3除的余数相等，那么这3个数之和可被3整除，这时可选出这3个数；如果这3个数被3除后有的余1，有的余2，就取余1和余2的各一个数，这两个数之和可被3整除.因此，对于3个整数的情形，结论成立.类似的分析可知，对于4个整数的情形，结论成立.不过分析的过程要更长些.按这种思路分析下去，虽

4、然能够依次断定对于5个，6个，7个，8个，整数时结论成立，但是还不能说“对于100个整数结论也成立”.因为我们不可能在短时间内一直验证到100.看来要另外设计证题的方法.虽然没有证出原来的题目，但是从简单情况可猜想原题的结论应当是肯定的.因为本题结论是与若干个数之和有关的，由此可联想构造“若干个数之和”形式的数.再进一步考虑被100除后的余数.设原来的 100个数是a1， a2， a100.考虑 b1， b2，b100，其中b1=a1，b2=a1a2，b3=a1+a2+a3，b100=a1+a2+a3+a100.很显然每个bi（i=1，2，100），以及它们中的任意两个之差（例如b5b2=a3

5、+a4+a5），都是若干个原来的数之和.考虑b1，b2， b100被 100除后各自的余数.如果有一个数，例如b1，它能被 100整除，那么问题就解决了.如果任一个数被100除之后的余数都不是0，那么100个数最多可能余1，余2，余99，所以至少有两个数，它们被100除后的余数相同.这时，它们的差可被100整除，也就是说在a1，a2，a100中存在若干个数，它们的和可被100整除.说明：上面的论证方法利用了余数类，同余，抽屉原理，这些解数学竞赛题中常用的方法.在考虑b1，b2，b100时，采用了构造法.应当指出，题目中的“100”不是本质的，改成200，300，甚至改成任一自然数n，结论也成立

6、，证法相同.例2 某班学生有下列特点：任何四个人中，都有一个人与另外三个人通过电话.证明：全班之中的任意四个人中，可找到一个人，这个人与全班所有人都通过电话.分析 这个题目中“数”很少，要论证的结论“任意四个人中可找到一个人，这个人与全班所有的人都通过电话”又比较强，为此，要充分利用“任何四个人中都有一个人与另外三个人通过电话”的已知条件.画个示意图，人用点表示，两个人之间通过电话就用这两点的实连线表示，否则就用虚线表示.如果这些学生之间的任何两个人都有线相连，那么问题已解决； 如果有四个人A、B、C、D有如下图所示的关系： 那么D与A、B、C都通过电话，考虑除A、B、C、D外的任何一个人E.

7、D、E之间一定通过电话.否则A、C、D、E四人与已知条件不符.由于E的任意性表明D与所有人通过电话.如果有四个人A、B、C、D，它们间的关系如下图所示，与上图的证法类似，可知D与所有人通过电话. 我们已讨论了所有可能的情形，因此综上所证知：任意四人中，总有一个人，这个人与所有人通过电话.说明：我们采用的证明方法是用图这种直观方式表达关系和逻辑，把人和通电话分别用点、边表示，未通电话用虚线表示.这样便于对照图形分析问题.这种方法是图论的基本方法.在上述证明中，使用了分情况论证（分情况讨论）的方法.这是推理论证的基本方法之一.例3 甲、乙两所学校的学生中，有些学生互相认识.已知甲校的学生中任何一个

8、人也认不全乙校的学生，乙校的任意两名学生都有甲校中的一个公共朋友.问：能否在甲校中找出两个学生A、B，从乙校中找出三个学生C、D、E，使得A认识C、D，不认识E，B认识D、E，不认识C？说明理由.（认识是相互的，即甲认识乙时，乙也认识甲）.分析 如果选乙校学生中任意两个人为C、D，那么甲校中有认识C、D的人，设它为A.因为A认不全乙校学生，所以在乙校中有学生E，A不认识E.这时A认识C、D，不认识E.按这个思路，再考虑选B时有些麻烦.虽然对于乙校的D、E，可知甲校中有学生认识D、E，如果把甲校的这个认识D、E的人选为B.这个B可能认识C，这样就达不到题目要求了.之所以陷入上述困境，原因在于C、

9、D在乙校中太“任意”了，在乙校中任选C、D，就可能使得最后甲校中的B选不出来，看来要选特殊一点的人.因为甲校学生都认不全乙校的学生，所以存在甲校的认识乙校学生数目最多的人（或认识乙校学生数目最多的人之一）.选他为A.因为A认不全乙校学生，取A不认识的乙校的一名学生为E，设A认识的乙校的一名学生为D.对于D、E，在甲校中有一个人，设它为B，B认识D、E.因为B认识E，A不认识E，所以A、B不是同一个人.在A认识的乙校学生中，一定有B不认识的人，若不然，当A认识的乙校的任何一名学生都认识B时，B至少要比A多认识一个人E，这与“甲校学生中认识乙校人数最多的人之一是A”的假定矛盾.设在乙校中，学生C认

10、识A而不认识B，这样就有：A认识C、D，不认识E，B认识D、E，不认识C.说明：为论证的需要，选择特殊元素（如最多、最少、最早、最晚、等），是行之有效的办法，这个特殊元素的性质作为论证的一个重要已知条件.例4 若干个自然数之和是1993，这些自然数之积的最大值是多少？分析 这个问题中有下列难点：“若干个”是几个？这些自然数都是什么？如何找出这些自然数之积的最大值？虽然把有限数1993拆成各种不同的自然数之和的方法也是有限的，但是一一分拆再求出它们的乘积，最后再从乘积中选出最大的是不现实的，那样计算量过大.首先可以看出，1993拆开的各加数中不应当有1.因为1作为因数对乘积无作用，当把1合并到另

11、一个加数中去后，会使乘积增大，因此不拆出1为加数.另一方面，拆成的加数也不应当太大，例如当拆成的加数中有5时，只要把5再拆为2+3，由于2×35，可见把5去掉，换成2+3会使乘积增大.同样，如果加数中有6，换成 3+3，由于 3×36，可见换成 3+3会使乘积增大.一般地，因为当a4时，2×（a-2）a，所以我们总可以把5或5以上的加数a换成2（a-2），这样使乘积增大，也就是说，所拆成的加数中至多是4.进一步考虑，如果有加数4，把4用2+2换一下，乘积不变.因此，为使考虑问题简单起见，可以认为所拆成的加数中不含4，即加数中只有2和3两种数.如果加数中有3个或3个

12、以上的“ 2”，当把3个“ 2”用2个“ 3”代替时，和不变，但因为 2×2×2 3×3，可见乘积增大.由此可以设想1993拆成的各加数中仅有2、3，而且2的数目不多于两个.因为1993不是3的倍数，所以至少要拆出一个“2”，但19932=1991也不是3的倍数，可见1993要拆出两个“2”.容易看出： 。这时取得最大乘积 22×3663。说明：上面采取了层层化简的分析方法，把1993的分析问题归结为“只含有2、3，且2的数目不多于两个”，以达到乘积最大.这是在不断比较、调整的过程中对各加数的性质逐渐认识得到的.在朝着使乘积逐渐增加的方向，我们排除了加数

13、中的1，排除了加数中大于4的数，进而去掉4，限制了加数中“2”的数目，经过这样一系列的比较、简化才比较方便地找出了乘积的最大值，我们应当学习这种层层化简的转化策略。习题十二1，某个四位数有如下特点：这个数加 1之后是 15的倍数；这个数减去3是38的倍数；把这个数各数位上的数左右倒过来所得的数与原数之和能被10整除，求这个四位数。2，某学校的若干学生在一次数学考试中所得分数之和是8250分.第一、二、三名的成绩是88、85、80分，得分最低的是30分，得同样分的学生不超过3人，每个学生的分数都是自然数.问：至少有几个学生的得分不低于60分？3，一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各

14、数字之和的差是11的倍数，那么这个自然数是11的倍数，例如 1001，因为 1+0=0+1，所以它是 11的倍数；又如1234，因为 4+2（31）=2不是 11的倍数，所以 1234不是11的倍数.问：用0、1、2、3、4、5这6个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几个是11的倍数？4，做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人.问：原有多少人？ 薁薇蚅膀莄蒃蚄节膇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄螁膆莀蒀螀袆膃莆蝿羈荿螄蝿膁膂蚀螈芃蒇薆螇羃芀蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚇袄袇蒄薃袃罿芆葿袃肂蒂莅袂芄芅螃袁羃膈虿袀肆莃薅衿膈膆蒁袈袈莁莇羇羀膄蚆羇肂莀薂羆膅膂蒈羅羄莈蒄羄肇芁螃羃腿蒆虿羂芁艿薅羁羁蒄蒀蚈肃芇莆蚇膆蒃蚅蚆袅芆蚁蚅肈薁薇蚅膀莄蒃蚄节膇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄螁膆莀蒀螀袆膃莆蝿羈荿螄蝿膁膂蚀螈芃蒇薆螇羃芀蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚇袄袇蒄薃袃罿芆葿袃肂蒂莅袂芄芅螃袁羃膈虿袀肆莃薅衿膈膆蒁袈袈莁莇羇羀膄蚆羇肂莀薂羆膅膂蒈羅羄