第三章(生命年金精算现值)

1、第三章 生命年金精算现值3.0 生命年金简介 生命年金n 生命年金的定义：n以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型n分类n期初付年金/期末付年金n连续年金/离散年金n定期年金/终身年金n非延期年金/延期年金 生命年金与确定性年金的关系n确定性年金n支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）n 生命年金与确定性年金的联系n都是间隔一段时间支付一次的系列付款n 生命年金与确定性年金的区别n确定性年金的支付期数确定n生命年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件） 生命年金的用途n被保险人保费交付常使用生命年金的方式n某些场合保险人保险理赔的保险金采用生命年

2、金的方式，特别在：n养老保险n伤残保险n抚恤保险n失业保险 确定性年金公式推导21|11|12()()()11()(1)1111(1)111(1)(1)(1)1111nnnnnnnnmmmm nnmnn mmmnn mmmmnmmmmnnnmmmnvvvavvvvivavvi adaiiiv aaaaaaviavvvamiiavvm ()()1mmmnvdadd3.1 连续型生命年金简介n连续生命年金的定义n在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付年金的保险n连续生命年金的种类n终身连续生命年金/定期连续生命年金n连续生命年金精算现值的估计方法n总额支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的

3、总值n现时支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和n计算精算现值时理论基础完全相同n连续积分离散求和n连续场合不存在期初付期末付问题，离散场合期初付、期末付要分别考虑 一 等额支付，每保单年度支付率为1.1、终身连续生命年金精算现值的估计 现时支付技巧（current payment form)n步骤一：计算时间T所支付的当期年金的现值n步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的时间积分，得到期望年金现值Tv0()TtxtxaE vvp dt终身连续生命年金精算现值的估计 总额支付技巧(aggregate payment form)n步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年金的现值之和n步

4、骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生命年金精算现值，TTva1dttfaaEaTTTx)()(0相关公式dtpvdttfaaEatxxttTTTx001)()(1）（xxxttTxAaAzEvEaEa1)1 (1)1()1()(2）（3（ ）例3.1n在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求（1）（2） 的标准差（3） 超过 的概率。xaTaTaxa例3.1答案n总额支付技巧n现时支付技巧1001 . 0004. 006. 00dtedteedtpvatttxttx004. 006. 0010)1 (06. 004. 01dteedtpvatttxx

5、ttx例3.1答案525)16. 025. 0(06. 01)(125. 004. 04 . 004. 02222204. 0012. 0204. 0006. 0TxxTttxttxaVarAAaVareeAeeA）（例3.1答案54. 004. 0)06. 04 . 0lnPr()1006. 01Pr()Pr(306. 04 . 0ln04. 006. 0dteTeaatTxT）（例3.2n在De Moivre假定下，n计算：终身连续生命年金精算现值及方差30,05. 0,100 x)(,30YVara例3.2答案458.1405. 0277. 011277. 07005. 01701)(4

6、58.147005. 0105. 0170105. 01)() 1 (30307005. 070005. 07003027005. 070005. 070030AaedtedttfvAoredtedttfaatTttTt例3.2答案4 .2605. 0066. 0)(1)(066. 0277. 01427269. 0)()(1427269. 01 . 0701701)()2(22223030277001 . 07002302 ZVarZVarYVarAAZVaredtedttfvAtTt定期连续生命年金精算现值估计n总额支付技巧n现时支付技巧dtpvaxtntnx0：0 ,0 ,( )Tnnt

7、xx tnxx ntnaTnYaTnaE Yapdtap：例3.3（例3.2续）n在De Moivre假定下，n计算：30年定期生命年金精算现值n及方差30,05. 0,100 x30:30a例3.3答案01.1305. 035. 01135. 07040701)(01.13707001.137040170105. 01)(30:3030:303005. 030005. 030303030030:3030005. 03030030:303005. 030005. 030303030030:30AaedtepvdttfvAordttedtpvaoredtepadttfaatTtttttTt例3.

8、3答案303022600.10.1 30303030:30002230:3030:302140( )7070( )()1( )( )ttTAv ft dtvpedteVar ZAAZVar ZVar YVar3 延期连续生命年金n定义:n种类n延付h年终身连续生命年金n延付h年定期连续生命年金n常用领域n养老金险种延期h年终身生命年金延期h年n年定期生命年金精算现值估计:1()xxhx hhxx hxx haaaEaAA:1()xhnx h nx hhxx h nx hx h naaaEaAA延期连续年金精算现值例3.4（例3.2,3.3续）n在De Moivre假定下，n计算：30年延期终身

9、生命年金n精算现值 及方差30,05. 0,100 x3030a例3.4答案45. 105. 0277. 035. 045. 1707045. 101.13458.143030:303030703005. 0703030303030:30303030AAaordttedtpvaoraaattt例3.4答案7070220.130303030302230303030303070702( )()()tttntavp dtedtVar Yvaaan年确定期生命年金.()().x nnnxnxnx ncdaaaaE aVar YVar Y：二 变额年金001:0()( )()()()1()()()( )

10、 ,0,()( )bttxatxtxTtxtxTtxtxnE Yv g tp dtYI aI aE Ytvp dtYI aI aE Ytvp dtg tntabnDantvp dt则：；则：；则：3.2离散型生命年金简介n离散生命年金定义：n在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金的保险。 n离散生命年金的分类n期初年金/期末年金n终身年金/定期年金n延期年金/非延期年金 1 生存保险n现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险。n也就是我们在第二章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为n在生存年金研究中习惯用 表示该保险的精

11、算现值xnnnxxnpvAE1:1: x nAnxE例3.5n计算25岁的男性购买40年定期生存险10000元的趸缴纯保费。已知n假定i6n假定i2.578765825. 02540p48.293378765825. 0025. 11000010000) 1 (78.76578765825. 006. 11000010000) 1 (402540402540EE相关公式及意义 (1)(1)11(2)(1)1(3)nxnxx nnxnnxnxx ntxnxtxn tx tnxn tx tlEillSiEvplEEEEEE年龄xx+tx+n现时值11S1nxEn tx tEtxE期初付定期生命年金

12、n现时支付技巧n总额支付技巧11111:0001nnnkkkxkxx kx nkkkxaEvpvll1110,0,1,1, KtnnxtxnxkknkaKnYaKnaE Yaqap相关公式1:221:22:,0,1,1,1111) 112) 3)1Kenex ntex nKx nx ntex nx nvKnzvKnAzaE YEE zdddAAvVar YVarVar zddddaA期初付终身生命年金110001kkxkxkxx kkkkxaEvpvll11100Pr()xxkKkkkkaE aaKkaq 相关公式 112212211111)112)3)1KxxwKKxxwKxxAvaE aE

13、E zdddAAvVar aVarVar zddddaA延期期初付生命年金险种延期m年期初付终身生命年金延期m年期初付n年定期生命年金精算现值:1()xxmx mmxx mxx maaaEaAAd:1()xm nx m nx mmxx m nx mx m naaaEaAAd5 6 期末付生命年金n期初付生存年金与期末付生存年金的关系idaa 7 常见险种的期末付生命年金 险种期末付年金精算现值终身生存年金n年定期生存年金m年延期终身生存年金m年延期n年定期生存年金1xxAai:1x nx nAai:1()xxmxx mxmx mx maaaEaAAi:1()xmxm nx m nx mx m

14、nx mx m naaaEaAAi连续型年金和离散型生命年金的关系( )( )xxaa22( ) ( ) idi ( )( )hxxhxhaaE:( )( )(1)x nnxx naaE3.3年付m次的生命年金简介 年付m次的生命年金简介Life Annuities With m-thly Paymentsn分类n终身年金与定期年金n期初付年金与期末付年金n延期年金与非延期年金n推导思路n寻找与年付年金之间的关系1 终身生命年金（期初付）n基本公式nUDD假定下的公式n近似公式（实际操作公式）()()1()()()()()( )( )( )( ) ( ) mmxxxxmmmmmam amaam

15、 Aidiimmidid其中：()01kmmxkxkmavpm例2.2n据生命表在UDD下计算自60岁起退休者每月领取1000元的期初付终身生命年金的精算现值。（i=6）2 定期生命年金n基本定义nUDD假定下的推导公式n近似公式（实际操作公式）()()()mmmxnxx nx naaE a：():()1:1: ( )( ) ( )( )( )( )(1)( )mxnxx nx nmnxx nx nx nam amEm amm amEaam A():1(1)2mnxx nx nmaaEm():()1:1: ( )( ) ( )( )( )( )(1)( )mxnxx nx nmnxx nx n

16、x nam amEm amm amEaam A():1(1)2mnxx nx nmaaEm例2.3n据生命表在UDD下计算生命者在45岁时每月领取800元的期初付25年定期生命年金的精算现值。（i=6）3 延期生命年金n延期终身生存年金（UDD假定）n定期终身生命年金 （UDD假定）()(): ( )( ) (1)1()2mmxhxhxnx hhnx h nx h nxhxh nxhnaEaEm amEmaEEm：()()()1 ( )( )( )12mmmxhxx hhxx hxxhnnxhxhaEaEm amaamAmaEm等额年金计算基数公式等额年金计算基数公式 险种初付延付终身生存年金定期生存年金延期终身生存年金延期定期生存年金xxxDNa1xnxxnxDNNa: xnxxnxDNNa11:xxxDNa x hxhxNaD1x hxhxNaD :x hx h nhxnxNNaD 11: