氢原子一级斯塔克效应

1、氢原子的一级斯塔克效应李思黾 刘旭 栾星氢原子的哈密顿量v无外场时：22pHrLSm其中 2212dVrm c rdr处于沿z方向的均匀磁场中时： 2222zzpeBHrLSLSmm c处于沿z方向的均匀电场中时： 2cos2pHrLSeErm 原子谱线的分裂谱线分裂现象产生原因精细结构正常塞曼效应反常塞曼效应斯塔克效应 rL S22zze BLSm c 22zzeBLSr L Smcc o sre E斯塔克效应 原子或分子处于外电场中时，谱线发生分裂的现象叫就叫做斯塔克效应，是由德国物理学家斯塔克于1913年首先发现的。 斯塔克在极燧射线中发现了多普勒效应和在电场中发现了分裂的谱线 因而获得

2、1919年诺贝尔物理学奖。然而斯塔克的名声很坏，他是一个种族主义者，希特勒的狂热粉丝，二战结束后被德国军事法庭判处4年苦狱 ，于1957年6月21日 在德国去世。斯塔克氢原子能级裂距正比于外电场，称为一级斯塔克效应。能级n分裂数为2n-1申老师教导我们： n增大时，计算量的增加将与n的二次方正相关！今天我们就将在实践中实践这一伟大的警示！教材P367第四版已经介绍了 n=2 能级由 斯塔克效应引起的能级分裂。试看我们如何计算出n=5能级的一级微扰的能量修正。 一 般 公 式 的 推 算0HHHcosHe r0H 22,2nlmnllmnRr YeEan 在外电场中，不计电子自旋和相对论效应，氢

3、原子的哈密顿量为：其中是无外电场时氢原子的哈密顿量，H时电子在外电场中的势能，且H是一个小量，称为微扰。 是外电场的大小， 的本征函数和能量为： 0H当考虑一级微扰的能量修正后，能量的表达式为： 1nknnkEEEH的能量本征方程为： 110fijijiiHEC有的书上成为久期方程，有非零解的条件为行列式为零，即： 1111211212221120nnnnnnnnnHEHHHHEHHHHE|ijijnlmjinlmHHHH 其中矩阵元为|ijijnlmnl mHHH | cos|nlnllml mreaRRYYa|,nlnlreaRRm mIa11,1,121212123lmlmlmlmIl

4、ll lllll1,0lm 对于个矩阵元可以证明只有满足 的才不为零证明如下：该式表明，只有满足选择定则的矩阵元才不为零。121000nnnmnmAAAAAA2nmm根据 的矩阵元都为零的条件，久期方程久变为2n-1个对角的非零分块行列式和余下的零子行列式组成 的 阶行列式其中 是取磁量子数为m时，角量子数l分别取 组成的 阶行列的分块行列式。nmA,1,2,(1)m mmn()nm 11111111nmmnmmmn mmn mmmn nmn nnnR YRYRYnmA0,1,(1)mn在分块行列式中，零级波函数按如下规则构成：122()(1)10nmnnnnmAAAAAAAA其中：所以氢原子

5、一级斯塔克效应中久期方程式简化为：这就是计算氢原子一级斯塔克效应能级修正值的简化公式，只要根据各分块行列式对一级能量修正值，就可得到该态氢原子一级能级修正值。下面就尝试计算n=3，4，5各能级的一级修正值。5432154321000AAAAAAAAAA久期方程的矩阵表示5A112211235321344314554100EHHEHAHEHHEHHE5Am 分别取0，1，2，3，4对应各分块矩阵当m =0时，分块矩阵为 ，L的取值可以是1，2，3，4，5矩阵的具体表示为：*1221510520*2332520530*1221530540*1221540550VVVVHHHdHHHdHHHdHHH

6、dcosHe r其中的矩阵元为：下面我们将计算nlmnlm的计算过程：3220!21exp1,22,1 !2(21)!nlnlRFnllnla nl 20(1)(1)(1), ,12! (1)! (1)(1)ka aa aa kFzzzkk 21!1cosexp4!mmlmlllmYPimlm 222112!l mmlmlll mdPxlxxldxnlmnllmR Y（其中F为合流超几何函数）（1）（2）（3）（4）现在演示如何求 5105005000R Y00000(2 0 1)(00)!1(cos )exp04 (00)!YPi 0 0022000 01(cos )0cos(cos1)12

7、0!(cos )dPd0014Y001(cos )4P由公式（3）得：由公式（4）得：故推出5032205 0 !21exp5 0 1,2 0 2,5 0 1!252 0 1!RFa 123322024,2,5eFa2344 144 14 244,2,122! 22 13! 22 1 2 2F 2341 226120 123425033220212261205Rea 由公式（1）得：由公式（2）得：故推得：2343225001122122402a e1234250050003322021122612045R Yea 0014Y12342503322021 226 1205Rea025aa作代换

8、根据以上计算有：所以推出：可得：202ae其中即波尔半径是高阶小量，可忽略不计用相同的方法，重复上面三页幻灯片所示的步骤可以解出：510520530540，23432250050 002332251051 1023222252052 203332253053 30112212240231cos342036023513cos1342801120cos128240 4R Ya eR Ya eR Ya eR Ya e 34422254054 40cos135 7cos240cos24240 128 7R Ya e2002222,()52255aaaerrea波尔半径其中：1 22 102 33 20

9、3 44 304 55 401 5233 51 83 573 077HHeaHHeaHHeaHHea 50A 10E 015e a030e a5A并考虑到 代入 方程中解得 的各矩阵元的值为：再将这些值代入方程 中得，能量值为：或或同理，重复以上步骤可以解出m=1，2，3，4所对应的分块矩阵的矩阵元及能量事实上计算结果可以在网上找到（没有过程），故我们抓主要矛盾，直接引用。cosHe r 15015450153022Ea（ ，）e至此，终于大功告成！ 201555001545E015305022eEEaa （ ，）e氢原子n=5的一级斯塔克能级修正值为 ：氢原子n=5的一级斯塔克能级为： 结论： 在高激发态中随着量子数n的增加，氢原子的零级波函数越来越复杂，对高激发态