电动力学-第2.3节.

1、拉普拉斯方程 < 分富变量燥第二章第三节PL !Laplace's equation, method of separate variation 对于具有一定对称性的静电问题，可以试探求解。唯-性定理保证解的正确性和唯一性。如果静电问题多式多样，而且如果稍微复杂，则试探 解法不适用了，因此我们有必要多开辟一些求解方法。电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导 体的表面上。因此，丰没有电荷分布的区域里， Poisson's equation 就转化为 Laplacefs equation, 即产生这个电场的电荷都是分布于区域啲边界上，它 们的作用通过边界条件反映出来:

2、给定（ps 给定驚或导体总电量-£底必=0所以，讨论的问题归结为：怎样求解（通解）Laplace's equation怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。Laplace*s equation可以用分离变量:法求通解，其求解 条件是：方程是齐次的。边界应该是简单的几何面。能用分离变量法条件:求区无电荷,边界规贝心_、分离变量法求Laplace's gu&tion的通解1、在直角坐标系中设 <P(x,j9z) = X(x)y(j)Z(z)在数学物理方法中，该方程的通解为= (A cosk x A sink x)(Bl coskyy + B2 sinkyy

3、)(C c叫 z + C2 sin/z) (A、B、C为待定系数) 或者写成z、土认 Ky 土ik,z0(x,z) = 0 e e 、(k2=k2+k2)z x J2、在柱坐标系中、21 d ,加、1 d2(p d2(p nr dr drr2dz_设 0(F,0,z) = /?(r)0()Z(z) 该方程的通解为0(/，0,z)=凶几(kr) + A2N/n (kr)B cos(/t 0) + Bsin(n 0) cosh(kz) + C sinh(kz) 其中，力"为加阶第二类贝塞尔函数，N2为”;阶第二类 贝塞尔函数。oo (_1) (竺严如(为伽马函数)J (kr) = Vsi

4、n伽兀)N心)=°仙兀"畀"7-“"如果考虑与z轴无关(A=«)情况，并讨论的区域 是0<0<2広，故通解为0(/0)=如 + Z?olnr+ 艺(+ B 厂")cos(/i 0)W=1+ £(C/'+Q/F)sin50)n=l这里儿B, C9 Q为待定系数。3、在球坐标系中广 dr dr rsinffdff9伽疇）+_L_ = 0r2 sin2 0 d2设 0（7*U）= 1?（厂）丫 （0,0）其通解为ZB0（,&,0）=工（亀”比;"（COS&）COS（/l0）nnD+ Y

5、Cm 严 + 缶）町（cos0）sin（加 0）nrn尸数。这里pin（cos）为缔合勒让德（Legendre）对丰具有轴对称的问题，加=0 （取此甲为极轴）,且 0（"）=工（” + 窪尤（COS&）/r=Or这里 轧（COS0）为勒让徳函、化为待定系数。对于球对称的问题，“2=（），n=0o且A、B为待定系数。1）2）3）在没有自由电荷分布的空间，电势满足拉普拉斯方程；其通解由（3.2）和（3.3）给出;余下的问题就是，由边界条件来确定通解中的常数 了一一得出满足边界条件的特解。二利用边界条件定解说明两点：第一，如篥考虑问题中有i个区域（均匀分布），必须有i个相应的Lap

6、lace4s equation。第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系（在S面上）冏=幻d(p d(p.8. 2- = 8 . 1 dn J dn边界条件:3?导体的总电荷THQ(2)三.举例说明定特解的方法KLL一个内径和外径分别为禺和尽的导体球壳，带电 荷为0。同心地包围着一个半径为用的导体球QR&RA 使半径尽的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体 球的感应电荷。解:第一步：分析题意，找出定解条件 根据题意，具有球对称性，电 势不依赖于极角&和方位角0 , 只与半径厂有关。即0（厂9&0）->0（厂）故定解条件为：=<> r>R*V

7、22=0 Rx <r<R2边界条件：（i）因为导体球接地，有卩2 r=R（ii）因整个导体球壳为等势体，有"I心F（iii）球壳带电量为0,根据Gauss theorem(5)得到-JJ空1皿+ rr竺1&1 = 2rli,务rli2 5r%第二步，根据定解条件确定通解和待定常数由方程式（1）、（2）可看出，电势不依赖于0,取 /：=（）；不依赖于 &,取 Pti（cos0）= 1,故得到导体球壳内、外空间的电势:=A r>R(6)1r32=C + ?R.<r<R2(7)=0A=0i心D(8),02 " C=_直(9)Br(10

8、)©2 5厂兀）(H)B 11(12)2 =。（4-二）由（4）式得由（3）式得当 r >a 当的 从而得到“(13)由式得（）B4兀D4兀=将（13）式代入（12）式,即得(13)(13)(+ )叫R2心因此得到:A = 0,0 二一rr r, r豪启+冬，一44兀片、4码）4兀£qR、(13)将几B. C.。系数代入到（6）、（7）式，即得电势的解:1 r 4/t£/4九耳厂d)r2dO.” C + +备爲阿3 导体球上的感应电荷为% ” dr rRx翌丹C=_£o JJr=Rt 5总结解题思路，好好 理解解题步骤，特别 注意边界条件。如果 通

9、解中的常数不能完 全确定，一般可能是 边界条件没有全部挖 掘出来。-勺)Dr=R一-r2dn 4兀广=0 =-1 gl 1心(+)R r2 叫例2介电常数为£的均匀介质球，半径为/?,被置于均匀 外场 兔 中，球外为真空。求电势分布。解:外电场将使介质球极化，假定介质球的尺度远小于 产生原外场心的电荷分布线度，则球内和球外空间的总 电场，均是原外场矶与介质球极化电荷产生的电场炉叠 加的结果。简单媒质中的极化强度与外场方向相同。第一步：根据题意，找出定解条件E =+ PZ由于这个问题具有轴对 称性，取极轴z沿外电场E 方向，介质球的存在使空 间分为两个均匀区域一 球内、球外，两区域内都

10、 没有自由电荷。因此电势0满足Laplace equation <>以冏代表球外 区域的电势，卩2代表球内区域的电势，故(r>R) Y=«(i)=E.r cos& = E.rPt (cos) (2) o° IWr = %加1% dnWoo(YR) Yr->/?i dn 厂7厶(p】=0 冏| 一厂有限值 r=R =r=R° dnrR(7)r=R(10)P (COS0)j+ "爲尤（50）从中可见亶=0故有：由（6）式得=有限值第二步：根据定解条件确定通解和待定常数由于问题具有轴对称性，即竹与0无关，故 f 冏=+ 鷺）（r

11、 n R） Jwr1/W+仏比心）（YR） n厂由（2）式得1100 =工（"+化爲-W=_E/P（cos0）比较两边系数，得(心1)r竹=-血叫（5&）+號阿即0&）di）2=ZVMPn（COS0） H（JII再由（3）、（4）式或者（7）、（8）式得到：f-%码(cosff) + 工化爲 P(cos0)=工/匕(co 沏JH Kw-E忆(唤&)-5> + 1)化為仏(cos0) =产&严弋2辭)nK0 II(13)比较P (cos。)的系数，得nb一仇尺+才=邛 2b.匕 r_血 + = 勺 J°疋 1丿b =c Ru nb s -

12、(n + 1)y = ncRH+2 % w由(13)、(14)式给出bt = ERct = En1 2% + £ 0 1 2% + £ 0由(15)、(16)式给出 bff = 0, c甘=0. (/1 H 1)心1(14)(15)(16)(17)(18)由此得到电势为_® =-E rcosd7?3E.1-cos (r A R)(r<R)102% + £()r2(P、=Er cos 0屮22廿£ 0相应地，球内.外的电场强度为宜=円=一旦0 + - e V- E r cos0 + /?3£ 专cos0dr r rdO &

13、丿I 02片 + £°r2=E°(cosJ -sin俺丿+打：小血辭；即+二疋恥讪门為 2片 + £0 r3 e其中 （cos6 sin庞丿=ek rO z第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在原点的偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为因此，球外区域的电场为：= E + E93(p-r)r p同理得到F2 = -v2=-%.5"36 - i a _ +八dr r rdO 0(3%)® E.r cos 0l 2£。+£丿3w Fn(cos6 sin 侥J =e一E 总2勺 + £ u re 2耳)+ g

14、0 zE =-V（p.=- E-2耳）+ £ 0由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。 而且球内电场比原则外场 为剧，这是极化电荷造 成的。在球内总电场作用下，介质球的极化强度的 户=益活2=-%圧2=訝畫3/0介质球的总电偶极矩为°43该题的求解思路是非常明朗的！K坐标原点：介质球心，Z轴正向为电场方向（极轴）2、分析问题的性质:球内.球外区域满足拉普拉斯方程；分析通解的形式（为什么是（33）而不是（32）也不是p（D = A + |的形式？）3、最重要的一步！喩据边界条件求待定常数。（1）注意在特殊点的值一比如无穷远处、坐标原点等:（2）注意在界面的上数值关系电

15、势连续，界面两侧电位移关系D2fl-Dn=cy （巧）在整个解题过程中，我们要将R理解为变量（建议同 学们用表示）4、对结果的讨论（加深理解）1）介质球内的电场（小于化），道理！极化电荷电偶极矩.2）球外区域的电势=匀强电场电势+极化电荷（电偶极矩） 产生的电势。例3半径为心的导体球置于均匀外电场耳中，求电势和 导体上的电荷面密度。解:该题的求解过程与上一例题思路完全一样。令导体球外部和内部区域的电势分别为冏，02。有v2 =00. = const由于是轴对称问题，取解的龛式为：b冏+備尤gs&）（虫心）如何确实待常数？一，仃（选择没有放入导体球前球心处 的电势劣零P42例1）,由此得

16、到4=-竝afi = 0 （n #：1）f °0（P） = 0°-E"©o=0由竹因此解变成b0二一E/cosO + W-CcosO) n r=一 E/cos& + 4-cos& + |-(3cos2 & 一 1) + ()r r2r3 2由0* = <p、= const ,分析出:%=2=3=0%=E(X有了这些结论，结果就出来了。02=00 = -E/cos® cos&d(p=3£(严十05& F=Rq例4导体尖劈带电势匕分析它的尖角附近的电场。解h用柱坐标系，取z轴沿尖边电场存在于0

17、 V 0 V 2/r-a的 空间，假设电场沿z轴具有平 移对称性，则取垂直于z轴的 平面如图所示。 据数学物理方法，有方程： 口21 d . B（p、1 d2（p d2"帝（尸乔）乍顕爆厂翌）+£醐=o据题意已选定参考点Frdr drf 八如2与z无关下，方程的通解为：OO= Ao4-fiolnr+ （A rn +B r w）cos（/）M=18+ E（C/" +D厂）Sin（0）n=l根据具体条件确定常数在导体尖劈的0=0面上（p=y0戶严竝+血I" + £（% + B厂 ）=VW=1得=V R =0 A =0 B =0e00nn此时方程的通

18、解简佔为<p(r) = V + £(C/" +D/")sin(”)W=10时，因电著0为有限值，<pr_ = V + £(C/ + Dji )sin(M)=有限值71=1得 S =0拉普拉斯方程的通解可写为:OO倾口0) = V 4-工C/" sin(/i 0)W=1knn.=k In-a仏=丄,2, ）在导体尖劈的0 = 2兀一 a面上0 i_a = V 切片 2/r-a _ U +sin(2m /ia) = V. w=1有sin(2/zn-a) = 0> 2tui na = k在尖角附近ftO,上式求和式的主要贡献来自/的

19、 最低次幕项，即&=1项(p(r)V +C rM| sin(叫 0)/Qr1叭1戸COS71#£C 严-0r d(/)1 "iC/l 1尖劈两面上的电荷面密度为 叫=()=片化上=%上 b©=2兀-a =占店“下=一勺)上虾.选择坐标系和电势参考点:坐标系选择主要根据区域中分界面形状;1、2、3、1)2)内边界条件一一界面边值关系：介质分界面上表面无自由电荷时:解题步骤参考点主要根据电荷分布是有限还是无限。分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中 的通解。根据具体条件确定常数。商种边畀杂件：外边界条件：电荷分布在有限区域0oo=° 导体边界

20、可视为外边界：0s=常量（接地, 或给定总电荷Q,或给定b。巴（cos）."I化（cos。），02=工|&申 =厂” + B”H+1巳（COS&）=工aj”p“（COS&）,pn （cos。）=工仇丄（cos。）. Zr习题1半径为R的带电球面，面电荷密度为b = b（）COS& （b（）为常量，&为极角），球外充满介电常数为£的均 匀介质（如下图），求球内外的电势和电场强度。解:如题图所示，设球内外的 电势分别为旳,0”因球内外电 荷密度均为零，所以电势满足 的方程为拉普拉斯方程：如=0（r < /?）02 = 0（r >

21、; 7?）由对称性及边界条件，方程 的解可以写为：亠亠r > OH寸，冇限；边界条件有：甘卜口 / oOFrJ，（Po0.宓=% （厂= «）,边值关系为：i 6卩 6叭_n （ _ pF £（）7 =b（）cos & （r = R）.应用前面的第一个边界条件：r > 0时,©有限,Bn = 0可以得到:->8 时，02=0, A“=0代入边值关系中可以得到：bn=anRM. (n = 0,1,2,)2sb /（dg（）/?'） = b（）/?解得:5）4 =，2w + £°也=卢局2$ + £（）所

22、以an =bn =0 （心1）<p = （>Zcos 0 =（产 N）,（pr -2-COS&= _£（&-）. 2f + £（）r2£ + 吕）r'根据电场与电势的关系可以求出球内外的电场分布为:°/ cos& =e ,2£ + £。）2£+吊 'b。佯 COS&（2£ +勺厂丿_ b(尺1 a、2w+w()l r3r3 z)前式为球内区域的场强分布式，后者为球外区域的场 强分布式。习题4均匀介质球（介电常数为$）的中心置一自由电 偶极子Pf,球外充满另

23、一种介质（介电常数为巧），求 空间各点电势和束缚电荷分布。解:（1）勺与$2的边界为球面，故选球坐标系，电荷分 布在有限区，选4_=0（2）设球内为冏，球外为02。球外无自由电荷分布，vV = » 但球内有自由偶极子，不满足拉普拉斯 方程；但满足泊松方程，考虑偶极子使介质极化， 极化电荷分布在偶极子附近和球面上。自由偶极子 在介质中产生电势_一戶斤p Rp R= -3 = -3 + -¥°4佔34碼疋 4"贞3所以() + 0；叭满足vV；=<> (R < 叫",还可设卩2=% + 0；卩° _ 4码2卩；满足vV=

24、° (V2 = 0) (R>Rb12+ 声)Pcos&)考虑轴对称：r d処=工（订"n+ R 阳)Pcos&)0）（3）确定常数R0,科有限，=>化"P rR LR*近场二石莎+ 5色川止(COS &)R->802 = 0 亠 C“ = 0,pd边值关系驭=声2亩pz&、心=6亂呱=02并注意到'3RE 厂 R = p f Rcos0 = pRp、(cos 6)J>”/?/（coW） =工詁代（COS0）I n“号器+匂工叫府比達肾“工（"+"缶肚比较P（cos啲系数，得Q=dJ

25、 R：、Pf 一 _“ c 2dr + 6 $ =t T- 2兀R：、 1 '2亦尺 -&（右一 $2）巴4d = Q = r2亦（£|+2$2）&）an=dJR 心附=一"+叽/唧R<R°R>R°00+勺）胡R=Rq（4）电势解为R fR（斫勺帀厂尺01 =r T4亦占2 亦 +202）1&；p / cos 0（6 -勺） cos 04亦用2牝（£十2勺）&_ PfR （£-£2）pfR 4兀6尺2亦（® + 2匂）R3万 / 斤3p f cos 04疗（6 +

26、 26）/?'4龙（® + 2s2）R2（5）球面上束缚（极化）电荷分布6訴勺巧14 兀£（£、+ 2s2 ）R习题6在均匀外电场E。中置入一自由电荷体密度为Q 的绝缘介质球(电容率£),求空间各点的电势。解h设球内、外区域的电势为辺，在两区域的电 势满足泊松方程的拉普拉斯方程，5= 比S如2 = 0边界条件:% | r->0 =有限 (p2T=-Ercos001= 02 L 心£也|=臥込6R |心OR皿R。为介质球的半径，且设介质球没有放入时球心的电 势为零。很明显，球内区域为自由电荷存在的区域，满足拉普 拉斯方程，怎么解呢？

27、微分方程理论告诉我们，如果能 够找到非齐次微分方程的一个特解，那么："非齐次微分方程的通解”=“非齐次微分方程的特解”+ “对应齐次微分方程的通解”令対=好+歼，0：是泊松方程的一个特解，即 %；=三 0仍然满足方程V»0 o"则我们原则上可以找到求解泊松方程的方法：(1)寻找泊松方程的特解© 试探法找特解(猜. 蒙)(2)求出对应的齐次方程一一拉普拉斯方程的通解0泊松方程的通解为0 = 0 + 0”，再利用具体问题的边界条件定出待定常数，得到满足边界条件的泊松方程的解。下面我们再加过头来解上面的问题：可以验证P$ 2J =-r6£是满足%"=-弘 的一个特解。令0=0;十卩"且如；=0 ,得到如下方程：f = 0S = 0问题具有轴对称性，解与角度。无关，解的形式如下:£b0 =工(色厂"-祐比(cos&)；»=or02 = £(CJ” + 魚比(cos 0)71=0厂所以方程(1)的解为.SAQ0 = % +