线性系统理论

1、线性系统理论状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器（控制实现）（控制实现） 闭环系统的性能与闭环极点位置密切相关。闭环系统的性能与闭环极点位置密切相关。 经典控制理论：调整开环增益、串联校正、并联校经典控制理论：调整开环增益、串联校正、并联校正等方法调整闭环极点。正等方法调整闭环极点。 现代控制理论：状态反馈（状态观测）现代控制理论：状态反馈（状态观测）状态反馈与极点配置状态反馈与极点配置x. b c A uy+x k v+-()()()u v kxxAxbuxAxb vkxAbk xbvycxycxIAbk 闭环系统特征方程：状态反馈与极点配置状态反馈与极点配置 闭环系统极点任意配置的充要

2、条件是系统完全能控。闭环系统极点任意配置的充要条件是系统完全能控。 系统能控则该系统可转化为可控标准型。系统能控则该系统可转化为可控标准型。01210110100000100;000101()IInInIIIIIIAbaaaaKkkkxAb Kxb vycx 新的反馈阵：得到：状态反馈与极点配置状态反馈与极点配置0011221112112200011010000100001()()()()()()()()IIInnnnnIIInnnnInIAb KakakakakIAb KakakakKkkkK 选取合适的反馈阵：即可实现闭环极点的任意配置。得到后，即可转化为原系统的反馈矩阵。状态观测器状态观

3、测器 定义：设线性定常系统（定义：设线性定常系统（A,B,C）的状态矢量不能直）的状态矢量不能直接测量到，如果以该系统的输入接测量到，如果以该系统的输入u和输出和输出y作为其输作为其输入量，能产生一组输出量入量，能产生一组输出量 渐近于渐近于x，即，即lim()0txx x 则称此产生则称此产生 的系统为状态观测器。的系统为状态观测器。 x状态观测器：状态观测器：设计原则设计原则 以原系统的输入以原系统的输入u和输出和输出y作为其输入量。作为其输入量。 原系统必须完全能观，或者不能观子系统是渐近稳原系统必须完全能观，或者不能观子系统是渐近稳定的，即定的，即 。 的速度要快。的速度要快。 尽量简

4、单，尽可能低的维数，以便物理实现。尽量简单，尽可能低的维数，以便物理实现。lim()0txx xx2(1)(2)(3)(2)1nnnnnyCxyCBuCAxyCBuCABuCA xyCBuCABuCABuCAx将输出方程对函数求导，代入状态方程并整理： 若线性定常系统（若线性定常系统（A,B,C）完全能观，则其状态矢量）完全能观，则其状态矢量x可由输出可由输出y和输入和输入u重构重构状态观测器：状态观测器：实现实现2(1)(2)(3)(2)1nnnnnyCxyCBuCAxyCBuCABuCA xyCBuCABuCABuCAx11rank( )nzCCAzxLxCALnxL z设左边为矢量 ，则

5、有若系统完全能观，则，因此： 含有高阶微分器，含有高阶微分器，噪声影响大，无工噪声影响大，无工程实用价值。程实用价值。状态观测器：状态观测器：实现实现()xAxBuG yyyCxxAGC xBuGy 渐近状态观测器：渐近状态观测器：利用输出信号对状态误差进行校正利用输出信号对状态误差进行校正状态观测器：状态观测器：实现实现渐近状态观测器渐近状态观测器()()(0)00(0)00()xxxxxxAxBuAGC xBuGyxAGC xxxxAGCxxxGAGC引入状态误差矢量：若初始状态，则；若，只要是稳定的，则，状态逼近的速度将取决于 的选择和特征值的配置。 G：Kalman增益矩阵增益矩阵状态

6、观测器：状态观测器：实现实现渐近状态观测器渐近状态观测器状态观测器：状态观测器：实现实现全维状态观测器全维状态观测器10100121 xxuyx已知系统：已知系统：设计状态观测器，使其极点为设计状态观测器，使其极点为10，10。状态观测器：状态观测器：实现实现全维状态观测器全维状态观测器111222112221222120121021200(12)( )det()det2(21)gggcgggggcggggg检测系统的能观性：因为满秩，系统能观，可构造观测器。cLcAAGfIAG状态观测器：状态观测器：实现实现全维状态观测器全维状态观测器12212212010060.5100()12060.5

7、160.5 2001001100gggggc 与期望值比较，得因此，所以：GxAGxbuGyxuy状态观测器：状态观测器：实现实现全维状态观测器全维状态观测器( )2( )(1)(2)ssssYU设计一全维状态观测器，极点位置设计一全维状态观测器，极点位置-10，-10。 解：传递函数无零极点对消，故必能实现。解：传递函数无零极点对消，故必能实现。 01020231 ABC状态方程：状态方程：状态观测器：状态观测器：实现实现全维状态观测器全维状态观测器全维观测器方程：全维观测器方程：()xxAGCBuGy反馈增益矩阵反馈增益矩阵 12ggG112221012022323gggg AGC状态观测

8、器：状态观测器：实现实现全维状态观测器全维状态观测器特征方程：特征方程：2112()(23)(622)0gggIA GC给定的极点对应的特征方程：给定的极点对应的特征方程：010020)10(221002262032211ggg23.5g5 . 821，g 状态观测器：状态观测器：实现实现全维状态观测器全维状态观测器17108.5493123.5 xxuy全维观测器方程：全维观测器方程：()xxAGCBuGy 降维状态观测器：降维状态观测器：估计不能由输出计算得到的其他状态变量估计不能由输出计算得到的其他状态变量状态观测器：状态观测器：实现实现降维状态观测器降维状态观测器nr，xAxBuxRu

9、RmyCxyR若系统是完全能观的，若系统是完全能观的，C的秩是的秩是m，m个完全状态变个完全状态变量可以直接计算出来，而只需构造一个状态观测器估量可以直接计算出来，而只需构造一个状态观测器估计出其他计出其他 (n-m)各状态变量。各状态变量。 降维状态观测器：降维状态观测器：估计不能由输出计算得到的其他状态变量估计不能由输出计算得到的其他状态变量状态观测器：状态观测器：实现实现降维状态观测器降维状态观测器nr，xAxBuxRuRmyCxyR线性变换（将可由输出直接得到的状态统一置于后部）：线性变换（将可由输出直接得到的状态统一置于后部）：11111122222122xxBAAxxBAAu122

10、0 xIxxy 降维状态观测器：降维状态观测器：状态观测器：状态观测器：实现实现降维状态观测器降维状态观测器uBAxAx112111122112222xA xABx yyuy121222ABABVyuZyyu令令 111 1xA xV21 1A xZ降维状态观测器的设计转降维状态观测器的设计转化为全维观测器设计！化为全维观测器设计！ 降维状态观测器的动态方程：降维状态观测器的动态方程：状态观测器：状态观测器：实现实现降维状态观测器降维状态观测器11()A xxVH ZZ211AxZ111211121222()()()xAAxABABHyuH yyu求导项不受欢迎！求导项不受欢迎！状态观测器：状态观测器：实现实现降维状态观测器降维状态观测器1x Hy 1xHy 11211211211222()()()AABBAAAAHHuHHHy Hyx12111AHA 系统矩阵：系统矩阵：状态观测器：状态观测器：实现实现降维状态观测器降维状态观测器( )1( )(6)sss sYU设计一降维状态观测器，极点位置在设计一降维状态观测器，极点位置在-10。解：解： 受控对象可观，可以设计观测器受控对象可观，可以设计观测器状态方程状态方程（已然是（已然是标准化标准化,采采用标准用标准II型型直接得结直接得结果）果） 00101160 ABC12201xxxyCx状态观测器：状态观测器：实现实现